建立新变量的线性关系解决物理问题

朱新中

摘 要：一次函数图像的知识属于高中物理能力考查中的应用数学工具的能力范畴内。在解决相应问题时巧妙建立变量之间的线性关系并结合图像灵活运用斜率、截距、面积等知识会使问题更加明了。

關键词：物理量 函数关系 图像

高考是选拔性的考试，是选拔具有学习能力的学生到大学继续学习。物理学科能力考查体现在五大能力上，其中要求学生具有应用数学工具的能力解决物理问题。一次函数图像的应用就属于这个能力的范围内。而一次函数图像的斜率，截距，以及图像与坐标轴围成的面积在物理问题中也得到了很好的体现。一些问题中需要一个建立关系的过程，现在就通过一些实例简单分析如何灵活建立变量之间的函数关系并结合图像解决物理问题。

一、巧妙建立物理量之间函数关系简化分析过程

一般情况下建立物理量之间的函数关系时，作出图像进行研究。有时作出的图像不易分析如双曲线，这个时候我们可以变换一下坐标轴的物理量把图像变为线性关系再去分析，如加速度与质量的关系。[1]

例1、一只蚂蚁离开巢穴的速度和距离成反比，已知开始距离巢穴d1，速度为v1，请问蚂蚁爬到d2（d2>d1）处需要的时间？

图1

分析此问题，这个运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动。求这段时间学生会无从下手。深入思考，发现题目中有个速度与距离成反比，那么此问题可以借助图像来帮助分析。如果直接作出v与d的图像反比例曲线我们解决起来非常困难。这个时候建立新的变量之间的关系，把函数进行一个变换。由v=k/d 到1/v=d/k 。再次建立图像就是如图1所示的线性关系。这个图像的与坐标轴围成的面积的意义为d·1/v 此式子的含义为时间，所以图中阴影部分面积即为题目所求时间t=（d2/2-d1/2）（1/v1+d2/d1d2）。

二、根据已知图像寻找物理量的函数关系利用斜率截距分析问题

如果一个物体做匀变速直线运动，告诉了其运动位移与时间的比值x/t随运动时间t的关系如图所示，那么处理时可以把x=v0t+at2/2变换成图像中横纵坐标之间的函数关系式即x/t=v0t+at2/2 ，然后结合图像得斜率为a/2以及截距为初速度。这样就可以更容易的去解决问题。

图2

利用上面解决问题的思想，就可以解决很多类似的问题。特别在电学实验中出现此类问题时，抓住已给图像的横纵坐标，根据已有规律以及式子尝试建立横纵坐标物理量之间的函数关系。结合图像的斜率以及截距去解决问题。

例2、某同学准备利用下列器材测量干电池的电动势和内阻。

A.待测干电池两节，每节电池电动势约为1.5 V，内阻为几欧姆

B.直流电压表V1、V2，量程均为3 V，内阻约为3 kΩ

C.定值电阻R0

D.滑动变阻器R，最大阻值为Rm E.导线和开关

设计电路如图3所示：

图3

图4

实验中移动滑动变阻器触头，读出电压表V1和V2的多组数据U1、U2，描绘出U1­U2图像如图4所示，图中直线斜率为k，在横轴上的截距为a，则两节干电池的总电动势E=________，总内阻r=________.（用k、a、R0表示）

分析：由闭合电路欧姆定律可知E=U2+（U2-U1）r/R0，由于图像坐标轴为U1、U2 ，处理变形得这两个量的函数关系U1=（R0+r）·U2/r-R0E/r，结合U1-­U2图像可知（R0+r）/r=k，解得r=R0/（k-1）；由（R0+r）·a/r=R0E/r，解得E=ka/（k-1）。

由以上所述，灵活变换物理量建立新的函数关系，结合图像解决问题，会给学生带来极大的方便。也会给学生带来一种分析问题的思维。未给出图像的问题，可以分析各物理量之间的关系适当选择变量建立出一次函数关系。已给图像的问题，以横纵坐标量为新的变量，建立函数关系，应用图像知识解决问题。

【参考文献】

[1] 张大昌 《普通高中课程标准实验教科书 物理必修1》人民教育出版社 第72页

[2] 肖德好 《全品高考第二轮专题作业手册》 阳光出版社 第29页