数形结合思想方法在高中数学教学中的实践探索

【摘 要】高中数学学科的逻辑性非常强，对学生的分析能力、理解能力和逻辑思维能力要求较高，很多知识内容和题目的难度较大，需要运用一定的数学思想方法。新课标背景下，教师应该深刻认识数形结合思想方法的重要意义，结合实践教学经验，加强这方面的教学，在明确基本内涵与运用原则的基础上，立足教材挖掘数形结合思想方法，渗透数形结合思想方法，指导学生进行小组合作与实践运用，以此提升高中数学教学效果，培养和提升学生的数学能力。

【关键词】数形结合思想方法;高中数学;渗透;实践运用

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）10-0050-02

高中数学主要研究的是数量关系与空间几何，而数形结合思想方法是将两者紧密结合起来的思想方法，通过将两者联系起来，运用它们之间的相辅相成关系，将复杂抽象的问题变得简单直观，从而实现“以数解形”和“以形解数”，从而提高数学学习效果与解题效果，更好地发展学生的思维能力与解题能力。

1   数形结合思想方法的基本内涵和运用原则

高中数学教学中运用数形结合思想方法，需要明确它的基本内涵和运用原则，这样教师才能在一定的规则下，根据高中数学的知识内容，引入丰富的教学资源，引导学生积极参与自主学习、合作学习与探究学习，在循序渐进中有效掌握这种思想方法的具体运用[1]。数形结合是指将数量关系与空间几何相互融合，将数量关系转为空间几何图形，将空间几何图形转为数学语言，实现数与形的有机结合，进而在“以数解形”和“以形解数”的过程中使抽象复杂的问题变得直观简单，进而更好地解答相关数学问题。高中数学教学中运用数形结合思想方法一般需要注意雙向性原则与等价性原则。双向性是指要对几何图形进行直观分析，还要对代数关系进行分析。等价性是指数形结合变化过程是等价的，不应加入其他元素。

2   数形结合思想方法在高中数学教学中的具体实践

2.1  立足数学教材，挖掘数形结合思想方法

在高中数学教学中，教师应该认识到数形结合思想方法在很多内容中有所运用，包括但不限于集合问题、函数问题、立体几何、解析几何、三角函数、不等式与方程等，在导入新的数学知识、展现算理和解答相关例题方面也有所体现[2]。对此，教师应该先立足于数学教材，挖掘其中蕴含的数形结合思想方法，在课程导入与相关讲解中运用它实施教学。这样可以更加有效地导入新课教学，帮助学生理解相关数学概念、算理和运算法则等，更好地提升数学课程的教学效果。

如人教版必修一的“集合的基本关系”一课主要是让学生了解和掌握集合中的子集、真子集等基本概念。在讲解子集时，教师可运用Venn图叙述，展现两个集合A、B，帮助学生更好认识子集的概念。在“集合的基本运算”一课的教学中，教师可运用图形展现A和B的相互关系，帮助学生理解并集的基本概念。对“集合的基本运算”一课的例题：设集合A={x|?1

求A∪B。教师可以指导学生先运用几何的基本运算方法求解，然后指导学生运用数轴直观表示A∪B的过程，更好地解答此题。对之后的交集和补集等概念，同样可以运用数形结合思想方法进行讲解。在“充分条件与必要条件”一课中，在指导学生认识充分条件与必要条件的基本概念后，教师可以通过讲解例题的方式帮助学生更好掌握这些基本概念的运用，在讲解过程中注意运用数形结合思想方法，以直观、形象地解答。如题：若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形。教师可以先指导学生画出对应图形，然后运用数形结合思想方法讲解：如图1所示，四边形 ABCD 的对角线互相垂直，但它不是菱形，由 p 不能推出 q ，所以 q 不是 p 的必要条件。在讲解后，教师可以出示相关习题，让学生自主训练，更好地巩固这方面的知识，再如题：如图2所示，直线 a 和 b 被直线 l 所截，分别得到∠1、∠2、∠3、∠4，根据这些信息，写出几个“a∥b”的充分条件与必要条件。

2.2  结合具体类型，渗透数形结合思想方法

在高中数学教学中运用数形结合思想方法，一般有两种路径：一是根据空间几何图形生动、直观展示数量关系，这是以解析数量关系为主要目标，以几何图形为解题方法，如运用函数图象直观说明函数的性质;二是借助数量关系的规范严密性与精确性，解析空间几何图形的一些属性，目的是解析图形，主要的方法是运用数量关系，如运用曲线方程更好解析曲线的几何性质。教师在指导学生运用数形结合思想方法解答具体的类型时，应该合理渗透数形结合思想方法，并指导学生注意一些要点：一是明确数学基本概念、运算几何意义、曲线代数特点等，认真分析题干的条件与结论，明确其中几何与代数的意义;二是适当设置参数与合理利用参数，形成相互关系，思考如何更好地进行“以数解形”或者“以形解数”;三是更好地确定参数的取值范围。

解析几何是高中数学教学的一个难点，在指导学生解答相关习题时，教师可以根据具体的习题类型，有效渗透数形结合思想方法。如与斜率有关的一道题：有向线段 PQ 起点 P 和终点 Q 的坐标分别是 P（?1，1）、Q（2，2），若直线 l：x+my+m=0与有向线段 PQ 延长相交，求实数 m 取值范围。对这一题，教师可以指导学生根据图形（见图3）进行解答，然后进行解析：根据已知条件可以将直线 l：x+my+m=0化成点斜式 y+1=，得出直线 l 过定点M（0，?1），斜率是? ;因为 l 和 PQ 延长线是相交的，所以通过数形结合可得出过 M 且和 PQ 平行时，直线 l 的斜率趋近于最小，过点 M 和 Q 时，直线 l 的斜率趋近于最大，kPQ==，kMQ==，

设直线 l 的斜率是 k，根据 kPQ< kl

2.3  出示相关习题，指导学生思考以及小组合作

通过以上分析可知，数形结合思想方法可以运用在集合、函数、解析几何、立体几何、三角函数、不等式与方程等问题的解答中，教师可以根据具体问题先讲解运用方法，然后让学生自主训练。教师可出示一些习题，让学生结合数形结合思想方法的基本运用方式，在独立思考与小组合作探究的过程中解决问题，以此更好地提升数形结合思想方法的运用效果，帮助学生熟悉与掌握它的具体运用方式，有效发展逻辑思维能力和解题能力。

将数形结合思想方法运用在函数中，可解决与方程的根相关的问题。教师可引导学生结合数形结合思想方法，将方程的解问题转为曲线交点问题，实现代数和几何的结合，更好地解答问题。如题：已知方程 x2?4x+3=m有4个根，实数 m 的取值范围是多少？教师可以先让学生进行自主探究，然后让学生進行小组合作解答，再分组展示。最后教师进行总结：对这种没有方程的根的具体值、只求根的个数的问题，可以转为求两条曲线交点的个数。根据题意可知是求函数 y=x2+4x+3和函数 y=m 图象的交点的个数，可以画出抛物线 y=x2+4x+3=（x?2）2?1的图象，将其在 x 轴下方的图象沿着 x 轴翻转，得出 y=x2?4x+3的图象，再画出直线 y=m，根据图象得出当0

2.4  根据教学实践，总结数形结合思想方法运用方法

教师在解析相关具体运用，以及指导学生运用数形结合思想方法解答相关习题后，还应该总结数与形的转化路径、主要类型与思想方法等内容，以此帮助学生灵活运用它们。如数与形的转化路径有：一是建立坐标系，结合数量关系与几何图形，将静止的关系转为动态关系，为求解打好基础;二是转化，主要是分析数量关系与相关式子的特征，转化问题角度;三是构造，包括构造函数、几何图形等。主要类型与思想方法包括“以形解数”“以数解形”“数形转换”三种。

综上所述，在高中数学教学中运用数形结合思想方法，教师应该让学生明确数形结合思想方法的基本内涵和运用原则，在此基础上根据高中数学的主要内容，结合高中生的数学学习基础与认知能力，通过立足数学教材、结合具体类型、出示相关习题和根据教学实践等，更好地讲解数形结合思想方法，指导学生有效运用数形结合思想方法更好实现“以形解数”“以数解形”和“数形转换”，解答各类数学问题，发展思维能力与数学核心素养。

【参考文献】

[1]陆燕.数形结合思想方法在高中数学教学中的应用分析[J].新校园（中旬刊），2017（10）.

[2]李勇.论数形结合思想方法在高中数学教学中的应用分析[J].考试周刊，2018（6）.

【作者简介】

马龙华（1964～），男，汉族，山东济宁人，本科，中学高级。研究方向：高中数学教学。