浅析解物理高考题时数学知识的应用

牛智卓

数学是物理的工具，物理的学习离不开数学的辅助。

在高中物理教学中很多的规律和定理，都应用到了数学公式。在高三一年的教学中，数学知识的应用更是随处可见。

一、数学三角函数辅助角公式在物理动力学试题中的应用

例如：如图所示，一儿童玩具静止在水平地面上，一个幼儿用沿与水平面成角的恒力拉着它沿水平面运动，已知拉力，玩具的质量，经过时间.玩具移动了距离，这时幼儿松开手，玩具又滑行了一段距离后停下.（取），求：

（1）玩具与地面间的动摩擦因数;

（2）松开手后玩具还能运动多远？

（3）幼儿要拉动玩具，拉力F与水平面夹角多大时，最省力？

考点：牛顿第二定律，匀变速直线运动的位移与时间的关系

分析：

（1）由匀变速运动的位移公式求出物体的加速度，由牛顿第二定律求出动摩擦因数.

（2）由牛顿第二定律求出加速度，由匀变速运动的速度位移公式求出玩具的位移.

（3）由牛顿第二定律与平衡条件列方程，由数学知识求出夹角.

解答：（1）玩具做初速度为零的匀加速直线运动，

由位移公式可得： ，解得： ，

对玩具，由牛顿第二定律得：Fcos30∘−μ（mg−Fsin30∘）=ma，

解得：μ= ;

（2）松手时，玩具的速度：v=at= m/s，

松手后，由牛顿第二定律得：μmg=ma′，

解得： ，

由匀变速运动的速度位移公式得：

玩具的位移：x′=

（3）设拉力与水平方向的夹角为θ，

玩具要在水平面上运动，Fcosθ−f>0，摩擦力f=μN，

在竖直方向上，由平衡条件得：N+Fsinθ=mg，

解得：F> ，

因为

当 时，拉力最小，最省力;

二、二次函数极值问题在高考题中的应用

例如：如图所示，足够长的光滑水平轨道与竖直固定的光滑半圆形弯道相切于a点，一质量为m的物块（可视为质点），以大小为υ的速度水平向右运动，重力加速度为g，不计空气阻力。当半圆形轨道半径取适当值R时，物块从半圆形轨道最高点b飞出后，在水平轨道的落点与a点间距离最大，最大距离为d。则（）

考点：平抛运动，机械能守恒定律

分析：根据机械能守恒定律求出物块通过最高点的速度与R的关系，由平抛运动的规律得到物块在水平轨道的落点与a点间距离与R的关系式，从而由数学知识求解。

解答：设物块通过半圆形轨道最高点的速度为v0.

根据机械能守恒定律得：

物块从半圆形轨道最高点b飞出后做平抛运动，则：

联立整理得：

根据数学知识可知，当 ，即 时 最大，且 最大值为： 故选：AC。

三、数学函数解析式在高考物理电学实验中的应用

例如：某研究小组收集了两个电学元件：电阻R0（约为2kΩ）和手机中的锂电池（电动势E标称值为3.7V，允许最大放电电流为100mA）.实验室备有如下器材：

A.电压表V（量程3V，电阻RV约为4.0kΩ）

B.电流表A1（量程100mA，电阻RA1约为5Ω）

C.电流表A2（量程2mA，电阻RA2约为50Ω）

D.滑动变阻器R1（0∼40Ω，额定电流1A）

E.电阻箱R2（0∼999.9Ω）

F.开关S一只、导线若干

（1）为了测定电阻R0的阻值，小明设计了一电路，如图甲所示为其对应的实物图，图中的电流表A应选______（选填“A1”或“A2”）实验采用分压线路，请将实物连线补充完整。

（2）为测量锂电池的电动势E和内阻r，小红设计了如图乙所示的电路图。根据测量数据作出 图象，如图丙所示。若该图线的斜率为k，纵轴截距为b，则该锂电池的电动势E=______，内阻r=______（用k、b表示）.

考点：测定电源的电动势和内阻

解答：

（1）电压表量程是3V，通过待测电阻的最大电流

因此电流表应选电流表A2（量程2mA，电阻RA2约为50Ω）;

待测电阻R0阻值约为2kΩ，滑动变阻器R1（0∼40Ω，额定电流1A）

与电阻箱R2（0∼999.9Ω）最大阻值均小于待测电阻阻值，变阻器采用限流接法时待测电阻电压与电流变化范围较小，不能测多组实验数据，为测多组实验数据，减小实验误差，滑动变阻器应采用分压接法，电流表应该采用内接法，实物电路图如图所示。

（2）由图乙所示电路可知， ，解得 因此图象的纵截距 ，电动势 ，

图象的斜率 ，则电源内阻 ;由图乙所示可知，由于电压表分流，使实验的测量值偏小。

答案為：（1）A2;电路图如图所示;（2） ;

数学知识在物理中的应用还有很多，牛顿利用微积分解决了星球之间万有引力平方反比的困难，为万有引力定律的提出奠定了一定的基础。

学好物理的同时离不开深厚的数学功底，需要我们在数学学科领域有所建树，比如建模等。