从以形助数浅谈小学高年级数感的培养

林文芳

一、以形助数，让数的本质意义深入人心

分数的意义和分数单位对于小学高年级学生来说还是比较抽象的概念。用分数来解决问题也是小学阶段学生易错和较难理解的知识点之一，虽然三年级初步了解了分数的形式，要从本质上理解分数借助图形是最明智的选择。教学中笔者发现孩子们容易理解男生是女生的 ，却较难理解女生是男生的 。学生对于理解分数的意义常常会误解为将一个整体平均分成若干份，取其中的几份我們就将它称为分数，而教材上原文是像这样的几份，而非取其中的份数。通过画图来表示假分数的意义，让学生从做数学中对图形进行数学化，从而理解分数的基本内涵。

【案例1】真分数和假分数

1.数源于数，计数单位的累加引入假分数

（1）问题：你能计算3/4+1/4= 吗？你能具体说说你是怎么计算的吗？4/4+1/4= 呢？可以表示什么？5/4是分数吗？

（2）生独立探究：画图表示的真分数假分数的含义。

2.表述假分数意义

出示图1，其中一个苹果画成虚线表示。学生理解：这堆苹果表示 ，要表示 ，还差 ，这个苹果表示 ，但是他这样画会让人产生误会，我们还要把剩余的一个整体画出来，再平均分，取出 来。

出示图2，学生分析：明确了两个整体。：上面的是8/8，下面的是2/8。将上面的八个苹果平均分成8分，上面有8个 ，下面有2个 。

学生对这个假分数的表示提出异议：还是会产生误会啊，为什么不是10/16呢？

学生提出方案：在上下之间画虚线分开。要两个单位“1”都圈起来。

提问：为什么会误会是 呢？

学生分析：分数单位选错了， 是将上下苹果看成单位“1”

出示图3，在左边这个正方形下面写上了4/4+3/4=。学生补充：我觉得他画的时候不要把线连起来画阴影，应该一个一个分数单位画，表示是取7份。从画图过程中学生理解了分数单位的累加得到分数的数学思维。

二、以形助数，让数与数之间的关系柳暗花明

学会观察又是学好数学的前提条件。通过观察，学生从数实物开始认识数，由具体到抽象，初步建立数感。可以用数来先刻画形，再借助图形的直观从而降低数的抽象，把复杂演绎、不完全归纳的问题变得简单、清晰。

【案例2】1.由形引数、从数想形

出示图4，白板上出示1个小正方形、再出示1+3个、1+3+5个。用数来表示形，1可以表示正方形的个数，也可以表示边长为1个单位的正方形的面积。

学生让学生用算式表示图形，并归纳这一类算式的规律。

问题：根据算式的结果你想到什么形？方便我们计算呢？为什么？

学生白板演示并解说理由。1+3=4，1+3+5=9.4，9是一个平方数，可以想到正方形，4是边长为2的正方形，9是边长为3的正方形。

2.展开想象，发现规律

问题：通过观察你又发现了什么？

学生交流发现有几个连续奇数相加，和就是几的平方。

问题：你能用n来归纳下吗？

学生白板演示图6，发现可以通过图形来验证有奇数的个数和最后一个奇数之间的关系。学生发现，最后一个L形正方形个数就是最后一个奇数，把最后一个倒L形加上一个正方形就是拼成大正方形的边长2倍。1+3+5+……+2n-1=n?。

， 图6

三、以形助数，让数的“谬论”无处遁形

在实践中做数学，让学生主动利用图形分析，从而解决问题。笔者在教学圆锥体积公式的推导时，在演示完等底等高圆柱的倒水实验后，学生反应必然是意犹未尽，总想追根究底。笔者上课之前已备足功课，本想以微积分的托词来告知学生是后续要学习的知识，小学阶段不研究探讨。谁知，课堂的变数随时需要教学机智来凑。课上班上学生李响当即提出：圆锥体可以看成是一个直角三角形旋转一周形成的几何体，为什么不可以这样来推圆锥的体积公式如图7，也就是用三角形的面积乘以它旋转的路径即圆的周长，这样不是推导证明了圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的一半吗？为什么不对？错在哪里？

一个是二分之一的圆柱一个是三分之一的圆柱，一个是通过实验验证，眼见为实的，另一个是通过推理证明的.谁是谁非，如何定夺？这个问题激起学生共鸣后，笔者先是利用这个契机安排小组画图思考交流。笔者提示学生通过画图对比圆柱体积的推导。通过对比反思，学生发现圆柱体积可以用以高为轴的长方形旋转推理出与书上公式相同的圆柱体积，长方形和三角形在旋转过程中最大的不同点在于把直角三角形的面积，分成无数份横线，都平行于三角形的底即r.那么每条横线旋转可以得到的是半径不同的圆，而圆柱的长方形对应长相等得到的是半径相同的圆，之后用积分运算可以求体积.圆锥则都以底面圆转的轨迹作为积分的取值就不对了。学生通过画图一下就明白了其中的差异在哪，如图8，学生通过分析直角三角形上点走的轨迹的差异性来理解。a点走过得是最大的圆，b和c都与之不同。

也有学生理解后画出图9来说明比二分之一少。课后笔者也鼓励学有余力的学生可以利用电脑autherware编程来证明。当高年级的课堂出现刨根问底时，不忽略不应付而是激发孩子学习数学的兴趣，笔者认为有时多讲多讨论也不失为一种有为之举。

总之，教学中可以通过画图体会思维反刍之路，从而使学生能敏锐捕捉数与数之间的关系，甚至逻辑推理，以形助数让学生进行合情的推理。