探析二次函数图形中的面积问题

丁小将

【摘 要】函数是初中数学的重要知识点，二次函数在初中数学中的地位举足轻重。在过去的近二十年中，二次函数图形中的面积问题一直是各类考试命题的重要知识点，每年无论在中考模拟考试还是在中考考试中，几乎都是必考题。笔者根据多年的教学经验和体会，适当总结和归纳了这类问题。以期为初中教师提供借鉴，提高学生的探究、分析、解决问题的能力。

【关键词】二次函数;面积;数形结合;函数模型

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2020）28-0053-02

二次函数是初中数学教学的核心内容，以二次函数为背景的数学问题有多种类型，其中面积问题非常典型。二次函数图形中的面积问题看似研究面积问题，实际上在解决图形面积问题的过程中，需要学生掌握很多相关的基本知识，如基本图形的面积公式、相关函数解析式的求法、点的坐标、线段的长度、相关函数的性质。有时对于一些不规则图形面积的计算，需要采取割、补的方法，充分利用数学中的转化思想，把不规则的图形转化成可以利用面积公式进行计算的规则图形[1]。笔者以一道二次函数为背景的综合题为例，从以下几个方面讨论常见的二次函数为条件的面积问题。

1   原题呈现，主要考点分析

已知抛物线的顶点为（1，-4），并经过点（4 ，5），

（1）求抛物线的解析式;

（2）抛物线与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，求，，，，;

（3）在抛物线上找一点F，使;

（4）求四边形的面积、的面积;

（5）是、之间的一个动点，它的横坐标为，联结、和、，求四边形的面积与的函数关系式，并求出的取值范围;

问题（1）求二次函数解析式。

【评析】以二次函数为背景的试题，一般考查学生根据已知条件列出相应的二次函数解析式的能力。此题应利用顶点式求二次函数解析式的方法，快速求出该二次函数解析式。这样的问题设置非常有利于学生巩固二次函数知识。

问题（2）求二次函数背景下的三角形面积。

【评析】如图1，在这类问题中求三角形面积时，三角形的一条边在坐标轴上，学生需要掌握坐标轴上两点之间距离的求法，比较容易得到的是三角形的底边长度，底边上高的长短只要知道第三个顶点的纵坐标绝对值就可以计算出来，在此基础上直接利用三角形面积公式求出三角形面积，在该类问题中涉及的三角形的面积都可以用这种方法计算出来[2]。解得，，，，。

问题（3）利用同底等高的三角形面积相等。

【评析】如图2，过点作轴的平行线与抛物线交于点，点的纵坐标为5，把代入，得出的坐标为（-2，5），到由于顶点（1，-4）到轴距离为4，所以在轴下方没有符合条件的点。同底等高的三角形面积问题中，三角形的顶点到底边的距离均相等，利用这一特点，结合二次函数图象的对称性，各个三角形第三个点的纵坐标相同或者互为相反数，把纵坐标代入函数解析式即可得出所求点的坐标。

问题（4）在二次函数条件下的不规则四边形、底边不在坐标轴上的三角形面积的求法。

【评析】这类问题的解题思路是利用图形的“割”或者“补”的方法，把不规则的四边形分割成可以利用面积公式计算的四边形和一条边在坐标轴上三角形进行面积的计算，充分利用数学中的转化思想使问题迎刃而解。图3中，，，，，

四边形的面积。

关于图中的面积的计算，由于该三角形没有边在坐标轴上，所以它的面积也不能直接利用三角形面积公式，问题可以用“割”的方法来解决，，需要先求出DE所在的直线函数解析式，点，则。问题（5）在二次函数条件下，根据不规则四边形面积构造函数关系式。

【评析】如图4，解决这个问题需利用面积构造函数关系式。图中的四边形不是规则的四边形，想直接利用面积公式解决问题显然行不通，所以需要利用面积分割的方法，通过添加辅助线把这个四边形面积分割成，其中，在问题（4）的求解中已经得到答案，四边形ADQE的面积=，仍然要再一次分割，其中线段长度需要借助点、点的纵坐标计算，同时还需要借助二次函数和一次函数表示、的坐标。这道题对学生分析问题能力的要求较高，在正确表示面积方面難度也较大。

2   二次函数背景下面积问题的思考

通过分析常见的二次函数背景下的面积问题，让学生在中考二模后的复习中更加系统地掌握这类问题，并加以巩固，使其熟练地掌握二次函数、一次函数解析式的求法和两点间距离公式。通过三个例题的分析，从一条边在坐标轴上的三角形面积的求法到二次函数图像上的点构成的三角形、四边形面积的求法，在这类问题中利用“割”或“补”的方法，把这些图形的面积求法转化成边在坐标轴上一类的面积处理。求面积问题中常见的模式有同底等高、同底不等高一类面积问题的处理要想到对应的处理的方法，如几个三角形同底，而第三点所在的直线平行于同底的边，这类问题的出现让学生产生作平行线的意识。通过问题的层层铺垫，提升学生能力，如例题中第五问以二次函数为背景的一道函数解析式的探究，有利于培养学生的分析问题的能力和综合应用能力。

【参考文献】

[1]胡玲君.2019年中考“函数”专题解题分析[J].中国数学教育（初中版），2020（1）.

[2]许力凡.借力题目创编引领学生探究[J].中国数学教育（初中版），2019（7）.