浅谈初中几何模型在课堂中的应用实践

邓翠花

学生在初中数学几何学习中，当直接解题遇到瓶颈，无法突破时，学会适当添加辅助线就变得至关重要。在初中八年级第十一章三角形单元，我选取“飞镖”模型作为此次几何模型探讨课堂的课题（如图）。

课前，我特地找了学生已经做过几道“飞镖”模型的习题，在模型课前印好发给学生。

（课堂内容精选）

师：同学们，这节模型课，我们的主题在你们手上的这张题卷中，课前请你们去做了小组讨论，给这些题目的图形命名。

生：老师，这些图形和上一次模型课的“飞镖”模型很像

师：是的，我们今天要一起来探讨的几何模型也是这个“飞镖”模型，这次是探讨和三角形角有关的角。同学们，请看ppt。

已知∠A=510，∠B=200，∠C=300，求∠D的度数。

生：老师，这个∠D既不是某一个三角形的内角，也不是某一个三角形的外角，这个要怎么算？

师：问得好！同学们，平时我们做几何题，如果解题遇到瓶颈，无法继续时，一般会怎么做？

生：（立刻有学生反应）做辅助线！

师：对！就是作辅助线，而且，就这道题来说，作辅助线的方法很多，请同学们用自己所学，小组内合作，10分钟的时间，作出辅助线，并给出合理的解题过程。

（10分钟后）

师：有没有哪个小组来分享成果？（没有人举手）如果哪个小组分享的成果合理，这次我将用他们小组来命名他们的图形哦，要不要试试？（学生们有些跃跃欲试）没关系的，哪怕只是一点点思路也可以说说呀！（坐在第一排一个学生举手了）

生：老师，元琛画了。

师：元琛你能分享一下吗？

琛：老師，我只画了辅助线，还没有做解题过程。

师：你能上来画一下吗？

琛：老师，我连接了BC。

师：嗯，对！我们来看看这个辅助线添上去之后，能不能帮助我们解题。（这个时候陈元琛又举手了）

师：元琛，你有什么要说？

琛：老师，你说我画得对，那我就会解了。

（元琛写下解题过程）

师：元琛，你的解题思路相当清晰，过程很完整

师：那还有谁有思路吗？（辽峰举手了，我示意他起来。）辽峰，你有什么想法。

辽：我觉得可以延长BD，交AC于点E。

师：你能解吗？

辽：有。

（辽峰写下解题过程）

师：熟练地掌握了三角形外角的性质（这个时候，伟才举手了）我们的班长有话说！

才：老师，我们小组的和辽峰小组的很相似，我们延长CD交AB于F，解题过程也很相似。

师：辅助线也是可以的，解题过程也确实是和陈辽峰的小组的很相似，但是，老师觉得，这个也是你们小组的成果。现在已经有三种辅助线了，还有没有不一样的思路？（这个时候谭圣宏看向我，但是没有举手）圣宏，你也来说说？

宏：老师，我是连接了AD，还没想到怎么解。

师：方法很好！你还没有解题方法，我们一起来想，看能不能做出来。有没有人会？程：老师，我会。

（程写下解题过程）

宏：哇！我只是这样想想，没想到也是一种方法，太厉害了！

师：有想法就相当于成功来一半。其他的小组也要加油哦，还有谁来说说？振威，你来说说？

威：老师，我的和圣宏很像，比他的延长了一些。

∵∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD.

∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD=∠B+∠C+∠BAC=200+300+510=1010

师：很好！不仅有辅助线的方案，还说清楚了解题过程，振威，很不错哦！还有吗？老师好激动呀！你们有这么多的方法！我们来看看其他同学的想法（青廷举手了）

廷：老师，我想得到一种，我上去画给你看。

师：这个想法很好呀！能解出来吗？

廷：可以。

（青廷写下解题过程）

师：很不错哦，两个小组的方案在你的脑袋里生出了新的方案。

师：辽峰，你还解题方法吗？

辽：老师，我用平行线。

师：平行线？你能上来写一下吗？

辽：解：D作DE∥AB，过C作CF∥AB，则有DE∥CF

∴∠B=∠BDE

同理：∠A=∠ACF，∠EDC=∠DCF

∵∠BDC=∠BDE+∠EDC=∠B+∠FCD

且∠FCD=∠DCA+∠ACF=∠DCA+∠A

∴∠BDC=∠B+∠DCA+∠A=200+300+510=1010

师：太厉害了！你把之前学习的平行线的知识也结合进去了！（此时，班上响起了热烈的掌声）辽峰解法浅显易懂，太精彩了！

师：这节模型课太精彩了，我们给自己掌声（课室再次响起一片掌声）！请看黑板，观察我们这节课的“飞镖”模型，目前为止，我们作出7种不同的方案，并且都能成功地解决这个问题。你们有收获吗？请观察这些结论，∠D和∠A、∠B、∠C有怎样的关系？

生：∠D=∠A+∠B+∠C

师：是的。这个结论，在小题中可以直接用，在解答题或证明题中是要重新证明的。老师这里有两道题目（略）作为作业，看自己是不是已经掌握了“飞镖”模型。下课！

（精选到此结束）

这种通过以前学习过的高频习题，引出一个具有代表性的几何模型，寻求不同的辅助线添加方案，以达到“一题多解”，再将这些被添加了辅助线的图形还原真题，让学生做类型题或变式题做巩固，并总结出最快最有效辅助线，达到“多题归一”的效果。这样让学生自己寻求解决方案的课堂模式，有利于调动学生对数学的积极性与主动性，更增加了学生之间的合作交流，其中课堂上，学生们敏捷的思维也是让我折服。

近年来，许多教育理念都在提倡“一题多解”，让学生通过一题多解，找到解决问题的关键点，用最快捷，最巧妙的解题方法解决问题，这是其一；我认为还有更关键的一点是，教师对“一题多解”题目的选取，如果能拿几道题，像这节模型课一样，总结出模型，再深入去观察、分析、解决与反思，可以把各个阶段所学的知识、知识的各个方面紧密联系起来，加深对知识的理解，认识和体会数学是一个整体，更重要的是能起到以一当十，解一道题懂一类题的作用。这样不仅提高了学习效率，更能激发学生的学习兴趣，创新意识和探索精神，培养他们的创新能力，学会学习！