“人教版”与“北师大版”初中二次函数内容的比较研究

李欣

【摘 要】二次函数是初中数学渗透数形结合思想主要的知识点，利用二次函数建模在生活中随处可见。二次函数内容不仅是初中数学的重难点知识，同时也是高中进一步学习函数知识的基础，通过“人教版”和“北师大版”教材初中二次函数内容的比较研究，教师可更合理、更全面地开发教材资源。本文选取现行“人教版”与“北师大版”教材中的“二次函数”内容作为研究对象，从教材编排分布、课程章节课时安排、设计思路、栏目比较等四个方面进行比较和分析，得出“人教版”二次函数内容在素材的选择、函数思想的渗透方面优于“北师大版”。

【关键词】教材比较;二次函数;人教版;北师大版

【中图分类号】G633..6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）10-0032-02

1   研究的意义和背景

教材、教师、学生是教学活动的三大要素。教材，即课本，是连接教师的教和学生的学的重要工具，具有桥梁作用;数学教材研究在过去的几十年中已经在国际数学教育界受到越来越多的关注[1]。合理地、正确地、科学地解读数学教材对促进教学质量提升有着积极意义。

二次函数是初中数学函数板块的重要组成部分，数形结合思想、方程与函数思想、分类讨论思想等重要的数学思想方法在二次函数板块得到了充分体现。二次函数应用广泛，教师要让学生掌握好二次函数的相关知识和技能，为学生后续的高中数学学习奠基。

2   研究对象

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（下文简称《标准》）明确表示：为了体现数学课程的灵活性和选择性，《标准》在内容标准中仅规定了学生在相应学段应达到的基本水平，教材编者及各地区、学校，特别是教师应根据学生的学习愿望及发展的可能性，因材施教，即“一本多纲”。本文选取现行“人教版”与”北师大版”两个版本教材中的二次函数内容进行比较和分析研究。

3   研究思路

本文对“人教版”与”北师大版”教材中的二次函数内容进行全方位的比较和分析，从整理视角切入，从教材编排分布、课程章节课时安排、设计思路、栏目比较等四个方面进行比较和分析。

3.1  “人教版”与“北师大版”教材编排的比较与分析

课程编排是指按照一定的目的性、逻辑性、学生的学习顺序、实用性安排各章节的教学次序，使教材呈现的内容更具科学性，使整个学科体系的呈现上下连接，浑然一体。从课程编排上看，“人教版”九年级上册教材分成四个章节，“二次函数”章节的教学安排在“一元二次方程”之后。有学者认为“人教版”初中数学教材更强调数学学科知识特点、知识的连贯性、知识的学习效率。放于本文的研究中可知，由于二次函数的涉及面广，与一元二次方程、一元二次不等式有密切联系，将一元二次方程的学习放于二次函数前，有利于知识的迁移和体现连贯性，对求解二次函数的交点坐标有帮助，能使学生更容易理解和掌握二次函数和一元二次方程的区别和联系，如一元二次方程未知数的解便是二次函数的交点坐标;二次函数表示的是x与 y之间的关系，有无数解，而一元二次方程的x的值最多只有两个，进而有助于学生实现函数与方程知识之间的相互转化，运用函数与方程思想解决问题。“人教版”教材在二次函数的安排上一定程度地体现了知识的连贯性，有助于提高学习效率。

“北师大版”九年级上册教材分为四个章节，“二次函数”章节的教学安排在“反比例函数”之后。有学者认为“北师大版”初中数学教材具有较强的逻辑性和系统性。函数是研究运动规律的一种模型，是初中数学教学的重点之一。通过逐步学习正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数，学生能对比、总结、探索基本初等函数的解析式、图象、性质的思维模式和研究方法。“北师大版”教材的函数教学安排确实具有一定的系统性。

3.2  “人教版”与“北师大版”教材课程章节安排比较与分析

相同点：从页数上初步判断，“人教版”与“北师大版”教材在篇幅上分别为28页、29页，不相上下;二次函数的内容涉及三大部分，即图象、性质、应用;均有课外阅读材料;章末有针对本章知识点的总结和复习题。

不同点：整体上，“人教版”教材将二次函数分成三大板块，即二次函数图象与性质、二次函数与一元二次方程、实际问题与二次函数，其中包含两个阅读材料、一个数学活动。“北师大版”教材同样将二次函数分成三个大方向，即二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数的应用，包含一个阅读材料。课时安排在整体上虽然都分成三个部分，但是在细节上侧重点不一样。细节上，“人教版”教材将二次函数的图象和性质作为一个小节，且将一个小节分成四个小课时，从最简单的关于 y轴对称的二次函数开始，接着讲解二次函数的顶点式，最后过渡到一般式，在每一种函数解析式上都强调利用函数图象推理函数性质，图象和性质作为一个整体学习。“北师大版”教材将二次函数的图象和性质分别作为一个课时学习，从页数上可以判断出“北师大”教材更强调函数图象的学习，且利用阅读材料做了一个探索二次函数系数与图象的关系的活动。由此可知，编者认为函数图象的掌握程度影响着函数性质的学习。

“人教版”教材第2节“二次函数与一元二次方程”单独作为一个课时，可见教材更重视前后章节知识的紧凑性和承上启下，真正将方程与函数思想的运用贯彻在教材中。

关于阅读材料。“人教版”教材有两个阅读材料，一个主要是探索二次函数的性质，利用计算机画图软件，画出二次函数的图象，观察坐标的变化，探索函数的开口方向、单调性、顶点坐标以及二次函数与一元二次方程的关系;另一个是根据实际问题中的有关数据，通过数形结合求出函数，即利用函数建模解决实际问题，使学生意识到学习函数是为了更好地服务于生活实际。“北师大版”教材有一个阅读材料，利用数学软件的绘图功能，绘制一个动态函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，通过改变系数a、b、c的值来探索二次函数系数a、b、c与图象的关系。综上所述，三个阅读材料的侧重点不同，“人教版”教材强调性质和应用;“北师大版”教材强調函数的图象。从这一点看，“人教版”教材的二次函数课外探究内容更丰富。

“人教版”有数学活动课，而“北师大版”没有。数学活动课不仅能够调动学生的数学思维，引导学生用数学方法完成数学任务，而且能对所学知识起到很好的巩固作用，增强数学的趣味性。

3.3  “人教版”与“北师大版”教材设计思路的比较和分析

“人教版”教材设计思路：从一幅插图入手，插图选用的是带有各种形状的喷泉，形似二次函数的图象，创设情境，使学生带着问题进入新的学习内容。第一课时“二次函数”中，通过两个实际问题的详细解答，引出二次函数的概念、解析式。第二课时“二次函数 y=ax2的图象和性质”中，通过列表法得到函数 y=ax2的图象，引导学生根据图象学习函数的性质，如开口方向、单调性、顶点、根的情况、对称轴等。第三、四课时设计思路同上。第五课时“二次函数与一元二次方程”中，引导学生从二次函数的实际问题入手，看待一元二次方程，通过解答该例题得到函数与方程根的关系，利用二次函数 y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式。第六课时“课外活动课”中，利用计算机画图软件，画出二次函数图象，探索二次函数的性质。第七课时“实际问题与二次函数”中，以竖直向上抛出的小球为例，介绍生活中的售价问题与二次函数的应用。最后小结“复习题”。

“北师大版”设計思路：章头图是一扇上部是圆，下部是矩形的窗户，提出数学模型这一概念。第一课时“二次函数”中，通过列出三个函数表达式，阐释二次函数的解析式。第二课时“二次函数的图象”中，对二次函数不同系数下的表达式通过列表法画出函数图象。第三课时“二次函数的图象”中，通过不同二次函数的解析式的图象探索二次函数的性质。第四课时“二次函数的应用”中，以章头图的窗户为例子并解答，给出应用二次函数求实际问题的方法。最后小结“复习题”。

“人教版”与“北师大版”教材设计思路的共同点：章节开头都以章头图创设情境，以问题导入学习，立足生活，降低二次函数的抽象理解程度;在二次函数图象和性质的学习后，对函数的应用进行学习。

“人教版”与“北师大版”教材设计思路的不同点：“人教版”教材对二次函数图象和性质是一起授课，“北师大版”对二次函数图象和性质是分开讲解。“人教版”教材引入了二次函数与一元二次方程，“北师大版”教材则没有。

3.4  “人教版”与“北师大版”教材栏目比较和分析

“人教版”教学流程如下：以实际问题与二次函数为研究对象，问题引入—解答—探究—分析—复习巩固—综合运用—拓广探究。“北师大版”教学流程如下：以二次函数的应用为研究对象，问题引入—解答—课内作业—作业题—设计题。从数目统计结果来看，“人教版”教材多于“北师大版”教材，“人教版”教材的内容素材更加丰富。从内容上来看，两个版本的教材的每个章节的栏目涉及的素材都有知识点的讲解、练习巩固、探索。

4  研究结果

从课程的编排分布上，“人教版”教材注重知识的连贯性和紧凑性;“北师大版”教材强调知识的类比推理，更加注重知识的系统性。

课程章节安排上，“人教版”教材和“北师大版”教材整体上的安排是一致的，虽然对二次函数图象和性质的处理顺序不一致，但包含的知识点和逻辑顺序很完整。“北师大版”教材可以增加一元二次方程与二次函数的相关知识，渗透函数与方程思想;增加数学活动课，激发学生的探索欲和求知欲。设计思路的比较和分析上，“北师大版”教材可继续由章头图导入，讲解二次函数的图象、性质、应用，增加函数与方程的相关知识。栏目的比较和分析上，“人教版”教材的内容素材更丰富。“北师大版”教材可以增加课外阅读材料，使教材更具有趣味性。研究结果表明，在二次函数这一章节，在素材的选择、函数思想的渗透以及课外阅读材料、教材趣味性等各个方面，“人教版”教材都优于“北师大版”教材。