基于新教材内容探究课堂教学实践

梁川

【摘 要】三角函数教学是高中数学教学的重点和难点，三角函数也是历年高考考查的重点知识之一。《普通高中数学课程标准（2017版）》中，“三角函数”的教材内容和要求都有所变化，为培养学生的数学核心素养，对新教材的教学进行实践研究是非常有必要的。

【关键词】三角函数;数学核心素养;数学思想方法;数学建模

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）10-0044-02

《普通高中數学课程标准（2017版）》（下文简称《标准》），可大致分为函数、几何与代数、概率统计、数学建模活动与数学探究活动方向[1]。《标准》比《普通高中数学课程标准（2003版）》更加注重将以上内容联系和综合在一起，使它们融合成一个整体，其中数学探究活动应设计在数学知识的衔接环节;数学建模活动应安排在与现实生活联系紧密的函数、概率与统计等章节中;数学文化应融入书本正文内容，并且以课后“文献阅读与数学写作”等形式对学生提出具体的学习要求。《标准》指出，章节内容的设置是为了更好地培养学生的数学思维，提升学生的数学学科核心素养。在新课标背景下，如何在数学教学中融入数学核心素养，是教师目前面临的一个很重要的课题。

本文主要从《标准》和《普通高中数学课程标准（2003版）》中“三角函数”的章节设置、教材内容、概念阐述和公式证明等方面分析，探究如何将数学核心素养更好地融入新教材的教学实践。“三角函数”是历年高考考查的重点知识之一，备受广大师生的关注。《标准》中“三角函数”章节的教材内容也有所变化，由此对新教材的教学进行实践研究非常有必要。

1   “三角函数”章节总体设计分析

高中数学课程《普通高中数学课程标准（2017年版）》将三角函数这部分内容放在必修一的主题二“函数”章节中，即在“函数概念与性质”“幂函数、指数函数、对数函数”“三角函数”“函数应用”等内容后面[1]。“三角函数”这一章节涉及的内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用。

1.1  章节设计意图

三角函数章节设置的变化突出更加注重高中函数知识内容的整体性，体现基本函数知识内容之间的良好衔接，有利于让学生更好地了解三角函数概念，掌握三角函数的基本性质和函数模型的实际应用，并且让学生对比“三角函数”与“函数”的概念与性质，对学习“幂函数”“指数函数”“对数函数”等内容，并尝试总结它们之间的联系和差别，让所学知识更加牢固有重要作用。最后，学生可以通过三角函数的概念、性质和应用等内容的学习，提高数学实践能力和创新能力，进而提升自身的数学学科核心素养。

1.2  内容主要变化

1.2.1  弧度制

通过实际问题强调学习弧度制的必要性，进一步合理解释用弧长与半径的关系定义弧度制，同时《标准》引入相反角的概念，强化了角的方向问题。

1.2.2  三角函数的定义

以有周期现象的数学模型创设情境，巧妙利用单位圆上点的坐标，给三角函数下定义，随后再建立与初中学过的锐角三角函数定义的联系。

1.2.3  正弦线、余弦线和正切线

《标准》删除了正弦线、余弦线和正切线相关内容，改动相对比较大。

1.2.4  诱导公式

通过单位圆的对称性代数关系，获得诱导公式，即根据单位圆上的点关于原点、坐标轴和直线y=x的对称性推导出诱导公式。

1.2.5  正弦函数的图象

图象是表示函数的一个非常重要的方法，课本先根据正弦函数的定义，在平面坐标内画出任意一点;根据该点的作法，然后选择做出足够多的点进行描点;最后借用信息技术描绘出任意多的点，连接所有的点，画三角函数的图象。

1.2.6  三角恒等变换

在两角差的余弦公式证明中，巧妙利用单位圆的旋转对称性导入。《普通高中数学课程标准（2003版）》用了三角函数线和向量的知识两种方法证明。

1.2.7  函数y=Asin（wx+φ）

为了体现函数y=Asin（wx+φ）的现实背景，让学生体验数学建模过程，这节内容先利用“筒车运动研究匀速圆周运动的函数模型”活动环节进行导入;最后应用这个模型解决以摩天轮为实际背景的周期性变化问题。这些内容的设置比《普通高中数学课程标准（2003版）》教材丰富了许多。

1.2.8  三角函数的应用

为体现三角函数应用的层次性和多样性，将有关三角函数应用的问题分成三类。第一类是有关匀速圆周运动的问题，如筒车匀速圆周运动的问题;第二类是弹簧振子、交变电流等跟物理学有关的周期性现象的问题;第三类是现实生活中仅在特定范围内呈现出周期变化的问题，如温度随时间变化呈周期性变化的问题、港口海水深度随时间变化呈周期性变化的问题。

2   教学建议

随着课程标准提出的内容和要求的变化，教师需要重新审视“三角函数”的教学，通过有利于学生数学学科核心素养发展的教学情境，引导学生更好地理解与掌握三角函数的本质，诱导学生思考，强调三角函数模型的形成过程，促进学生数学学科核心素养的形成[2]。

2.1  注重局部知识的内在联系，强化单元教学设计

在教学中，应注重三角函数各知识内容的内在逻辑关系，层层深入探讨知识的衔接，通过思维导图对单元整体内容进行教学设计，让学生在学习过程中通过思维导图形成对知识点的整体认知[3]。以“三角函数概念”一节的教学为例，三角函数概念包括的内容有三角函数的概念、三角函数的基本性质等。

2.2  与其他学科联系，提升学生的知识迁移能力

通过课本的章节前言可知，现实中很多现象跟三角函数有着密切关系，如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、潮汐、四季变化、生物钟等，这些现象经常出现在物理、地理、生物、天文等其他学科中，所以三角函数的讲解可以通过跨学科的交流融合的教學方式实现，使学生的三角函数学习建立在丰富的素材上，进而让学生更加容易接受三角函数概念和基本性质，提高知识迁移能力。再者，在教学中，教师还可以注意借助信息技术，生动地描述周期变化现象和三角函数图象生成的过程[4]。如弹簧振子的变化规律可以利用七巧板制成动画进行展示。

2.3  在领会数学思想方法中提升学生的数学核心素养

三角函数这一章主要是培养学生数学核心素养中的数学抽象能力、数学建模能力、数学运算能力和数据分析能力。教学中，应当充分利用情境，引导学生从三角函数的数学模型的角度理解三角函数的本质，让学生意识到三角函数也是非空数集到数集的一种对应关系，进一步体会和理解函数概念，逐步提高学生理解概念的抽象能力。再者，在教学中注重三角函数公式的运用，可以让学生多尝试公式运用、公式变式证明、公式反向综合运算等，多维度地激发学生的思维，提高学生利用三角函数公式的能力和运算能力。在此基础上，要充分注重运用三角函数解决实际问题的教学，让学生参与、体验和探究运用三角函数模型从描述周期现象、求三角函数表达式到解决实际问题的全过程，培养学生的建模能力和数据分析能力。

教学中应当注意引导学生用之前学过的研究函数的方法来学习本章知识，达到提升学生数学思维和数学核心素养的目的。在教学中，可以引导学生在学习新的函数时，研究函数的图象、奇偶性、单调性等，使学生通过总结已有经验形成对比学习方法，推动学生的数学学习与研究，提高学生在学习过程中的数学思维水平。

2.4  课堂中强调知识的发生发展过程

在课堂中加强展示知识的生成和发展过程，可以加深学生对概念的理解与认识。本章节的授课可以多利用多媒体技术，动态表现三角函数图象的形成过程，可利用信息技术完成三角函数的实际应用研究，进行角度制、弧度制的单位换算，求三角函数值等;课后可以利用“信息技术应用”栏目提供研究内容，让学生体验信息技术在这一章节的应用，加深对概念的理解与认识，突破学习中遇到的难题。

3   总结

三角函数概念的教学是高中数学教学的重点和难点。基于培养学生数学学科核心素养的目标，进行三角函数概念教学是相当有意义的。从整体上看，可以通过问题表征、演绎推理、对比拓展、一般化和特殊化等方式层层递进，牢牢把握“情境导入—提出问题—分析问题—解决实际背景问题”的教学方向，将教学内容中的数学文化、思维拓展活动和文献阅读与数学写作等逐步融入课堂教学，在帮助学生获得基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的过程中，逐步提高学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，发展学生的数学实践能力和创新意识，促进学生掌握学习方法和技巧，落实和发展学生的数学学科核心素养。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]苏洪雨，章建跃，郭慧清.数学学科核心素养视野下的高中函数概念教学“再创造”[J].数学教育学报，2020（8）.

[3]赵洋，黄秦安.思维导图在初中数学课堂教学中的功能与价值[J].数学教育学报，2020（5）.

[4]中华人民共和国教育部.普通高中标准实验教材书数学（必修4）[M].北京：人民教育出版社，2007.