基于最小二乘估计法预测管柱运动轨迹

马利进

（1.天水电气传动研究所集团有限公司，甘肃 天水 741020；2.大型电气传动系统与装备技术国家重点实验室，甘肃 天水 741020）

伴随着传统石油钻机钻井作业起、下钻管柱处理人工操作生产效率低，安全风险高，劳动强度大，作业成本高等问题，智能化管柱处理集成控制技术作为提升石油钻机自动化、智能化水平关键技术之一，该技术不仅可以配套新钻机，提升钻机整体自动化、智能化水平，而且适用于现役陆地钻机改造升级，让现役钻机适应新的市场需求，是目前最为经济可行的解决方案。为了便于实时观察，在仿真过程中需以秒或毫秒时间间隔显示机械臂抓取钻杆的运动轨迹，为了保证运动轨迹的精确度，要根据接受当前管柱运行状态对该时刻以后的运动状态进行预测。

1 最小二乘估计法

最小二乘估计法是对过度确定系统，即其中存在比未知数更多的方程组，以回归分析求得近似解的标准方法。数学模型的建立需要考虑观测值和带估参数的确定关系和随机关系，需将函数模型与随机模型一起构成高斯—马尔科夫模型［3］，最小二乘估计的准则是参数估计使得观测值残差平方和最小。

假设一个n维列向量：

其中，X为待估参数，hi是一个n维系数行向量，△i表示第i次观测的误差。

经过多次观测的方程为：

函数模型可以表示为Z＝H·X＋△，在大多数情况下观测噪声服从期望为0的高斯分布△～（0，D）。在函数模型中，H·X为确定部分，而△为随机部分，观测值的随机特性由观测误差△来决定。

由函数模型和随机模型得到高斯—马尔科夫模型，假设通过某种观测得到参数估计为，代入观测方程后可得估计观测值，则残差可以表示为：

上述公式中，所有观测数据的权重看作相同，但是观测精度并不是都相同，即方差小的观测值对参数估计影响大。因此，根据观测值的方差给观测值赋予一定的权重，权重矩阵W为：

那么残差平方和最小原则变为加权最小二乘估计：

由上述公式可知，参数估计由观测值矩阵、观测值方差矩阵、权重矩阵决定。

2 多项式预测数学模型

假设目标移动在ti（i＝1，2，3，…，n）时刻内运动轨迹Si可用正交多项式时间函数表示［4］：

其中，ti＝t·T，T表示相邻数据的时间间隔。

此时，S（t）的最优估计为：

可利用上述公式对tn+dt时刻运动轨迹预测，即：

目标短时间的轨迹可利用单位时间窗口内多项式预测模型，它可以很好地拟合运动轨迹，但是对于长时间的运动轨迹预测，很难按照时间多项式函数描述，时间窗口越长导致的误差也就越大［5-7］。因而，运动轨迹拟合窗口宽度n不宜过大。为了能够描述上述情况，采用二次多项式作为目标运动轨迹函数。

目标在三维空间中的运动轨迹多项式函数为：

一般情况下，取n=4，T=1根据最新4组空间中的位置数据，采用最小二乘估计系数。这样对tn时刻以后的数据预测方程为：

在保证运动轨迹精确度高的情况下，预测下一周期运行时，需要不断更新位置信息，可利用互动窗口拟合轨迹。

3 实验仿真与分析

实验仿真环境在Windows10和MATLAB2014b中，三个两两相互垂直的XYZ轴构成欧几里得空间，存在六个自由度：沿XYZ轴平移的三个自由度，绕XYZ轴旋转的三个自由度。在欧几里得空间中任意线性变换都可以通过这六个自由度完成。用4个参数就能描述坐标变换：绕X轴平移距离a；绕X轴旋转角度α；绕Z轴平移距离d；绕Z轴旋转角度β。建立机械臂模型如图1所示。

图1 机械臂模型

为了检验各种复杂状态下的预测效果，选用一组多状态运动数据进行模拟。该数据表明机械臂以俯角3°匀速运动0.7m，保持5秒，并且以角速度-5°/s降为0°/s，横滚角向左倾斜20°左转弯50°，将角速度提升5°/s抓取提升至35m左右，回调管柱姿势匀速下放，最后直至放置平稳。

本文提出的轨迹算法预测拟合后的三维空间轨迹图如图2所示，经过预测轨迹模型用最小二乘曲面拟合运动轨迹点，拟合结果与实际经验一致，满足预测要求。

图2 预测拟合后的三维空间轨迹图

4 结论

为解决石油钻机现场作业机械臂抓取管柱运动轨迹预测的难题，本文提出了基于最小二乘法原理预测管柱运动轨迹的策略，建立了对应的预测多项式数学模型，在Windows10和MATLAB2014b环境下进行了实验仿真与分析，结果与实际经验一致，保证管柱运动轨迹的精确度，满足了预测目标和现场实际工况要求。该方法具有运算速度快、简单有效和经济实用等特点，较好地解决了石油钻井作业中管柱处理系统时效性低的问题，从整体上促进了钻井技术的转型升级。