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浅谈初中数学动点轨迹问题的解题策略

时间:2024-08-31

刘杰

摘要:初中数学动点轨迹问题是当前初中生数学学习中的重难点,利用转化思想,通过寻找定直线或定点,能够将复杂的问题形象化、简单化,构建学生转化思想,高效解决直线型与圆弧型轨迹问题。

关键词:转化思想;轨迹;动点

初中数学中动点类问题集合了中学阶段多模块的知识,对学生的空间想象能力,逻辑分析能力等要求较高,学生脑海对动点图像没有直观画面,进而难以着手解决问题,而动点中的轨迹问题更是其中的难点。初中数学的动点轨迹问题,一般有两种情况:线段型或圆弧型。在研究动点问题时,可以在运动中寻找不变的量,即不变的数量关系或位置关系。如果动点的轨迹是一条线段,那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变;如果动点的轨迹是一段圆弧,那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变。因此,解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点。下面就以原文中两个例题来阐明这类动点轨迹问题的解题策略。

一、运动路径是线段

例1(2012年张家界中考题)如图1,已知线段AB=6,C、D是AB上两点,且AC=DB=1,P是线段CD上一动点,在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF,G为线段EF的中点,点P由点C移动到点D时,G点移动的路径长度为_______.

解析:此题中主动点是P,动点G是因点P的变化而变化,动点P在运动过程中始终保持不变的量是AP+BP=6。另外,题中还有不变的量是△APE和△PBF始终为等边三角形。

解答此问题需牢牢把握住这两个不变的量,而既然是求动点G的运动轨迹,则需考虑点G是到某条直线的距离保持不变,还是到某个定点的距离保持不变,显然此题首先考虑的是点G是否到直线AB的距离保持不变,因此尝试作GQ⊥AB,垂足为Q.又根据△APE和△PBF均是等边三角形这一性质,不难想到分别作EM⊥AB和FN⊥AB,垂足分别为M,N(如图2)。

事实上,点G在运动过程中,MQ的长度也是始终保持不变,因此G的运动路径长度就是M点的运动路径长度,而整个运动过程中M点是从AC的中点运动到AD的中点,即M1M2(如图5)。

如果用这样的方式去分析问题,那么最终学生头脑中对整个变化过程会有一个全面而清晰的了解.此题的解题思路中还体现了转化思想,对培养学生的数学思维是有积极作用的。

二、运动路径是圆弧

例2(2011年湖州中考题)如图6,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D。

(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);

(2)当△APD是等腰三角形时,求m的值;

(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交予点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图7).当点P从点O向点C运动时,点H也随之运动,请直接写出点H所经过的路径长。(不必写解答过程)

解析  (1)、(2)略。

(3)此题中主动点是P,动点H是因点P的变化而变化.动点P在运动过程中始终保持不变的量是OH始终垂直ME,即日始终为垂足。而求动点H的运动轨迹,则需考虑点H是到某条直线的距离始终不变,还是到某个定点的距离始终保持不变。由于OH⊥ME,连结OM后,△AMH始终为直角三角形,而斜边OM不变,因此根据直角三角形的性质容易得到动点日到DM的中点的距离始终不变,从而可得到点H的运动轨迹是一段圆弧。

下面只需确定圆弧的度数即可,即要找到动点H的始点和终点,根据图形的变化容易分析得动点H无限接近点C,因此可将点C定为动点H的终点.当点P在O点时,点H在始点,记为H1,由对称性可知,此时点E的坐标为(3,0),作MN⊥OE,垂足为N,取DM的中点F,再连结FC、F H1 (如图8)。

因为M点的坐标为(1,2),所以可得MN=NE=2,所以得到∠MEN=45°,所以∠H1OE=45°,所以∠H1OC=45°。

因为C,D,H1,M四点共圆,所以∠CFH1=90°。

又因为FC=OM=,所以弧CH1的长为:,所以点H所经过的路径长为。

以上两个例题刚好反映了初中數学轨迹问题中的两种典型情况。此类问题的解题策略便是确定动点到定直线的距离保持不变,还是到定点的距离保持不变。沿着这个思路走下去,便能找到变化过程中不变的量,从而找到解题的突破口。

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