数形结合思想在必修一函数中的应用

孙艳霞

1绪论

数学是一门随着人类社会发展而发展起来的科学，而数学思想方法则可以说是对数学知识最为深刻、最为本质的概括及认识。以北师大版高中数学教材为载体，本文仅对数形结合思想在必修一函数中的应用展开剖析与讨论。

数的基本特点是严谨与抽象，形的基本特点是直观与形象，将数与形分离开来，有它们独立的优势，却也存在着各自的不足。仅有数字而缺少图形，会失去直观性;仅有形状而缺少数字，则难以细致地进行阐述。将数与形统一起来，可以达到严谨与直观、抽象与形象的有机统一。数形结合思想几乎贯穿了整个高中数学内容，是数学中最关键、最根本的思想，能够特别有效地处理诸多繁杂的数学问题。

2数形结合思想在必修一函数中的应用

函数是高中代数学中的重要内容。高考中对函数图像的考察形式也是多种多样。函数数量特征与图象的几何特征紧密结合，通过借助图象来研究与讨论函数性质是一种常用的方法，这也被认为是最为简单易懂的方法。在函数教学中应更加有意识地完善、补充这一内容，同时也能达到让学生识图、作图、用图的多重教学目的。

2.1单调性

利用函数图像的“上升”与“下降”的特点，引导出“增函数”与“减函数”的概念，以直观图像作为抽象概念的桥梁，学生将更易理解函数的单调性。这里要说明的是，单调性仅仅是函数的局部概念，在提起单调性的时候一定要指明其对应的单调区间。

但要注意的是，图像法仅能用于单调性的判定，不能用于严格的证明。

2.2奇偶性

与单调性有所区别的是，奇偶性是函数的整体性质。可以通过考察一些简单函数的图像，引导学生发现函数图像的对称性，引导出奇函数、偶函数的概念。通过对比图像，激发起学生的求知欲，并进一步提高学生的归纳总结能力。

如果能够作出函数的图象，则可以直接观察图象的对称性，奇偶性的判断将会更加清晰明了。

2.3最值

函数最值的概念包含了新学的知识——单调性，对于一些未知解析式的的函数，学会运用单调性求解最值十分重要。

根据题设条件将函数化为分段函数，或者符合题意的其他函数，再利用数形结合思想进行求解。尤其是对于填空题求最值这类题，利用图像方便快捷，更能提高正确率，不妨一试。

2.4函数增长的比较

在学习各类初等函数的图像与性质时，通常利用一些已知的简单函数的图像，由特殊到一般，进行探索归纳。根据直观的图像，更是可以直接对比出不同类型函数增长趋势的快慢程度。

通过对具体函数 图像的对比（只考虑当 时的情况），我们可以体会到幂函数、指数函数、对数函数这三类函数增长趋势的快慢程度。

如图3所示，对数函数 增长速度逐渐变慢;幂函数 增长逐渐变快;当自变量 大于某个固定的值 时，指數函数 的增长速度大于幂函数 ，呈现“爆炸型增长”。

3数形结合思想的渗透

3.1在教学活动中渗透

在问题的发现、概念的理解、性质的探索、公式的推导的过程中，无处不蕴含着数形结合思想。特别是在探索新知识时，要注重学生亲自参与，培养其独立思考的学习习惯，感受探索与发现的的学习乐趣。在进行学渗透的过程中，要注意的是：

（1）学习数形结合思想是要围绕总教学目标进行、为总教学目标服务的，因此要把握好教学的重点，不能顾此失彼。

（2）知识的引入要能引发学生的兴趣和求知欲，若学生对数形结合思想全无兴趣，渗透的效果将会大打折扣。

（3）识图与作图的过程需要被充分正视。识图的过程虽然简单却不能忽略，正确认识图形是学生理解几何意义的前提。而作图的准确程度对理解与吸收学习内容起着关键性的影响。

（4）要学习美术中的“留白”艺术，给学生以思考消化的时间，不能让教师代替学生学习的过程，直接给以图像与性质总结。要让学生亲自动手作图，体验图像的异同点

3.2在应用练习中巩固

问题的解决过程是渗透数形结合思想的重要环节。学生参与解题，亲身体验解题方法的探索过程与应用过程，才能对数形结合思想有更深刻的理解，而不是对浮于表面，让错题一错再错。同时，教师也要加以适当引导，是学生明白适合用数形结合思想的题型，以及对应解题的突破口，如此数形结合思想才能发挥更好的效果。

3.3在反思总结中升华

反思是对自身已有的知识系统进行再次认识的过程，是一个能力提升的环节。通过不断深入的反思，可以逐步将知识内化到学生自己的认知结构体系中去。

反思是需要学生自发、主动的工作，主要可以从课后纠错来进行，根据学生个人的情况，对自己的薄弱点、易错点进行再练习、再积累，从而进行巩固。而教师的概括总结可以从如下方面进行：

（1）对蕴含了数形结合思想知识点进行全面完整的总结。

（2）点明适用于数形结合思想求解题的题型，以及如何寻找突破口。

（3）着重说明应用数形结合思想需要注意的事项，如作图须严谨等问题。

在教学中，教师需要经常性地对知识点和思想方法进行回顾、总结、反思，帮助学生巩固基础知识、内化思想方法、拓宽解题思路，从而获得学生思维能力的升华。