基于特征谱的空间锥体目标识别方法

关永胜，左群声

(1.中国电子科学研究院，北京 100041;2.中国电子科技集团公司，北京 100846)

0 引言

真假弹头识别是弹道导弹防御系统的关键技术。导弹在飞行过程可分为三个阶段:助推段、中段及再入段。其中在中段飞行时间大约为20 min［1］，是反导系统首选的拦截阶段。然而在这一阶段，为了提高弹头的生存能力，导弹母舱通常会投放多个弹头或者释放轻重诱饵，以及应用突防措施，形成威胁目标群，与战斗部一起以相同的速度在大气层外同时做惯性飞行，给真假弹头的探测与识别带来相当的困难［2］。目前为止，国内外文献针对真假弹头识别的研究工作主要围绕着基于RCS、一维距离像或二维逆合成孔径雷达像(ISAR像)展开特征提取与识别方法的研究。

最近研究表明，微动(例如目标部件或结构的振动、旋动)可以对雷达回波产生额外的频率调制，为了区别于目标的多普勒频率，此频率被称为微多普勒［3，4］。它提供了目标识别的新方法，在目标分类与识别领域展示了巨大的潜力。

文献［5～7］指出空间锥体目标在太空飞行过程中存在不同的微动，目标特有的微动为进动，而诱饵的微动为摆动、自旋。依据目标与诱饵微动特性的差异，可望为目标识别难题提供新的解决手段。美国导弹防御局2004年资助了一项“S波段雷达微多普勒特征用于弹道导弹识别”的创新研究，使得宙斯盾防御系统的AN/SPY-1相控阵S波段雷达能够利用微多普勒特征识别威胁目标［8］。文献［9］提出应用二维时频最小方差谱估计方法，能够抽取目标的微多普勒特性。文献［10～12］研究了基于微多普勒特征的弹道目标旋转特性的抽取方法。

下面主要探讨了弹头与诱饵的特征提取与识别问题。从模式分类的角度，提出了基于特征谱的识别特征提取方法。首先推导了低分辨雷达体制下弹头与诱饵回波信号的数学模型和理想的调制特征，分析指出弹头与诱饵的微多普勒谱均可以近似为线谱，但是存在明显差异。然后从谐波和的数学模型出发提出本文的分类方法，讨论了低重频、短照射对特征谱的影响，提出基于特征值分解(EIG)的特征提取方法，并利用2种特征描述方法来降低分类特征维数。

1 微多普勒信号数学模型

假设目标位于雷达远场区域，建立目标与雷达的几何关系示意图，如图1所示。雷达位于坐标系(U，V，W)的原点Q处，目标位于参考坐标系(X，Y，Z)，目标的质心为原点O。参考坐标系(X，Y，Z)与雷达坐标系(U，V，W)平行。

图1 锥体目标微动模型

设点O与雷达Q的距离为R0，方向角与俯仰角分别为 α，β;则点 O 在(U，V，W)下的坐标为 R0=R0［cos(α)cos(β)，sin(α)cos(β)，sin(β)］T。若目标上任一散射点i在(X，Y，Z)坐标系下的初始位置为 ri=(X0，Y0，Z0)T，经过 t时刻，点 i运动至 i'，点O运动至O'。此时点i的坐标为

式中，Mt为3×3目标微动变换矩阵。若目标的平动速度为v，雷达与点i的距离可表示为

式中，γ为速度与雷达视线的夹角;Rt≈R0+vtcos(γ);由于表示欧几里德范数。

若雷达发射载频为fc的正弦波，接收的回波基带信号可以表示为

式中，ρi表示反射率;c为电磁波的传播速度;相位函数因此点i微动产生的微多普勒频率为

由于空间锥体目标为轴对称结构，轴线两端散射点的微多普勒呈现反相。因此回波瞬时多普勒频率变化范围对应着回波频谱展宽的程度，令fMmD为该目标回波最大微多普勒，则有BW=2fMmD。

2 微多普勒特性分析

2.1 摆动目标的微多普勒特性

目标摆动模型，如图2所示。

图2 锥体目标摆动模型

目标以 OC为轴摆动，摆动频率为 fb(角速度ωb=2πfb)，摆动角为Θb。摆动变换矩阵可以表示为

式中，θb(t)=Θb(sin［2πfbt)］。因此在 t时刻点 i处的微多普勒为

将式(1)、式(2)、式(5)代入到式(3)，则 t时刻第i个散射点的回波信号为

式中，a1=Y0sin(α)cos(β)+Z0sin(β);

式中，J(·)是第一类Bessel函数。令g(t)=exp{jysin［θb(t)+χ］}，则该式傅里叶级数展开形式为

由式(10)可知，信号gn(t)的频谱为一系列Dirac函数之和，即由一系列间隔为nfb谱线构成。令G(f)为g(t)的傅里叶变换，则g(t)的频谱为

式中，*表示卷积。由于G1(f)由一系列间隔为fb的Dirac函数构成，因此G(f)为谱线间隔为fb的线谱。令Si(f)为si(t)的傅里叶变换，S(f)为s(t)的傅里叶变换，则

根据式(12)，目标的摆动调制使得回波中产生了相应的微多普勒效应。摆动目标的微多普勒谱是一系列Dirac函数之和，即由一系列以fd为中心，周期为fb的谱线构成。谱线的周期仅由目标的摆动频率fb决定，谱线的幅度由散射点的位置、散射点数目、雷达参数及Bessel函数决定。

2.2 进动目标的微多普勒特性

锥体目标进动模型，如图3所示。

图3 锥体目标进动模型

目标绕其自身对称轴OZ旋转，同时绕方向矢量OC锥旋。OZ与OC的交点为O，二者的夹角被称为进动角。由于进动可分解为“旋转+锥旋”的合成运动，进动变换矩阵可以表示为［13］

式中，

ωr为旋转角速度;ωc为锥旋角速度。该点产生的微多普勒为

t时刻目标上任一散射点i与雷达的距离为

式中，b1～b9由目标的散射点位置与雷达视线共同决定。将式(1)、式(2)、式(15)代入式(3)，可求得t时刻点i回波。对该回波信号进行傅里叶级数展开，为

根据式(17)与式(18)，目标的进动使得回波中产生了相应的微多普勒效应。多散射点进动目标的微多普勒谱是一系列Dirac函数之和。谱线位于mfcr+nfr处，谱线幅度由散射点的位置、雷达参数和Bessel函数决定。

自旋可以视为锥旋角速度等于0的进动。因此多散射点自旋目标微多普勒谱是一系列Dirac函数之和。谱线的间隔等于目标的自旋频率fr，谱线幅度由散射点的位置、雷达参数和Bessel函数决定。

若令N表示谐波的数目，则

其中ΔW表示谱线间隔。由于锥体目标为轴对称结构且弹头与诱饵的外形相近，根据式(6)与式(14)可推知进动目标的回波频谱展宽大于自旋目标及摆动目标的回波频谱展宽;根据式(10)、式(11)与式(17)可知，进动目标回波信号的谱线间隔小于自旋目标与摆动目标的回波信号的谱线间隔。进动目标回波信号的谱线分布比自旋目标与摆动目标回波信号的谱线分布复杂。

3 特征提取与选择

由于回波的微多普勒谱均是由一系列谱线构成的线谱，因此回波信号谐波和的形式为

式中，w(n)是均值为0，方差σ2的复高斯白噪声。假定信号是宽平稳，初始相位 φi(i=1，2，…，L)是在［0，2π］上服从均匀分布的独立随机变量，L表示谐波的数目或谱线的条数。令x(n)=［x(n)，x(n+1)，…，x(n+P －1)］T，P 是信号样本长度或阶次，考虑到噪声与信号不相关，其协方差阵为

式中，Wi是第i条谐波信号功率;ei={1exp(ωi)exp(2ωi)…exp［(P －1)ωi］}T是信号矢量;Ι为单位阵。取阶次P＞L，则P×P矩阵Rss必是奇异矩阵。若对Rss进行特征值分解，记特征值和特征向量分别为λm，υm(m=1，2，…P)，特征值按非递增顺序排列，那么最后P－L个特征值将为0，所以有

可见，υm(m=1，2，…，P)也是 Rxx的特征向量，Rxx的特征值中有P－L个明显较小，对应的特征向量张成的空间是噪声子空间，L个大特征值对应特征向量张成的空间是信号子空间。

注意到此处采用的谐波和模型等价于第2节所述的目标回波信号模型，显然以上结论同样适用于第2节的回波信号模型。因此特征值的分布特性一定程度上能够表征回波信号中的频谱特性。通过估算P个特征值中的大特征值个数L能够估算回波中信号的谐波个数。L个大特征值对应的是回波信号频谱中谱线的能量分布。

进动目标、自旋目标与摆动目标的归一化特征值分布图，如图4所示。目标微动参数见表1。从图4可见，进动目标、自旋目标，以及摆动目标的特征谱存在明显差异。其中进动目标的特征谱变化趋势平缓且分布范围广，意味着谐波数目较多。摆动目标特征谱变化趋势剧烈且分布范围小，意味着谐波数目较少。自旋目标特征谱介于进动目标与摆动目标之间。基于以上分析，可以应用特征谱作为识别特征，文献［14］论述了将特征谱作为识别特征进行三类目标识别的性能。

图4 进动、自旋与摆动目标特征值分布图

表1 目标微动参数以及雷达视线

需要注意的是，在分析中考虑的是理论的相关矩阵Rxx。然而在实际应用中，相关矩阵必须从测量数据中估计出。其采样相关矩阵为

而主子式的阶数受波束驻留时间与脉冲重复频率的约束，阶数P∈［1，T*Prf］，其中T为波束驻留时间，Prf为脉冲重复频率。实际应用中一般取P=可见，当波束驻留时间过短且脉冲重复频率较低情况下，P＜L。对于地面警戒雷达而言，脉冲重复频率一般较低且由于目标处于高速运动，很难长时间积累，难以满足P＞L的条件，因此下面讨论P＜L的情况。

文献［15］指出，若 Tn为 Hermite型 Toeplitz矩阵，Tk(k=1，2，…n －1)是其 k 阶主子式，记 Tk－1。特征值是 λ1，λ2…，λk－1，则 Tk的 k 个根按非递增顺序排列分别位于区间(λ1，+∞)，(λ2，λ1)，…(－∞，λk－1)。

可见，满秩Hermite协方差阵Rxx的P个特征值相当于在其P－1阶主子式的P－1个特征值间“插值”，P－1阶特征值相当于在P－2阶主子式特征值间“插值”，以此类推。因此，当P＜L时，所得的特征谱(特征值从大到小排列称为特征谱)相当于足够长时间下特征谱的“采样”［15］。新的特征谱仍保留了原始特征谱的分布特性，从分类目标的角度而言，仍然具有较好的分类性能。进动目标75阶与73阶主子式的特征谱的分布情况，如图5所示。正如前文所述，75阶主子式的最大特征值大于73阶主子式的最大特征值;75主子式的最小特征值小于73阶主子式的最小特征值。同时还应注意到，虽然随着主子式阶数的变化，特征谱分布也随之改变，但是在一定程度上仍然保持了原有特征谱的特性。进动目标、自旋目标与摆动目标75阶特征主子式的分布图，如图6所示。与图4对比可以发现，随着主子式阶数的改变，目标的特征谱分布也随之发生变化，但是仍反映了目标的特征谱分布特性。进动目标的特征谱分布最平坦，自旋目标次之，摆动目标的特征谱分布最陡峭，仍然存在可分性。因此可以得出结论，即使在P＜L情况下，特征谱仍可以作为识别特征。

图5 进动目标不同阶数特征谱分布

图6 特征谱分布图

但如果选择全部的特征值作为识别特征，将会陷入维数灾难［16］，使得分类器的计算复杂度以及分类器的计算量大大增加。必须进行特征选择。选用了2种特征来描述特征谱的散布程度:设特征谱Λ =［λ1，λ2…，λNe］，λ1≥λ2≥…≥λNe，Ne是特征谱的维数。两种识别特征概率密度函数，如图7所示。从图中可见，两种特征都具有一定的分辨力。

第1种:特征谱熵特征

第2种:大特征值归一化后的特征值和

图7 空间锥体目标两类识别特征概率密度函数

4 遮挡效应的分析

在高频近似的情况下，目标呈现光学区散射特性，存在散射点遮挡效应。为了有效分析空间锥体目标的微动及微多普勒效应，下面将对空间锥体目标的散射点遮挡效应进行分析。需要指出的是，下面的研究并没有根据电磁散射理论进行严格的电磁计算来获得相应的散射中心位置与强度，而是用散射点中心模型的近似结论。

首先以微动形式为自旋的空间锥体目标为例，对散射点遮挡效应进行简单的阐述。空间锥体目标结构简单，且多为轴对称，其散射点主要为球冠、底部边缘上的两点以及天线与旋翼［17，18］等，如图8所示。当目标自旋时，点W以对称轴为中心进行自旋，随着该点的自旋，当其旋转至背向雷达视线位置的时候，由于锥体目标主体的遮挡，使得雷达波无法照射该点，因此产生了遮挡效应。接下来将对散射点的遮挡效应进行详细的数学推导，并给出计算公式。

图8 雷达与目标微动示意图

微动目标示意图，如图9所示。雷达位于雷达坐标系(U，V，W)的原点 Q，目标坐标系为(x，y，z)，原点为O。Oz与SN的交点为S。目标以SN为中心微动，其微动变换矩阵为MO(t)。点S在目标坐标系中的坐标记为=[0，0，zs]T。参考坐标系(X，Y，Z)与雷达坐标系(U，V，W)平行，原点位于 S。SN在参考坐标系下的方位角与俯仰角分别为αN，βN。因此雷达视线的单位矢量 n=［cos(α)cos(β)，sin(α)cos(β)，sin(β)］T。在参考坐标系下，SN 的单位矢量 e=［cos(αN)cos(βN)，sin(αN)cos(βN)，sin(βN)］T。若目标在上任一散射点P在目标坐标系中的初始位置为=［xP，yP，zP］T，则在参考坐标系下的初始位置为

图9 雷达与目标微动示意图

式中，×表示乘积;norm为欧几里德范数。令参考坐标系(X，Y，Z)的单位方向矢量为 i，j，k。则

式中，C 为 R3空间中两组基与 i，j，k 间的过渡矩阵，且C为正交矩阵。由于i，j，k为笛卡尔基，故

t时刻，rP在基 i，j，k 下的坐标为

此时的微多普勒为

典型的固定散射点遮挡示意图，如图10所示。当遮挡效应存在时，相当于雷达回波信号调制一占空比为0.5的方波，则微多普勒变为

其中a(t)表示一占空比为0.5的方波。

根据傅里叶变换的理论可知，周期信号的频谱与周期性的方波相乘，新信号的频谱为二者频谱的卷积，占空比为0.5方波的频谱也为线谱，其频谱强度服从Sinc分布，与原信号的频谱进行卷积后，考虑遮挡效应信号的频谱也为线谱。可应用第四节所述特征提取方法进行提取识别特征。

图10 固定散射点示意图

6 仿真

仿真中，目标为多散射中心模型，散射点散射强度服从 N(0，1)的正态分布，初始相位服从 U［0，2π］均匀分布。目标高度变化范围为1.8～2.2 m，散射点数目变化范围为7～23。实验中分别设置了进动目标、自旋目标以及摆动目标。由于空间目标多为轴对称结构，仿真中考虑散射点遮挡效应。

从三个方面验证了特征谱作为识别特征的稳健性。这三方面分别为:分类器对识别性能影响，积累时间对识别性能的影响，以及噪声对识别性能影响。为检验分类器对识别性能的影响，应用支持向量机分类器(SVM)、K近邻分类器(K-NN)、线性判别函数分类器(LDC)，二次判别函数分类器(QDC)以及神经网络分类器(BP)五种分类器进行分类。SVM分类器采用高斯核 K(xi，xj)=exp(－ |xj－xi|2/σ2)。在计算负担允许的条件下选用了不同的核参数进行实验，文中给出的识别率结果是在有限次实验中最好的识别结果。KNN分类器近邻数为3，BP分类器的层数为3。

试验中进动目标、自旋目标以及摆动目标的微动参数见表1。对于每类目标，通过改变微动参数及雷达视线，各获得了1080个目标作为样本。样本中随机选取1/3作为训练样本，其余的2/3作为测试样本。识别率随积累时间、信噪比的变化曲线，如图11所示。

图11 不同积累时间、信噪比的识别率变化曲线

其中图11(a)为随时间变化的识别率曲线(X波段，500 Hz重频，20 dB信噪比);图11(b)为随信噪比变化的识别率曲线(X波段，500 Hz重频，300 ms积累时间)。

从图11(a)可知，随着积累时间的增加，识别率也随之变大，这是由于随着积累时间的增加，雷达接收到的脉冲数目增多，相当于使得特征值的“采样率”变大，识别特征的可分性增强，因而提高了识别率。同时还应注意到，即使积累时间在50 ms的时候，三种分类器的识别率均高于70%，显示了良好的分类能力。由图11(b)可知，随着信噪比的变大，识别率也随之变大。这是由于信噪比较小时，信号受噪声污染较小，能够保持原来的信号子空间的特性，保证了可分性。值得注意的是，图11显示在不同情况下应用五种不同分类器均取得了良好效果，证明了特征谱作为识别特征对分类器具有一定的稳健性。

基于特征谱所提取的特征谱熵与大特征值归一化后的特征值和两种识别特征，可以实现弹头与诱饵的分类。

6 结语

研究了应用低分辨雷达识别弹头与诱饵的问题。从模式分类的角度，提出应用特征谱作为识别特征的分类方法。该方法虽然在常规雷达低重频的体制下，不能精确地给出实际谱线的条数，但是从模式识别的角度来看，它能较好分辨弹头与诱饵。另外，为降低计算量节约计算时间，提取的脉间特征谱可用描述其散布程度的二维特征来降低特征维数。同时，仿真试验显示了雷达参数(积累时间、信噪比)对识别性能的影响。

［1］ CEPEK R J.Ground-Based Midcourse Defense:Continue Testing，but Operational Fielding Must Take a Backseat to Theater Missile［R］.Norfolk VA:Joint Forces Staff College，2005.

［2］ 刘永祥，黎湘，庄钊文.导弹防御系统中的雷达目标识别研究［J］.国防科技大学学报，2004，26(4):6-9.

［3］ CHEN V C.Analysis of Radar Micro-Doppler Signature with Time-Frequency Transform［C］//Proceedings of the Tenth IEEE Workshop on Statistical Signal and Array Processing.Pennsylvania:IEEE，2000:463-466.

［4］ CHEN V C.Micro-Doppler Effect of Micro-Motion Dynamics:A Review［C］//Independent Component Analyses，Wavelets，and Neural Networks.Orlando:SPIE，2003:240-249.

［5］ KEVIN M CUOMO，JEAN E PIOU，JOSEPH T MAYHAN.Ultra-wideband coherent Processing［J］.The Lincoln Laboratory Journal，1997，10(2):203-222.

［6］ NUNN E C.The US Army White Sands Missile Range Development of Target Motion Resolution［C］//Processing of IEEE electronics and Aerospace Systems Conventions.Arlington，USA:IEEE，1980:346-352.

［7］ 庄钊文，刘永祥，黎湘.目标微动特性研究进展［J］.电子学报，2007，35(3):520-525.

［8］ KIRK J.S-band Radar Micro-Doppler Signatures for BMD Discrimination［DB/OL］.(2004-08-24)，http://www.acq.osd.mil/osbp/sbir/solicitations/sbir044/mda044.htm.

［9］ LIAQAT S，BIN IHSAN M，ASGHAR S Z，et al.High Resolution 2D Time Frequency Representation of Radar Micro-Doppler Pedestrian signal［C］//Radar Conference(EuRAD)，2013 European.IEEE，2013:168-171.

［10］ WANG C，FU X，LI T，et al.Micro-Doppler Feature Extraction Using Single-Frequency Radar for High-Speed Targets［C］//Radar Conference 2013，IET International.IET，2013:1-6.

［11］ PAN X，WANG W，LIU J，et al.Features Extraction of Rotationally Symmetric Ballistic Targets Based on Micro-Doppler［J］.Progress In Electromagnetics Research，2013(137):727-740.

［12］ YAO H Y，LI X X，SUN W F，et al.Micro-Doppler Analysis of Nutation Target in Ballistic Midcourse［C］//Radar Conference 2013，IET International.IET，2013:1-5.

［13］ 高红卫，谢良贵，文树梁.基于微多普勒特征的真假目标雷达识别研究［J］.电波科学学报，2008，23(4):16-20.

［14］ 关永胜，左群声，刘宏伟，等.空间锥体目标微动特性分析与识别方法［J］.西安电子科技大学学报，2011，38(2):105-111.

［15］ CHEN F，LIU H，DU L，et al.Target Classification with Low-Resolution Radar Based on Dispersion Situations of Eigenvalue Spectra［J］.Science China(Information Sciences)，2010，53(7):1446-1460.

［16］ THEODORIDIS S，K Koutroumbas.Pattern Recognition［D］.2006.

［17］ 黄培康，殷红成，许小剑.雷达目标特性［M］.北京:电子工业出版社，2005.

［18］ MAYHAN J T.RCS Scatterer Extraction Using Apriori Target Information［R］.ESC-TR-2003-078，Lexington，Massachusetts:Lincoln Laboratory，2004.