四次函数的对称性初探

李广朋

【摘 要】本文研究了一般型四次函数在什么条件下具备轴对称性，得出了轴对称四次函数的对称轴公式和极值公式。运用公式可以快速确定轴对称四次函数的对称轴和极值，避免了繁琐的求导和代值计算，可以快速准确地画出轴对称四次函数的简图，有助于提升对四次函数的整体认识，提高解答对称性四次函數问题的速度。

【关键词】四次函数;对称性;极值

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）10-0061-02

在高中数学学习中，学生对三次函数的图象与性质理解清楚、运用熟练，但对四次函数的图象与性质了解不多，掌握较差。在2013年新课标全国卷I理科卷中曾出现一道四次函数问题：若函数f（x）=（1?x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=?2对称，则f（x）的最大值为  。该题为一典型的四次函数问题，大多数学生对该类型题求解困难，或者因计算量大耗时较长。本文研究函数f（x）= x4+ax2+b的对称性与极值点，并将之推广到一般型四次函数f（x）=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4 对称性的判断与性质上。

运用本文结论得出该函数具有轴对称性，函数图象为标准的W型，根据公式可以直接得出函数的极大值和极小值，避免繁琐的求导和求极值，提高解答该类型题的速度和正确率。

【参考文献】

[1]冯贝叶.四次函数实零点的完全判据和正定条件[J].应用数学学报，2006（3）.