列表法在初中数学应用题建模中的应用

李建东?赵风云

本人通过教学实践发现“列表法”是一种不错的分析应用题数量关系的方法，列表法简单明了，可以清楚地理清题目中的各种数量关系。 下面结合青岛版八年级数学课本上册80～81页的两个例题，谈谈“列表法”在数学应用题建模中的运用。 为了便于叙述，笔者给出以下定义。

定义1：在实际问题中往往出现两个或两个以上的等量关系式，其中被选作列方程的等量关系式叫做基本等量关系式，其余的称之为辅助等量关系式。

定义2：路程、销售以及工程等问题，一般会涉及三个量，其关系式可以表示为的形式，如我们将路程=速度*时间；售价=单价×数量；工作量=工作效率×工作时间称为辅助公式。 辅助公式中知道其中任何两个量，可以求第三个量。

例1：甲、乙两地相距360千米，张老师和王老师分别乘坐早7时发出的普通客车和8时15分发出的豪华客车从甲地到乙地，恰好同时到达。 已知豪华客车与普通客车的平均速度比是4：3，求两车的平均速度。

解析：本例是有关行程的问题，此类问题中有三个基本量：路程、速度和时间，它们之间的基本关系是：路程=速度×时间，在这三个基本量中，知其二可求其一。

本题中涉及两种交通工具，数量关系较为复杂，可以制作4行5列表（行为类别和关系，列为三个基本量量和辅助公式），并把题目中有关的量填入表格。 如下：

速度关系 ∶ =4∶3 ①

时间关系 ②

路程关系 ③

根据以上三个等量关系可以用三种方法解决问题。

方法一：以②作为基本等量关系式，需要设速度。

设普通客车的速度为 ，则豪华客车的速度为 ，代入②中得：

解之得 ，以下过程略。

方法二：以①作为基本等量关系式，需要设时间。

设张老师所用时间为 ，则王老师所用时间为 ，代入①中得：

解之得 ，以下过程略。

方法三：以③作为基本等量关系，需要设速度和时间。

设张老师所用时间为 ，普通客车速度为 ，则豪华客车的速度为 ，王老师所用时间为 ，代入③得方程组：

解之得 ，以下过程略。

点评：目的并不在于求出问题的答案，而是通过本例让学生学会用“列表法”整理应用问题的数据，分析应用题的数量关系，完成应用题建模的关键环节。本例的三种解法实质上也是我们教师通常所讲的未知数的三种设法：直接设未知数、间接设未知数、设辅助未知数。

例2：阳光小区有A型和B型两种住宅出售，A型与B型住宅每平方米的价格分别是全楼每平方米平均价格的1.1倍和0.9倍，而且A型比B型的面积少40平方米。如果A型与B型两种住宅的售价分别是33万元和36万元，求全楼每平方米的平均价格。

解析：本例同样有两类组成，每类可以看作是有关单价、数量、售价的问题，基本关系式为：售价=单价×数量，因此学生可列出如下表格并填写已知数量。

每平方米价格关系 ①

面积关系 ②

售价关系 ③

方法一：以①作为基本等量关系，需设面积。

设A型住宅面积为 ，则B型住宅面积为 ，代入①中得：

以下过程略。

方法二：以②作为基本等量关系，需设每平方米的价格。

设全楼每平方米的价格为 元/平方米，A型住宅每平方米的价格为 元/平方米，B型住宅每平方米的价格为 元/平方米，代入②得：

以下过程略。

方法三：以③作为基本等量关系，需设面积和每平方米价格。

设A型住宅面积为 ，全楼每平方米的价格为 元/平方米，则B型住宅面积为 ，A型住宅每平方米的价格为 元/平方米，B型住宅每平方米的价格为 元/平方米，代入③得方程组：

以下过程略。

点评：综合上述两个例题的解题经验，用“列表法”在解决基本数量关系为 型（如路程=速度×时间；售价=单价×数量；工作量=工作效率×工作时间）的应用题时，可以采用如下思路。

首先，确定题目的背景（路程问题、销售问题、还是工程问题），它的基本关系是什么，也就是表中的辅助公式，明确辅助公式中有哪些基本量；

其次，根据题意列出表格，当涉及两种类型时，一般需要列4行5列表， 并把已知量填写在表格内的相应位置；

再次，根据题意，结合表格写出所有等量关系式。 如例1中根据普通客车与豪华客车在路程、速度与时间三方面的关系可以分别写出三个等量关系式（路程的关系：①普通客车的行程=豪华客车的行程，速度的关系：②普通客车的速度：豪华客车的速度=3：4，时间的关系：③普通客车所用时间-豪华客车所用时间= 时）；

最后，确定使用哪个关系作为基本等量关系式，借助辅助等量关系式，设合适的未知数，把其他未知量用含未知数的代数式表示，并代入基本等量关系式。

列出了方程，就完成了从“实际问题”到“数学问题”的建模过程，问题的求解就相对简单了。 我们通过列表法使问题的数据清晰、条理，使问题的数量关系更加凸显，也为寻求等量关系提供了方便，是解决此类建模问题的良策。