基于深度学习的数学复习课教学探索

时间：2024-08-31

【摘要】近年来深度学习理论正被广泛运用于初中数学教学，深度学习强调应用、分析、综合、评价的认知水平，重视学生自主参与构建知识结构，理解知识。数学复习课具有综合性的特征，具有需要整合理解知识的教学和学习的特点。本文初步探究深度学习理论在数学复习课教学中的应用，强调以核心问题为驱动的复习课教学，提出借开放性问题引领学生发散思维，提供深度学习的机会;回归本源，触类旁通，提升深度学习的价值;抓住教学中的“意外”，用学生的探究行为开启课堂的深度学习的数学复习课教学策略。

【关键词】深度学习;问题驱动;数学复习课教学

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）10-0034-03

深度学习理论认为，浅层学习对应知道、领会的认知水平，属于低阶的思维活动，注重外力驱动的学习和知识的重复记忆、简单描述;深度学习则对应应用、分析、综合、评价的认知水平，属于高阶的思维活动，更注重学生自主参与学习和知识的理解、应用[1]。数学复习课通常是教师感觉较为棘手的教学，一是教学的知识已被学生了解，失去了新鲜感，复习时学生难免会疲乏;二是复习内容简单容易形成对知识的流水账式梳理，太难又难以让学生跟上教学思路。对此，本文结合深度学习的特征和数学学科特点，以问题为驱动，拓宽学生的思维宽度和深度，提高复习效率的策略。

1 借开放性问题引领学生发散思维，提供深度学习的机会

案例1：一题串通二次函数图象与性质

在复习二次函数图象与性质时，教师通常在教学开始，以表格形式展示二次函数的各类性质、不同的二次函数表达式等，然后配以各类例题对二次函数的图象与性质进行巩固。这样的复习方式比较有效，能够很好地提高复习效率。深度学习旨在解放学生的思维，让学生主动探索和思考知识。所以在教学中，笔者尝试以一个开放性问题为启发点，激发学生的联想学习能力，串联整堂复习课。

问题1：关于二次函数y=2x2+4x?1，你能写出哪些结论？

问题1设计评析：该问题属于基础性知识复习，学生稍作思考就能很快得出各种各样的结论。

生1：我将该二次函数配方得到 y=2（x+1）2?2，可以知道该二次函数的图象的对称轴为直线 x=?1，顶点坐标为（?1，?2）。

生2：这个二次函数的图象的开口向上，当x?1时，y随x的增大而减小;当x=?1时，函数有最大值-2。

生3：该二次函数的图象与 y轴的交点为（0，?1），与x轴的交点为（，0），（，0）。

生4：把该二次函数的图象向上平移k个单位，二次函数的解析式就为 y=2（x+1）2?2+k;把该二次函数的图象向左平移h个单位可得到解析式 y=2（x+1+h）2?2。

在学生从不同角度解读该二次函数后，教师可从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性这几个方面进行系统归纳与整理，收拢学生的发散思维。针对问题1，笔者引导学生进行了基础知识的复习。

问题2：刚才有同学对二次函数y=2x2+4x?1的图象进行了平移，那你能对它进行几何变换吗？通过几何变换，你得到的二次函数解析式又怎样？

问提2设计评析：用该问题再次启发学生思考，于是学生进一步从关于x轴对称、关于 y轴对称、关于原点中心对称这三个角度进行讨论。最后，教师提出更一般性的问题，留给学生课后思考：如何求图象关于任意一点中心对称的二次函数解析式？

问题3：当?2 ≤ x<6时，求 y的取值范围。

问题4：当 y>0时，求自变量 x 的取值范围。

问题5：当 y≤ 5时，求自变量 x 的取值范围。

问题3—5的设计评析：讨论完函数本身性质及变化后，笔者提出了问题3，考查学生在自变量有限制的情况下如何求二次函数的最值;问题4可以用高中二次不等式解法解决，但此处的目的在于利用二次函数图象求范围，达到对二次函数图象的复习;问题5则更进一步，需要将二次函数与二次方程相结合，通过解方程2x2+4x?1=5，求出直线 y=5与二次函数y=2x2+4x?1的交点坐标，再利用函数图象求范围，进一步深度复习二次函数的图象。

问题6：若方程2x2+4x?1=h有两个不等实根，请直接写出h的取值范围。

问题7：若方程|2x2+4x?1|=h有四个不等实根，请直接写出h的取值范围。

问题6—7设计评析：在运用二次函数图象解决方程、不等式的基础上，进一步引入参数，进行更深一步的讨论。问题6考查如何用二次函数图象来解决方程含参问题;问题7涉及绝对值方程，难度较大，但是如果从二次函数图象方面考虑，问题则变成了直线 y=h与函数 y=|2x2+4x?1|的交点问题。

本节复习课，从具体的二次函数解析式入手，围绕一个二次函数解析式，从函数图象性质、二次函数与二次方程、二次不等式关系、二次函数涉及参数的问题等角度进行深度探究，使学生体会到不同问题只是函数解析式变化，其考查方式、运用知识的方式不会改变，做到对知识的举一反三。

2 回归本质，触类旁通，提升深度学习的价值

函数与几何的综合问题通常是学生学习的难点，原因在于解答此类问题需要综合运用代数和几何知识，充分体现数形结合思想[2]。

案例2：从点在平面直角坐标系上的意义谈起。

问题1：你能谈谈点 P（3，4）在平面直角坐标系上的几何意义吗？

问题1设计评析：回归概念的本质，让学生理解点坐标与几何之间的联系，为后续学习作铺垫。

问题2：如图1，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3和B1，B2，B3分别在直线和x轴上。△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3都是等腰直角三角形，求A1，A2，A3的坐标。

问题3：如果将顶点A1，A2，A3改为在反比例函数函数的图象上，那么你还能求出A1，A2，A3的坐标吗？

问题2—3设计评析：通过问题1的引导，在解决问题2的过程中，学生将体会到“设函数图象上的点的坐标，并转化为线段”和“设线段长，表示函数图象上的点的坐标”两种解题方法;在解决例题1的基础上，问题3将题干中的一次函数改变为反比例函数，让学生运用例题1的方法解决问题，然后进行两个解后反思：

（1）回顾以上两题的解答过程，收获了怎样的解题经验？能总结一下吗？

（2）如果对题目中的图形进行改变，能编拟一道类似的习题吗？

反思1的目的在于引导学生总结解答问题的一般思路;反思2的目的在于拓展学生的思维，使学生体会到方法的统一性，并在自主编题的环节收获学习数学的乐趣。

通过以上环节，学生便能够在领悟方法的基础上，做到灵活运用，结合题目中的几何图形进行改编，并体会改编后方法的统一性，做到“多题归一”。

问题4：如圖2，若反比例函数与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，且OC=3BD，求反比例函数解析式。

思路点拨1：如何利用OC=3BD这一条件？

思路点拨2：C，D两点在反比例函数上这一条件如何使用？

思路点拨3：能用上面例题的方法解决本题吗？

问题4设计评析：通过上述问题的解决过程，使学生体会到将点坐标转化为线段长，就可以用代数式表示线段长。而几何的数量关系与函数的关系，则提供了等量关系建立方程。于是教师设计一个蕴含更复杂几何关系的问题，需要学生在将点坐标转化为线段列方程或将线段化为点坐标列方程时，挖掘隐藏更深的几何关系，进一步强化对方法的掌握。

问题5：如图3，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y=x2?4x?5 交 x 轴于 A、B ，交 y 轴于 C 。设 E 是 y轴右侧抛物线上异于点 B 的一个动点，过点 E 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 F，过点 F 作 FG 垂直于 x 轴于点 G，再过点 E 作 EH 垂直于 x轴于点 H ，得到矩形 EFGH 。当矩形 EFGH 为正方形时，求点 E 的坐标。

思路引导：①解题方案选择：设点还是设线段长？

②设出点的坐标表达式之后，你是否可以列出方程来表示两条线段？③如何表示线段 EF 的长度？④你是否可以列出方程，求解点E的坐标？

问题5设计评析：在学生解决以一次函数和反比例函数为背景的几何综合问题后，为体现方法的通用性，在此处引入二次函数为背景的几何问题。同样，学生可以利用设点转化线段，并结合正方形的几何性质建立二次方程求解。此处需要提醒学生注意分类讨论点E的位置，考查学生思维的严谨程度。

3 抓住教学中的“意外”，用学生的探究行为开启课

堂的深度学习

案例3：课堂意外引起的深度探究。

初三复习课中，一位学生“意外”的回答，让课堂偏离原本设定的教学轨迹，这在激发了学生探究热情的同时，也意外地圆满达到了复习目的！

在进行圆的切线复习时，教学设计为先请学生对切线长基本图形进行简单的结论复习，随之进行相关的基础练习与难度较大的圆的计算和证明问题。笔者展示出如图4所示的图象，提出问题：“根据PA、PB为圆O的切线，你能得出什么结论？”

学生回答：“根据切线长定理，可以得到PA=PB。”

另一位学生举手答道：“如果连接PO，能得到PO平分∠APB这一结论。”

这位学生的回答似乎打开了潘多拉的盒子，启发了更多的学生对这一基本图形进行线段的添加，学生得到了非常丰富的结论。

学生2：“将PO延长，分别交⊙O于C、D，连接切点AB，则可以通过全等三角形证明AB垂直于PD，垂足为H，且PD垂直平分AB。”（如图5）