基于遗传算法的机械手时间-脉动优化轨迹规划

牛韬，嵇道扬，马晨波，孙见君

（1.江苏速力达精密科技有限公司， 江苏 南京 211299）

（2.南京林业大学机械电子工程学院， 江苏 南京 210037）

机械手的轨迹规划作为轨迹跟踪控制的基础[1]，是通过给定的路径点，在满足相关运动学和动力学约束的条件下，得到通过路径点的轨迹，并计算出机械手运动过程中的位移、速度、加速度等参数，其优劣对机械手的工作效率、运行平稳性等起着决定性作用。由于路径点之间的轨迹复杂繁多，人们希望从中找到一条最优的轨迹。其中，注重效率的时间最优轨迹规划的研究开展最早[2-3]，也最为热门。张红强[4]采用B样条曲线构造机器人的轨迹，提出了一种基于改进混沌优化算法的机器人时间最优轨迹设计方法，并在关节空间与笛卡尔空间对PUMA560前三关节轨迹进行了优化计算。付荣[5]等人根据机械臂运动学约束，提出了关节空间基于粒子群优化（PSO）的时间最优3-5-3多项式插值轨迹规划算法。但是，时间最优的轨迹往往具有较大的脉动，脉动过大对机械手有不利的影响，会带来振动、机械磨损、寿命缩短、轨迹跟踪误差增大等问题[6-7]。机械手最优脉动轨迹的研究应运而生，杨锦涛[8]等人用S形速度曲线代替梯形速度曲线，对B样条进行插补，插补后得到笛卡尔空间的位置、速度、加速度参数，得到脉动最优的轨迹曲线，并反推到关节空间进行仿真验证。随着现代工业生产要求的提高，单独一种目标的最优轨迹规划很难满足应用中的综合要求，考虑两种或者两种以上性能的优化可以得到更适合实际生产应用、综合性能更优的轨迹规划方案[9-12]。

本文提出了一种基于遗传算法的机械手时间-脉动最优轨迹规划方法。采用三次B样条曲线对关节坐标内路径点的位移时间序列进行插值，得到待优化的轨迹曲线；以相邻路径点之间的时间间隔为设计变量，以机械手的运动学约束为约束条件，使用加权系数法定义目标函数，涵盖机械手运行时间和机械手轨迹脉动两个部分，基于遗传算法求解带约束的多目标优化问题，得到运行时间和脉动综合最优的轨迹，并通过仿真分析进行了验证。

1 问题描述

机械手的轨迹规划按规划空间不同分为笛卡尔空间轨迹规划和关节空间轨迹规划。笛卡尔空间轨迹规划在机械手的工作坐标系中进行，规划对象是末端执行器的轨迹曲线，经过规划后末端执行器沿着规划好的曲线运动。关节空间轨迹规划在机械手的关节坐标系中进行，规划对象是各个关节的角度，规划后各个关节按照规划方式运动，从而带动机械手在工作空间中完成各种运动。

机械手的轨迹规划按照规划方式不同分为连续路径轨迹规划和点到点轨迹规划[13]。在机械手末端执行器的位姿有瞬时变化，如焊接、喷涂等作业中，机械手多采用连续路径轨迹规划。而在路径简单，对精度要求不高的工作中，如搬运、码垛等作业中，则会采用点到点的方式进行轨迹规划。

本文以ABB公司的IRB6640型机械手作为研究对象，此机械手有六个自由度，承载能力为180kg，在轮毂加工的过程中承担将汽车轮毂在数控机床间的搬运工作，路径较为简单，因此，选择在关节空间进点到点轨迹规划。

在进行轨迹规划的过程中，根据机械手要完成的工作，设定个路径点和个与之对应时刻，给定机械手末端执行器的位置时间序列（Pi，ti），其中，i=1，2，…，m。通过运动学逆运算，得到六个旋转关节的角位移时间序列（Qij，ti），其中，i=1，2，…，m，j=1，2，…，6，Qij表示与第i个路径点对应的第j关节的角位移。用三次B样条曲线，对六个旋转关节的角位移进行插值，得到关节运动轨迹函数qj(t)，其中，j=1，2，…，6，qj(t)表示第j个关节角位移-时间函数。相应的，角速度、角加速度、脉动函数表示如下：

在进行轨迹规划时，每一组不同的时间序列T=[t1，t2…tm]（或者表达成时间间隔序列△T=[△t1，△t2…△tm-1]，△Ti=ti+1-ti，i=1，2，…，m-1），都会得到不同的关节运动轨迹。为实现对不同轨迹的评价，进而实现轨迹优化，从机械手的工作效率和运行平稳的角度出发，定义如下的评价指标：

其中，E1为机械手按某一轨迹运行的总时间，用来衡量机械手的工作效率，E2为机械手按某一轨迹运行的总脉动。本文旨在找出一组时间序列，得到一条时间-脉动综合最优的机械手运动轨迹。

2 三次B样条曲线构造关节轨迹

B样条曲线是一类分段光滑，且在各段交接处也有一定光滑性的函数曲线。B样条曲线具有导数连续性、局部支撑性、可拓展性等优点，被广泛应用于机械手的轨迹规划中[14-15]。本文采用三次B样条曲线对关节空间的路径点进行插值。

n次B样条曲线的数学表达式为：

其中，0≤t≤1，Ni为控制点，Fi,n(t)为n次B样条基函数，其表达式为：

由n次B样条曲线插值得到的第k段关节轨迹：

当n=3时，将式（8）整理成矩阵形式，表达式如下：

其中，k=1，2，…，m-1，m≥2。

已知机械手的某关节需要经过m个路径点qi（i=1，2，…，m），完整的轨迹需要由m-1段曲线连接组成，曲线方程由m+2个未知的控制点Ni（i=1，2，…，m+1）所唯一控制。将已知条件m个路径点qi带入式（9），可以列出m个方程。若想求出所有的控制点Ni的解还需要增加两个边界条件，可以根据轨迹曲线的需要给定，一般是设置机械手关节的第一段轨迹的起始点和最后一段轨迹的终止点的速度为零。由已知的m+2个方程，可以求出m+2个控制点的确定解。

求得控制点后，根据式（8）能够得到关节的运动轨迹，进而求导可以得到关节的角速度、角加速度、角加加速度曲线。

3 基于遗传算法的最优时间-脉动求解

遗传算法（Genetic Algorithm，GA）是一种进化算法，其基本原理是仿效生物界中的“物竞天择、适者生存”的演化法则，从代表问题可能潜在的解集的一个种群开始的，而一个种群则由经过基因编码的一定数目的个体组成[16]。初代种群产生之后，按照适者生存和优胜劣汰的原理，逐代演化产生出越来越好的近似解，在每一代，根据问题域中个体的适应度大小选择个体，并借助于自然遗传学的遗传算子进行组合交叉和变异，产生出代表新的解集的种群。这个过程将使得种群像自然进化一样，后生代种群比前代更加适应环境，末代种群中的最优个体经过解码，可以作为问题近似最优解。在给定的搜索空间内，遗传算法对多个解进行同时搜索，能够避免解停滞在局部最优的区间，适用于多目标，非线性，多模型的复杂系统的优化问题。

采用加权系数法，将多目标E1与E2的优化问题转换成单目标优化问题，定义算法所需的适应度函数如下：

轨迹的优化以机械手的运动学约束作为约束条件，即以角速度、角加速度、角加加速度的最大值为约束条件。角速度约束如下：

基于遗传算法的机械手时间-脉动最优轨迹规划优化计算，其流程如下：

(1)编码：遗传算法在进行搜索之前先将解空间的解数据表示成遗传空间的基因型串结构数据，这些串结构数据的不同组合便构成了不同的点。

(2)生成初代种群：随机产生20组时间序列，一组时间序列对应一条轨迹，对应每组时间序列称为一个个体，20个个体构成了初代种群。

(3)适应度计算：适应度表明个体或解的优劣性，20组时间序列带入式（11）的适应度函数计算适应度。

(4)选择、交叉、变异：选择的目的是为了从当前群体中选出适应度高的个体，使它们有机会作为父代为下一代繁殖子孙。被选作父代的个体，通过交叉和变异获得新的下一代的个体，新的20个个体组成新一代的种群。设置交叉概率pc=0.8，变异概率pm=0.1。

(5)判断是否满足终止条件：设置终止条件迭代代数为100代。若满足，进行步骤（6）；若不满足，循环执行步骤（3）和步骤（4），直至满足终止条件。

(6)解码：对末代种群做逆编码操作，选择其中的最优时间序列，即为解得的最优解。最优时间序列对应的机械手轨迹则为时间-脉动最优轨迹。

4 仿真与结果分析

为了验证该轨迹规划方法的可行性，本文以IRB6640型机械手为研究对象，预设7个在工作过程中需要经过的路径点（见表1），考虑运动学约束（见表2），在关节空间进行时间-脉动最优轨迹规划。因为IRB6640型机械手前三个关节为大关节，且前三个关节就能控制末端执行器的位置，故本文仅以前三个关节为例，考虑脉动也仅考虑前三个关节的脉动。

表1 关节路径点

表2 运动学约束

J2 90 50 70 J3 90 45 70

设置机械手7个路径点之间的时间间隔为1s，2s，3s，3s，2s，1s；调整系数k=50；加权系数取值如下，α=0.8、0.7、0.6、0.5、0.4、0.3、0.2，相应的，β=0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8。分别对这七种情况进行优化，得到的结果如表3所示。

由表3可知，当α值越大时，运行时间评价指标权重越大，得到的轨迹曲线，运行时间就越短，但是前三个关节的脉动总和就越大；相反的，当β值越大时，脉动评价指标权重越大，得到的轨迹曲线，脉动很小，但是运行时间较长。具体的，当α从0.8降到0.5，再降到0.2，运行时间从6.92s上升到9.57s，再上升到11.51s，分别上升了38.3%和66.3%；前三个关节的脉动总和从507.51下降到238.49，再降到176.72，分别下降了53.0%和65.2%。

当α为0.8、0.5、0.2时，对前三关节轨迹规划进行了仿真，仿真的结果如图1、图2、图3所示。

图1 关节1轨迹规划对比

图2 关节2轨迹规划对比

图3 关节3轨迹规划对比

在图1、图2、图3中，各个关节的角速度、角加速度、角加加速度均在约束条件范围内；各个关节的启停角速度均为0；各个关节的角位移、角速度、角加速度连续，而角加加速度存在数值突变的情况。当α=0.8，β=0.2时，所得轨迹接近时间最优轨迹，运行时间短，脉动大；当α=0.5，β=0.5时，运行时间和脉动的权重相同，轨迹为同等考虑运行时间和脉动的轨迹；当α=0.2，β=0.8时，所得轨迹接近脉动最优轨迹，运行时间长，脉动小。

5 结论

本文运用了三次B样条曲线对机械手进行关节空间的轨迹规划，该方法保证了关节位移、速度、加速度的连续，克服了多项式插值法的只能进行较少点之间插值的不足；采用加权系数法定义目标函数，采用遗传算法求解满足运动学约束条件下的时间-脉动轨迹，仿真结果验证了算法的有效性；在实际生产的过程中，可根据应用情况的不同，采用不同的加权因子和优化策略，得到满足生产要求的机械手优化轨迹。

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