数字宽带波束形成的仿真与验证

刘子龙，丁淑娟，孙广俊，张曙光

(中国电波传播研究所，山东 青岛 266107)

0 引言

随着宽带波束形成技术在声纳、雷达、通信、医疗、麦克风阵列等科研领域的广泛应用，对应的理论研究和实现方法也是层出不穷:既有近场的，也有远场的;既有固定波束的，也有自适应处理的;既有时域实现的，也有频域合成的等。但在众多的研究内容和实现方法中，很少有对波束形成的整个流程做出仿真和论证的，为此，本文就固定波束宽带恒定束宽响应波束形成器［1～5］的整个实现过程进行了研究与论证，并通过理论分析与仿真证实了本文所述方法的正确性。

1 预延时

预延时是数字宽带波束形成器的重要组成部分，它的主要作用是调节波束指向。早期的宽带阵列产品是通过机械扫描(旋转天线)来实现方向扫描的，由于其缺乏灵活性，逐渐被其他延时技术所代替。

数字延时线是广泛使用的延时技术之一，文献［5］等给出了用数字延时线来调节波束指向的实现方法，以一维沿x轴排列的均匀线阵为例，如图1所示，各天线阵元编号分别为1，2，…M，纵坐标代表阵列法向。当来波方向(DOA，direction of arrival)偏离阵列法向夹角θ时，把各天线接收信号的延时可分解为整数倍采样间隔(Ts)的时间延时和小数倍采样间隔的时间延时Δtm的和(参考图1)，即

前者用数字延时线来代替，而后者忽略不计，这样，在采样频率较高时，可以近似认为各天线同步采集到了来波方向信号的同一波前，即波束指向来波方向。但这种结果只是一种近似，当信号采样频率相对较低或某些场合下对信号失真度要求较高时，这种波束形成的结果可能不满足要求，因此，需要有专门针对小数倍采样间隔延时的补偿方法。

Farrow滤波器是近些年来被广泛研究的滤波器结构［6～8］，它本质上是对采样信号的一种插值运算，可作为分数延时滤波器使用。Farrow分数延时滤波器的数学模型可表达为

［7］，这样，通过用插值多项式(z)dm来近似表达数字滤波器的冲击响应h(n，d)，便可以用一些固定系数的FIR滤波器并行实现总的群时延响应，并通过控制参数d来产生需要的小数延时。式(2)的原理框图如图2所示，其中 x［n］代表输入信号，y［n］代表延时输出。

典型的Farrow滤波器的“幅频响应”曲线如图3所示，“相频响应”曲线如图4所示，其中横坐标为归一化频率(1对应采样频率的一半，即数字频率π)，图3中的纵坐标为幅度大小，图4中的纵坐标为采样时间间隔的倍数，两幅图中多条曲线对应的归一化分数倍延时分别为［0:0.1:0.9］，仿真中采用的插值多项式是Lagrange线性内插多项式。更多的关于Farrow滤波器的设计方法可参见文献［9，10］等。

由于Farrow滤波器设计灵活，控制方便，便于在FPGA等硬件数字电路中实现［11］，因此得到了越来越广泛的应用。把数字延时线技术［5］和Farrow分数延时滤波器共同引入到宽带信号的预延时部件中，可以在各天线通道准确恢复出波束指向来波信号的同一波前。

2 波束形成器权系数求解

在完成对各天线阵元接收信号的预延时之后，接下来需要做的就是对各阵元信号进行加权处理。由于宽带信号的波束图会随着信号带宽的扩展而展宽，表现为对主瓣内非波束指向来波信号的低通滤波特性，以阵元数为16的均匀线阵为例，设归一化频率为［0.31］，1对应信号最高频率分量，阵元间距为最高频率分量对应的半波长，阵元加权为－30 dB切比雪夫窗，波束指向阵列法向，此时形成的阵列方向图如图5和图6所示。显然，当来波信号恰好来自阵列法向时，各频率成分信号衰减相同，如图中的实线箭头所示，此时不会产生波束形成信号的失真;然而当来波信号方向偏离阵列法向时，各频率成分信号衰减不同，高频成分衰减更大，如图中的虚线箭头所示，这必然导致接收信号的失真，因此需要设计宽带恒定束宽响应宽带波束形成器，即在感兴趣的信号带宽内，使主瓣范围内的波束响应不随频率变化。

设期望波束响应为P(f0，θ)，则希望在各离散频点及感兴趣的来波方向上获得的波束响应与参考波束响应一致，即求解波束形成器权系数的问题可以表示为

式中，w(m，i)为第m阵元第i个频点对应的权系数;P(fi，θj)是频率为 fi，兴趣角度为 θj时的波束响应;P(f0，θj)为 θj方向上的参考波束响应;P(fi，θs)为其他方向上的响应;δ为一约束值，m，i，j，s均为整数。

对式(3)不同的约束及求解方法衍生出众多不同的波束形成器权系数算法，较常见的求解方法有空间重采样法［12］、Bessel函数分解法［12］、聚焦矩阵法［13］、二阶锥规划法［5］等。其中空间重采样法适用于均匀线阵;Bessel函数分解法适用于任意阵列;聚焦矩阵法需要先对信号进行频率分解，然后通过聚焦矩阵对各频率分量进行聚焦处理;二阶锥规划法可以在主瓣宽度、旁瓣级、主瓣一致性和波束稳健性等多个指标间进行折中处理，较其他方法更为优秀，相应的，设计过程稍复杂。为简便起见，这里采用适应于均匀线阵的空间重采样法，并按照下面公式(12)计算各频点对应的加权系数

式中，wm(k)为阵元m第k个频率所对应的加权系数;d0、dk分别为实际阵元间距和第k个频率所对应的半波长;wi(0)为第i个阵元对应的参考加权系数。仍以16阵元均匀线阵为例，设归一化频率为［0.5，1］，阵元间距为最高频率分量对应的半波长，参考频率选为0.5，参考权值为－40 dB切比雪夫窗，波束指向阵列法向，按式(4)计算该倍频程内20个频点的加权系数，并绘出各个频点形成的方向图，如图7、图8所示。从图中可见，该组加权系数形成的方向图的主瓣响应基本一致，可确保主瓣内来波信号的无失真接收。

图7 空间重采样法形成的恒定束宽响应阵列方向图

图8 图5波束响应对应的三维图

3 波束形成处理

有了各个频点对应的加权系数，便可以对来波信号进行波束形成处理。波束形成处理既可以在频域实现，也可以在时域实现:频域实现是一种块处理方式，它先对接收数据进行FFT变换到频域，再在频域上完成数据加权及波束形成，最后再通过逆FFT把频域数据变回到时域;时域处理需要根据各频点的加权系数对各阵元构造时域FIR滤波器［5］，再用该滤波器对阵元数据进行滤波。本文仿真采用时域处理的方法。

设时域第m个天线阵元连接的FIR滤波器的阶数为N，对应的冲击响应为hm(n)，则根据式(4)

可以用Matlab或其他数字滤波器设计工具获得第m阵元对应的具有线性相位的FIR滤波器的系数，这样就可以用该滤波器对m阵元接收数据进行滤波，最后，把各个阵元输出相加，便实现了宽带波束形成后的数据。

4 仿真

为了验证本文所提方法的正确性，在Matlab中建立如下仿真条件:阵列结构为32阵元均匀线阵，信号形式为线性调频信号，归一化频率为［0.3，1］，阵元间距为最高频率对应的半波长，采样频率为2倍最高信号频率，来波信号方向偏离阵列法向30°，信号幅度归一化，信噪比为0 dB，波束指向偏离阵列法向25°，对［0.3，1］归一化频率范围内的 138个等间隔频点按空间重采样法计算阵列加权系数，并以此来构造连接于每个天线阵元的阶数为256的FIR滤波器。

经计算，得到的仿真结果如图9～图12所示，其中，图9为理想的波束输出，其最大输出幅度约为21.3，该值小于32是由于阵元加权了－30 dB切比雪夫窗;图10是利用窄带波束形成方法得到的常规波束形成输出，阵元加权值依然为－30 dB切比雪夫窗，从该图中可以清楚地看到，线性调频信号随着频率的升高衰减不断加剧，这与图5的分析结果完全吻合;图11是本文方法得到的波束形成结果，该结果基本恢复了掩埋在噪声中的线性调频信号，值得一提的是该输出结果比图9的结果偏小约2 dB，这是由于波束指向偏离来波方向造成的，这可从分析图7的主瓣响应中得到答案，只不过这里的阵元数是32。

为了说明farrow分数延时滤波器在波束形成中的作用，展示了无分数延时滤波器时的波束输出，如图12所示，对比图11可以发现，图12结果在频率较高时明显变差，这是由于忽略了分数倍延时对信号包络的影响造成的，该影响随信号频率的升高逐渐增强;相反，经过分数延时滤波器的波束形成结果在整个信号带宽内对原始信号的恢复均较为理想。

图12 分数延时滤波器对波束形成的影响

7 结语

本文首先把数字延时线和Farrow结构分数延时滤波器相结合作为宽带阵列的预延时电路，以此来获得波束指向来波信号的同一波前，然后通过空间重采样法获得不同阵元不同信号频率分量对应的加权系数，并用一组线性相位FIR滤波器的频率响应来逼近这些加权值。仿真结果表明，本文提出的整套宽带恒定束宽响应波束形成方法正确，且具有较强的实用性。

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