环Z4上自对偶码的构造

袁 健,朱士信,开晓山

(1.合肥工业大学数学学院,安徽合肥 230009;2.东南大学移动通信国家重点实验室,江苏南京 210096)



环Z4上自对偶码的构造

袁 健1,2,朱士信1,2,开晓山1,2

(1.合肥工业大学数学学院,安徽合肥 230009;2.东南大学移动通信国家重点实验室,江苏南京 210096)

Gray映射；线性码；自对偶码

1 引言

2 环Z4+vZ4上的线性码

定理1[6]若C为Z4上长为n的类型Ⅱ码，则dE(C)≤8⎣n/24」+8；若C为Z4上长为n的类型Ⅰ码，则当n≡23(mod24)时，dE(C)≤8⎣n/24」+12,否则dE(C)≤8⎣n/24」+8.

称达到定理1中上界的自对偶码为Z4上的极优码.下面介绍有限环Z4+vZ4={a+bv|a,b∈Z4},其中v2=1.为简便起见，用R表示环Z4+vZ4.环R是一个特征为4的含幺交换环，并且R可以看作多项式剩余类环Z4[v]/〈v2-1〉.R的单位元素组成的集合为

U={1,3,1+2v,3+2v,v,3v,2+v,2+3v}，

R的非单位元素组成的集合为

N={0,2,2v,2+2v,1+v,3+v,1+3v,3+3v}.

将R的非单位分为两个集合：N1={0,2,2v,2+2v}和N2={1+v,3+v,1+3v,3+3v}.容易验证：

环R有7个不同的理想，它们分别为：

{0}，Z4+vZ4，{0,2+2v}，〈2〉={0,2,2v,2+2v}，〈1+v〉={0,1+v,2+2v,3+3v}，〈1+3v〉={0,1+3v,2+2v,3+v}，〈2,1+v〉={0,2,2v,2+2v,1+v,3+v,1+3v,3+3v}.

因此，R是一个最大理想为〈2,1+v〉的局部环，剩余域为F2.因为〈2,1+v〉在R中的零化理想Ann(〈2,1+v〉)={0,2+2v}在F2上的维数为1，所以R是一个局部Frobenius环[10,11].

其中ci=ai+biv，i=0,1,…,n-1.显然，φ是一个双射.根据欧几里得重量定义，容易得到下面结论：

在Rn上引入内积.对于任意x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)∈Rn，定义x·y=x1y1+x2y2+…+xnyn.R上的长为n的线性码C的对偶码定义为C⊥={x∈Rn|x·c=0,∀c∈C}.易证C⊥也是R上的长为n的线性码.因为R是一个Frobenius环，所以有|C||C⊥|=16n(参见[10]).

3 R上自对偶码及其Gray像

设C是R上的线性码， 若C⊆C⊥，则称C为R上自正交码；若C=C⊥，则称C为R上自对偶码.R中由元素2生成的理想〈2〉可以看作R上长为1的自对偶码，利用直积的方法[11]，容易看到环R上存在任意长度的自对偶码.任取c=(c1,c2,…,cn-1)∈C，用nU(c)表示c的属于U的分量数目，nN2(c)表示c的属于N2的分量数目.为了构造Z4上自对偶码，首先给出R上自对偶码的性质.

定理3 设C为R上长为n的线性码，则下面结论成立：

(1) 若C是自正交码，则对于任一码字c∈C，nN2(c)≡0(mod2)且nU(c)≡0(mod4).因此，R上自正交码的每个码字的欧几里得重量都是4的倍数.

(2)若C是自对偶码，则C包含全2向量和全(2+2v)向量.

证明 (1) 设C是R上的自正交码，则对任一c∈C，c·c=0.但在R中，

c·c=nN2(c)(2+2v)+nU(c)

=2nN2(c)+nU(c)+(2nN2(c))v.

因此，

nN2(c)≡0(mod2)且nU(c)≡0(mod4).

注意到N2中的元素的欧几里得重量都是2，N1中的元素的欧几里得重量为0或4或8，即是4的倍数，而U中元素的欧几里得重量模4余1.由此可得，R上自正交码的每个码字的欧几里得重量都是4的倍数.

(2) 在环R中，容易验证：当r∈U时，r·(2+2v)=2+2v；当r∈N时，r·(2+2v)=0.

设C是R上的自对偶码，对任一c∈C，(2+2v,2+2v,…,2+2v)·c=nU(c)(2+2v).由(1)知，nU(c)是4的倍数，从而(2+2v,2+2v,…,2+2v)∈C⊥=C，即C中包含全2+2v向量.同理,C也包含全2向量.

由定理3(1)，R上自对偶码的每个码字的欧几里得重量都是4的倍数.同时，由于R中2+2v的欧几里得重量为8，根据定理3(2)，R上自对偶码中一定存在欧几里得重量是8的倍数的码字.由此，我们引入下面定义：

定义1 设C是R上的自对偶码，若它的每个码字的欧几里得重量都是8的倍数，则称C为类型Ⅱ码，否则称C为类型Ⅰ码.

为了构造Z4上自对偶码，下面考虑R上自对偶码的Gray像.

定理4 设C为R上长为n的线性码，则φ(C⊥)=φ(C)⊥.而且，若C是R上长为n自对偶码，则φ(C)为Z4上长为2n的自对偶码.若C是R上长为n的类型 Ⅱ码，则φ(C)为Z4上长为2n的类型Ⅱ码.

证明 因为φ是一个双射保距映射，并且

|φ(C⊥)|=|C⊥|=16n/|C|=42n/|φ(C)|=|φ(C)⊥|，

所以

于是

从而φ(C⊥)=φ(C)⊥.

注意到R上由2生成的长为1的自对偶码是类型Ⅰ码，利用直积方法[11]可知，R上任意长的类型Ⅰ码都存在，而对于R上类型Ⅱ码有下面的结果：

定理5 环R上长为n的类型Ⅱ码存在当且仅当n是4的倍数.

证明 由文献[6]可知，对于Z4上长为N的自对偶码，仅当N是8的倍数时，存在Z4上长为N的类型Ⅱ码.因为φ是保距映射，所以若R上长为n的类型Ⅱ码存在，则n是4的倍数.反过来，设n是4的倍数，令C=〈(v,1,1,1),(3,v,1,3),(3,3,v,1),(3,1,3,v)〉，则C是R上长为4的类型Ⅱ码.C的欧几里得重量计数器为WC(z)=1+128z8+126z16+z32.因此，C是一个参数为(4,44,8)的类型Ⅱ码.根据文献[11,Lemma 3.2]，C×C,C×C×C,C×C×C×C,……分别为R上长为8,12,16,……的类型Ⅱ码.所以，当n是4的倍数时，R上长为n的类型Ⅱ码存在.

下面给出类型Ⅰ码和类型Ⅱ码的欧几里得重量的上界.

定理6 设dE是R上长为n的类型Ⅰ码或类型Ⅱ码的欧几里得重量，则dE≤8⎣n/12」+8.

证明 由定理4，如果C是R上长为n的类型Ⅱ码或类型Ⅰ码，那么φ(C)为Z4上长为2n的类型Ⅱ码或类型Ⅰ码.因为φ是保距映射，根据定理1立即可以得到结论.因为2n≠23(mod24)，所以dE的上界不变.

若R上自对偶码满足定理6中的上界dE=8⎣n/12」+8，则称C为环R上的极优码.

4 Z4上自对偶码

本节，利用前面的结论，再结合计算机程序搜索R上类型Ⅰ码和类型Ⅱ码，由此构造Z4上的自对偶码.

例1 考虑R上长为1的自对偶码.取C1=〈2〉，则C1是R上的参数为(1,4,4)的类型Ⅰ最优码，其欧几里得重量计数器为WC1(z)=1+2z4+z8.因此，φ(C1)是Z4上参数为(2,4022,4) 的类型Ⅰ码.

例2 考虑R上长为2的自对偶码.取C2=〈(1+v,1-v),(2,2)〉，则C2是R上参数为(2,16,4)的类型Ⅰ最优码，其欧几里得重量计数器为WC2(z)=1+8z4+6z8+z16.因此，φ(C2)是Z4上参数为(4,4122,4) 类型Ⅰ码.

例3 考虑R上长为3的自对偶码.取C3=〈(0,1+v,1-v),(1+v,0,1-v),(2,2,2)〉，则C3是R上参数为(3,64,4)的极优类型Ⅰ码，其欧几里得重量计数器为WC3(z)=1+12z4+27z8+20z12+3z16+z24.因此，φ(C3)是Z4上参数为(6,4222,4) 的类型Ⅰ码.

例4 考虑R上长为4的自对偶码.在定理6的证明中，已经给出一个R上的长为4的(4,44,8)的极优类型Ⅱ码.该码的Gray象是四元OCTA码[1].若C4是R上的长为4，且由下面5个向量生成的线性码：(1,3,1,1+2v)，(0,2+2v,0,2+2v)，(2+v,2+v,1,3+2v)，(0,2,3+v,1+v)和(0,0,2,2)，则C4是R上参数为(4,256,8)的极优类型Ⅱ码，其欧几里得重量计数器为WC4(z)=1+132z8+118z16+4z24+z32.因此，φ(C4)是Z4上参数为(8,4322,8)的极优类型Ⅱ码.

例5 考虑R上长为6的自对偶码.设C6是R上的长为6，且由下列向量生成线性码：(1-v,1-v,1-v,1-v,1-v,1-v)，(0,2v,0,0,0,2)，(0,0,2v,0,0,2)，(0,0,0,2v,0,2)，(0,0,0,0,2v,2)，(0,0,0,0,0,2+2v)，(2,0,0,0,0,2)，(0,2,0,0,0,2)，(0,0,2,0,0,2)，(0,0,0,2,0,2)，(0,0,0,0,2,2)，则C6是R上参数为(6,46,8)的极优类型Ⅰ码，其欧几里得重量计数器为

WC6(z)=1+66z8+2048z12+495z16+924z24

+495z32+66z40+z48.

因此，φ(C6)是Z4上参数为(12,41210,8)的极优类型Ⅰ码.

例6 考虑R上长为8的自对偶码.

+15382z32+764z40+244z48+4z56+z64.

+17088z24+13056z28+6932z32+2560z36+608z40+128z44+28z48+z64.

(1,0,0,0,2+2v,3v,3v,3v),

(0,1,0,0,3v,2+2v,2+3v,2+v),

(0,0,1,0,3v,2+v,2+2v,2+3v)，

(0,0,0,1,3v,2+3v,2+v,2+2v).

5 总结

[1]Hammons A R Jr,Kumar P V,Calderbank A R,Sloane N J A,Solé P. TheZ4-linearity of Kerdock,Preparata,Goethals and related codes [J]. IEEE Transactions on Information Theory,1994,40(2): 301-319.

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Wo Bo,Zhu Shi-xin,Li Ping. Kerdock codes and Preparata codes over ringsFp+uFp[J]. Acta Electronica Sinica,2008,36(7): 1364-1367. (in Chinese)

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[8]Yildiz B,Karadeniz S. Self-dual codes overF2+uF2+vF2+uvF2[J]. Journal of the Franklin Institute,2010,347(10):1888-1894.

[9]Yildiz B,Karadeniz S. Linear codes overZ4+uZ4: MacWilliams identities,projections,and formally self-dual codes [J]. Finite Fields and Their Applications,2014,27: 24-40.

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袁 健 男，1988年生，合肥工业大学博士生，研究方向为代数编码.

E-mail: yuanjian@mail.hfut.edu.cn

朱士信(通信作者) 男，1962年生，合肥工业大学教授，博士生导师，国家级教学名师，国家“万人计划”第一批教学名师. 长期从事编码理论、序列密码与信息安全等研究.

E-mail: zhushixin@hfut.edu.cn

开晓山 男，1975年生，合肥工业大学副教授，硕士生导师，主要从事编码理论与信息安全研究.

E-mail: kxs6@sina.com

A Method for Construction Self-dual Codes over Z4

YUAN Jian1,2,ZHU Shi-xin1,2,KAI Xiao-shan1,2

(1.SchoolofMathematics,HefeiUniversityofTechnology,Hefei,Anhui230009,China; 2.NationalMobileCommunicationsResearchLaboratory,SoutheastUniversity,Nanjing,Jiangsu210096,China)

Gray map; linear codes; self-dual codes

2015-07-08;

2016-01-04; 责任编辑：马兰英

国家自然科学基金(No.61370089 );东南大学移动通信国家重点实验室开放研究基金(No.2014D04);安徽省自然科学基金(No.JZ2015AKZR0021,No.1508085SQA198)

TN991.22

A

0372-2112 (2016)11-2807-05

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10.3969/j.issn.0372-2112.2016.11.034