将军饮马模型在中学几何中的应用

尹恋　王梦玭　丁玲芬

摘要：将军饮马模型是中学数学中具有代表性的几何模型，一般用于几何最值问题求解题型中.文章将讨论两动两定将军饮马模型，并分析模型的原理和本质，即利用多次轴对称变换，将折线转化为直线，再结合线段的基本性质解决问题.通过对其应用的理解和掌握，进一步提升中学生的解题思维和数学核心素养.

关键词：将军饮马;模型;几何;应用

1前言

将军饮马模型实际上是基于一个古老的数学故事为背景的数学模型，唐朝诗人李颀所作的诗《古从军行》中开头两句说“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河”，在该句诗中就隐含了这个有趣的数学问题，诗句中将军在观望烽火之后从山脚下的某点出发，走到河边饮马后再到另一点宿营，问怎样才能使将军行驶的路程最短.在教育部编版（2013年）八年级上册中也有关于以将军饮马为模型的“最短路径问题”课题的学习，让学生在生活实际问题的情境下，利用数学知识，建立数学模型，体会数学知识的实践性和应用性.许多学者对此进行了研究。在文中，王利运用数学课本中的轴对称知识建立了最短路径问题的几个模型.在文中，张静发现在近几年的中考试题中，也常以此为原型，将问题背景换成角、菱形、圆等几何图形，求解最短路径问题.学生在解决此类问题时，常常因不会构造轴对称模型而无从下手，于是在一次区教改组活动中，确定了课题“线段长度之和最短”，就这个问题进行了深入研究.在文中，丁力对中学数学几何最值问题加以探究，解读基本模型并探究其典型问题，提出相应的学习建议.在文中，徐宏在研究这些另类几何最值问题时发现它们其实本质是不变的，变的只是形式.在文中，李继丹通过对将军饮马模型解法的探究和拓展应用，在建立模型、完善模型、打破模型和再建新模型的过程中，让学生不仅积累基本的数学解题经验，还可以提高学生的数学解题能力、应用能力，加强他们的创新意识和探索精神.

2.两定两动型将军饮马模型

2.1创设情境

问题一将军家和训练营地皆在一条笔直的河流和一块矩形的草地之间，将军家有一匹马，现在将军每天早上牵马从家里出发，先到草地牧马再到河边饮马，最后将马牵到训练营地训练，其中河流和草地相连，请问怎样走才能使将军行驶的路径最短.（河的宽度和草地宽度忽略不计）

问题二将军家在一条笔直的河流和一块矩形的草地之间，训练营地在该河流的另一侧，现在将军每天早上牵马从家里出发，先到草地牧马再到河边饮马，最后将马牵到训练营地训练，其中河流和草地相连，请问怎样走才能使将军行驶的路径最短.（河的宽度和草地宽度忽略不计）

2.2建立模型

⑴如图2.1所示，以“角”为载体，在两动一定型模型的基础上“角”内再增加一定点，求三条线段和的最小值.

⑵如图2.2所示，以“角”为载体，在两动一定型模型的基础上“角”外再增加一定点，求三条线段和的最小值.

4结论

本文主要介绍了两定两动将军饮马模型原理，并对该模型的应用进行举例加以说明.要解决问题，关键是透彻理解模型的原理和本质，即进行多次轴对称变换，将折线转化为直线，再结合线段的基本性质解决问题.学习将军饮马模型可以为后续学习造桥选址等实际应用问题打下良好的理论基础，提升学生的数学核心素养，帮助学生获得解决实际问题的能力.事实上，将军饮马的模型和拓展还有很多，可进一步加以研究.

参考文献：

[1]曹俊玲.中學“最短路径问题”课题学习的教学研究[D].广州大学，2019.

[2]王利.从将军饮马问题谈利用轴对称求最短距离的几种模型[J].科教导刊（下旬刊），2020，21：154-155.

[3]张静.利用对称探求最值——从“将军饮马”谈起[J].中学数学月刊，2017，09：62-63

[4]丁力.中学数学几何最值问题探究——以“将军饮马”问题模型的解题策略为例[J].数学教学通讯，2020，14：79-80.

[5]徐宏.变的是形式不变的是本质——例谈一类几何最值问题[J].中学数学杂志，2017，06：53-56.

[6]李继丹.研究解法拓展应用[J].考试周刊，2018，82：67-68.

基金项目：怀化学院2021年教学改革项目，项目名称：《高等数学》混合式教学模式的探索与研究。项目编号2020011。

作者简介：

尹恋（1999-）女，汉族，湖南邵阳人，怀化学院;

王梦玭*（1992-）女，汉族，河南信阳人，助教，研究方向：微分方程;

丁玲芬（1983-）女，汉族，浙江湖州人，中教一级，研究方向：微分方程。

通讯作者：王梦玭