等仿射曲线收缩流的Harnack不等式

于延华, 金 伶

(东北大学 理学院, 辽宁 沈阳 110819)

在几何分析领域,微分Harnack不等式是一个重要的研究课题.20世纪60年代初,Moser[1]首次引入了线性抛物型微分方程正解的Harnack不等式.此后,Li和Yau[2]研究了完备黎曼流形上的抛物型方程,并利用最大值原理得到了黎曼流形上热方程ut=Δu正解的梯度估计和Harnack不等式.Hamilton[3-5]用同样的方法进一步证明了Ricci流上的Harnack不等式以及一些非线性方程的平均曲率流上的Harnack不等式.以上研究奠定了微分Harnack不等式的基础,故此类微分估计也被称为“Li-Yau-Hamilton”型(LYH型)估计.近几十年来,微分Harnack不等式成为了几何分析领域中主要的研究对象之一,许多学者在这领域作出了重大贡献[6-7].

同时,几何流在近些年来也逐渐成为了几何研究的热点内容[8-9],而且发展迅速.Gage等[10]证明了当初始嵌入曲线是平面简单闭凸曲线时,凸曲线在有限时间内收缩到一个点.1987年,Grayson[11]证明了嵌入平面中的任何闭合曲线在有限时间内变为凸曲线,并最终收缩到一个点.1994年,Sapiro等[12]对凸曲线考虑了欧几里得曲线收缩流的仿射模拟，在此情况下,演化曲线的速度是由仿射法向量给出.此后,Andrews[13]将上述结果推广到了根据其仿射法线移动的凸超曲面.此外,Angenent等[14]研究了关于非凸曲线的仿射热方程.

基于上述的研究成果,本文将等仿射曲线收缩流和微分Harnack不等式问题相结合,旨在研究等仿射曲线收缩流的微分Harnack不等式性质.

1 预备知识

设C(p):S1→R2(S1表示单位圆)为光滑嵌入曲线, 其中p为一般参数.取参数s使得曲线C的表达式为r=r(s)，且满足条件：

[rs,rss]=1 ,

(1)

文中[·,·]表示2×2阶矩阵的行列式,其中,

除非特殊说明,本文均假设曲线以s为参数,映射都是充分光滑的,且等仿射度量g在曲线的每一点都不等于零.

在式(1)两边同时对s求导,可得

[rs,rsss]=0.

即存在函数κ=κ(s)使得

rsss+κrs=0.

则等仿射曲率可定义为

κ(s)=[rss,rsss].

(2)

此时等仿射曲线演化方程有如下形式:

本文假设等仿射曲线均为严格凸曲线,即为具有严格正曲率的曲线，且初始曲线记为r(·,0)=r0(·).

(3)

另一方面,由

(4)

由式(2)可得κ(s)对时间t的变化为

(5)

更进一步地,计算Ns的演化方程得

故易知,

因此,等仿射曲率的演化方程为

(6)

2 主要结论

2.1 微分Harnack不等式

∂τ∂s=∂s∂τ+2κ∂s,

(7)

(8)

若令u=u(s,τ)=lnκ(s,τ),则式(8)可改写为

(9)

借鉴式(9)的表达形式,定义一类新的Harnack量为

(10)

其中:a,b∈R;φ(τ)为关于变量τ的函数.

假设本文所研究的闭凸等仿射曲线的Harnack量均用表达式(10).下面先研究该Harnack量的演化方程.

(11)

证明 在计算Harnack量的演化方程前,作如下说明:由式(10)可知Harnack量与函数φ(τ)相关,当φ(τ)已知时,为保证Harnack量为正值,利用最大值原理进行下述讨论: 在τ→0时,φ(τ)必须取非常大的值以保证Harnack量为正值.在上述假定下,开始计算Harnack量的演化方程.

对式(10)关于τ求导得

(12)

(uss)τ=(uτ)ss+2κsus+4κuss.

(13)

另一方面,易知

将其代入式(13)有

(14)

(15)

又由于式(9),因此可得

即

将其代入式(15),可得

(16)

将式(14)和式(16)代入式(12),可以得到Harnack量的演化方程的具体表达式为

定理1得证.

得到上述Harnack量的演化方程后,进一步研究Harnack量的非负性.将φ(τ)取具体函数形式后,可以得到如下结论.

证明 用反证法证明该定理.假设存在某一时间使得h(s,τ)≤0成立.

由于在定理1的证明过程中,已假设φ(τ)→+∞(τ→0),即a<1,η<2时，h(s,τ)>0.因此,必然存在某一时间τ=τ0>0，使minh(s,τ)=0.不妨假设h(s0,τ0)=0,由最大值原理可得在(s0,τ0)处有

hτ≤0,hs=0,hss≥0.

由于h(s0,τ0)=0,则

因此,在(s0,τ0)处,式(11)可表示为

从而,易得不等式:

8φeu+φτ≤0 .

(17)

2(1-a)(aY+bX+φ)2+

(6+4a-2b)XY-4bX2-8φX+φτ≤0,

即

(6+4a-2b+4ab(1-a))XY+

(4b(1-a)-8)φX+4a(1-a)φY+

2(1-a)φ2+φτ≤0.

将不等式的左端分解为如下4项:

W2=(6+4a-2b+4ab(1-a))XY；

W3=(4b(1-a)-8)φX；

W4=4a(1-a)φY+2(1-a)φ2+φτ.

即有如下不等式：

W1+W2+W3+W4≤0 .

因此,只需证明存在参数使得

W1+W2+W3+W4>0，

即可产生矛盾.

下面分别讨论W1,W2,W3,W4的非负性.

由上述对W1,W2,W3的分析可得,b满足如下不等式时,W1,W2,W3均为非负,

对W4,由于0≤a<1,Y≥0,φ为正,则4a(1-a)φY≥0.记W=2(1-a)φ2+φτ.从而有W4≥W.

将φ(τ),φτ代入W,可得

当η满足1<η<2时,W中的所有项均为正,即W4≥W>0.

由以上分析可知,确实存在条件使W1+W2+W3+W4>0.故假设不成立,即不存在使h(s,τ)<0的某一时间τ.又因假设φ(τ)→+∞(τ→0),故Harnack量在任意时刻始终为非负值.

与此同时,由上述证明过程易知τ>0时,h(s,τ)的系数满足

定理2得证.

在定理2的结论下,将闭凸等仿射曲线的Harnack量中的参数取定值,即令a=0(0≤a<1),b=2,故闭凸等仿射曲线Harnack量可以写为

其中1<η<2.

将上述表达形式的闭凸等仿射曲线的Harnack量称为闭凸等仿射曲线的Hamilton’s Harnack量,并用该Harnack量研究闭凸等仿射曲线的Hamilton’s Harnack不等式.

定理3设C为等仿射曲线收缩流下的一族闭凸等仿射曲线,其Harnack量为

其中1<η<2,且u=lnκ,则有h(s,τ)≥0,且等仿射曲率κ满足不等式

证明 首先,证明Harnack量为非负,即

由定理1易知,上述闭凸等仿射曲线的Harnack量演化方程为

在该演化方程下,与定理2类似,用反证法证明该推论,即先假设存在某一时间使得h(s,τ)≤0成立,再寻找矛盾,从而证明h(s,τ)≥0.由定理2的证明过程可知,必然存在τ=τ0>0使minh(s,τ)=0.若h(s0,τ0)=0,则由最大值原理可得在(s0,τ0)处

hτ≤0,hs=0,hss≥0成立.

故在(s0,τ0)处,Harnack量的演化方程可写为

另一方面,由于h(s0,τ0)=0,故有

因此,在(s0,τ0)处,易得以下不等式:

由于1<η<2,τ>0,显然假设并不成立,即不存在使h(s,τ)<0的某一时间τ.所以,闭凸等仿射曲线的Harnack量在任意时刻始终满足h(s,τ)≥0.

下面证明等仿射曲率κ满足不等式：

此外,u=lnκ,从而经过简单计算和变换,可得上述不等式的等价形式如下:

定理3得证.

2.2 经典Harnack不等式

在2.1节中,已经得到了闭凸等仿射曲线的Harnack不等式.下面沿时空路径积分Harnack不等式,可推导出经典的Harnack不等式.

κ(s1,τ1)≤

其中:1<η<2;d(s1,s2)为s1与s2之间的距离.

因此,结合u沿着C的演化方程可得

又由柯西-施瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式,可知

若令Harnack量中参数a,b分别满足2a≤1,b≤4,则上述不等式可化简为

即式(18)成立:

(18)

将式(18)沿着C作积分,易得

ξ(s1,τ1,s2,τ2)≤

由于C(s,τ)是仿射空间内连接(s1,τ1),(s2,τ2)的任意时空曲线,故沿着时空路径积分,速度不变,那么有

故可得

又由于u(s,τ)=lnκ(s,τ),则

因此,上述不等式等价于:

κ(s1,τ1)≤

定理4得证.

3 结 语

本文将等仿射曲线收缩流和微分Harnack不等式问题相结合,研究了等仿射曲线收缩流下一族闭凸等仿射曲线的Harnack不等式.首先,寻找到了闭凸等仿射曲线Harnack量的演化方程,并在该演化方程下证明了闭凸等仿射曲线Harnack量的非负性,即证明了闭凸等仿射曲线的Harnack不等式.其次,在闭凸等仿射曲线Harnack量的非负性的基础上进一步证明了闭凸等仿射曲线的Hamilton’s Harnack不等式.最后基于闭凸等仿射曲线Harnack不等式研究了经典的Harnack不等式.本文提供了微分Harnack不等式研究的一个新的方向,在此基础上还可以研究等仿射曲线收缩流下一族闭凸等仿射曲线的弱Harnack不等式等.