基于核心素养的教学案例《用点差法解圆锥曲线问题》

杨竹青

涉及圆锥曲线的弦的中点、斜率时，一般都可以用点差法来解，但高中人教版课本并没有直接出现“点差法”。 为此，在讲完数学选修2—1双曲线的性质后， 我专门设计了一节点差法解决圆锥曲线问题的拓展课，现把 2019年12月中旬我上课的案例实录如下：

一、 创设情景，引发思维

教师：解析几何是高中数学的一个重要内容，历来是高考的重点内容，在近几年的高考都是2小1大。圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。前面，我们已经学习了椭圆、双曲线和直线的位置关系，知道了解决这类问题的主要方法。下面我们先来看一道例题：

例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。

师：怎样求这条直线的方程？

二、 自主探索，暴露思维

问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生的探究热情被激发起来，开始了对问题的探索。教师巡视后请学生说例1的解题思路。

学生1：将直线方程与圆锥曲线方程联立。通过研究联立之后的方程的解来研究直线与圆锥曲线的问题。

学生2：老师，涉及到解决圆锥曲线中点弦的问题，可采用"点差法"来求解。

师：有的同学可能第一次听到点差法，不知道点差法解题方法，我们今天就通过这节课来解决。下面请同学1和同学2板演解答。两位同学用了二种方法，一种韦达定理，一种点差法。解法1：当直线斜率不存在时，A点不可能为弦的中点，故可设直线方程为y-1=k（x-2），联立方程组，将直线方程代入椭圆方程，消去y得并整理得显然此方程的根的判别式大于0.又设直线与椭圆的交点为，则是方程的两个根，于是又因为M为AB的中点，所以，解得故所求直线方程为x+2y-4=0.

师：以上两种解法就是求解以定点为中点的弦所在直线方程的常用方法，我们不妨称之为“点差法”和“联立法”（又叫韦达定理法）。那么，使用“点差法”时要注意什么问题呢？请同学们按学习小组分组讨论上述解法的優劣。

生：解法1是其中联立直线与椭圆方程消去y（或x）再由韦达定理求出k虽然思路很清晰，但运算比较复杂。解法二巧用代点做差，结合中点坐标公式，很容易求出所求直线的斜率，从而达到解题的目标，两法比较，高下立现。

师：点差法的解题技巧是什么？

生：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

师：请学生总结韦达定理法和点差法到底哪一种更好？

生：点差法好，设而不求，形式有美感。还能起到化繁为简、出奇制胜的效果。

三、 辨析错误，正本清源

师 ：在圆锥曲线中涉及中点弦问题时，“点差法”往往发挥很大作用。那么，使用“点差法”时要注意什么问题呢？接下来我们再看例2（课本62页B组第4题）：

已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。

师：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。

师：同学们。从例2你们发现了什么？

生：题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。

师：这又是什么原因呢？

生：“点差法”可以简化计算，前提是直线与圆锥曲线必须要有两个不同的交点。忽略了对"直线是否与双曲线有交点"这个问题讨论很可能导致产生增解，如双曲线的中点弦就经常出现增解，利用点差法解题时一定要注意点差法的不等价性 。

师：使用点差法的有哪些步骤？

生：使用“点差法”时，一般分三个步骤进行：设点、作差、检验。

四、当堂训练，活学活用

练习1：（2013年高考新课标1）已知椭圆E： （a>b>0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A，B两点.若AB的中点坐标为（1，-1），则E的方程为（ ）

A.   B.   C.    D.

师：同学们，这个题只是点差法的初级应用。

五、深入探究，拓展延伸

师：请同学们根据以上例1和练习，观察、思考、探索弦的中点与坐标原点连线斜率和直线斜率的积与椭圆的基本量a，b之间有什么关系呢？

生：有着密切关系。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

师：请说具体一点。大家小组讨论总结一下。

归纳总结得结论1：在椭圆中，若直线不过原点且不平行于坐标轴，直线与椭圆相交于、两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则

师：同学们，真棒！下面我们一起证明点差法公式。（教师课件出示以下证明过程）。

师：圆锥曲线中点弦公式太神奇了，你必须要掌握。这些神奇性质可秒杀相关选择题、填空题，达到事半功倍的效果。高中数学有许许多多靓丽的风景线，你们有意识、有目的地去发现。

六、 类比推理，横向拓展

同学们，若把定理1中的椭圆改为双曲线，又会有怎样的结论？

生：用类比方法很快得出结论2：已知双曲线，若直线不过原点且不平行于坐标轴，直线与双曲线相交于、两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则。请同学课后自己完成证明。

总结：同学们，我们可以把结论1、2可以统一归纳成：若线段AB是椭圆（或双曲线）的弦，AB中点为M，则，其中e为离心率，且均存在. 通过这一简单的结论，我们可以秒杀一些在选择和填空题中有关椭圆或双曲线中点弦的问题，我们只需要以上结论，即可做到秒杀该类型的题目，大大缩短了做题时间。

七、随堂练习，强化技巧

1.（2010年高考新课标）已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程为

2、（2014年江西高考题）过点作斜率为的直线与椭圆C： 相交于，两点，若是线段AB的中点，则椭圆的离心率为__________.

八、课堂小结，有助提升

教师总结：同学们，本节课，我们主要研究了利用“点差法”求解以定点为中点的弦所在的直线方程问题。通过大家的努力，不仅掌握了用“点差法”求直线斜率的方法，而且了解到中点弦是否存在只与中点（定点）的位置有关，并对于所求结果是否为增根找到了检验方法。由“点差法”还得到了与椭圆、双曲线的中点弦相关的一些有用的重要结论。

九、课后作业 巩固消化

1.已知椭圆+=1（a>b>0）的右焦点为F，过点F的直线与椭圆交于点A、B，若AB中点为（1，- ），且直线AB的倾斜角为45°，则椭圆方程为

3、（2015年高考）已知椭圆的离心率为，点在上。（1）求的方程;（2）直线不过原点且不平行于坐标轴， 与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.

十、课后反思，助力教学

本节课从常见的两道例题和一道习题入手，从引导学生发现问题起，通过师生互动、合作探究的方式，在解决例1中找到了简便易行的方法。在例2的教学使学生认清了产生增根的根源，从而认识到用点差法要进行检验。最后在教师的引领下把椭圆、双曲线中点弦问题的研究推向一般化，不仅实现了教学任务，而且所得结论对于学生系统掌握直线与圆锥曲线的中点弦问题具有一定的指导意义，学生主体核心素养得到培养。当然，本节课因容量大，给学生思考时间不够，今后还需继续努力。