分离变量法在微分方程中的应用

封灵芳

分离变量法是微分方程的解法之一，其思想是通過变量分离，把微分方程的求解问题转化为积分问题.同时也是就解决偏微分方程的重要工具，将求偏微分问题转化为求解常微分问题.分离变量法有自身的特点及其适用范围，下面就对这个问题做初步探讨。

雖然分离变量法要求定解问题方程和边界齐次，但是对于非齐次问题可以利用齐次化原理将其转化为齐次可分离方程。

综上所述，分离变量法的步骤：首先，分离变量；其次，利用齐次边界条件求 的值和分离变量的一系列解；再次，利用叠加原理得到分离变量解；最后，利用初始条件求傅里叶系数，最后得到分离变量解的傅里叶级数。

3.分离变量法的特点及其适用范围

其一，受线性叠加原理的限制，只能解决线性问题.并且必须是齐次方程齐次边界条件，对一般的非齐次方程可以应用，但要借助于其他的方法共同完成。

其二，分离变量法对边界条件中的边界只能直角坐标系中规则的区域和圆、球、柱域的问题，在解决后两者问题时引入不少的特殊函数，计算相当复杂.对其他形状的问题，虽然可以建立相应的坐标系来解决，但将更加复杂.但是分离变量法是微分方程中不可缺少的一部分。