二分法求方程近似解的课例分析及其启示

摘要：“用二分法求方程的近似解”渗透了算法思想，同时体现了函数与方程之间的联系.作为新课改后新增加的内容，无论是新教师还是老教师在教学上都处于探索阶段，还没有形成一套成熟的教学理论.本文从教学过程中的数学情境的创设、教学流程、课堂提问、数学问题之间的联系以及数学问题之间的复杂性五个方面进行初步的比较研究，从而为教师教学提供一些参考意见.

关键词：二分法;方程近似解;函数;课例分析;教学启示

1.问题引入

就中学数学课程中方程的部分而言，学生主要学习一元一次方程，一元二次方程以及二元一次方程、三元一次方程组的解法或可化为上述方程（组）的其他方程 如：分式方程、无理方程的解法.一元一次方程我们用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等程序化的步骤 把它转化为 的形式 对于一些特殊形式的一元二次方程有一些特殊的解法，但对一般的一元二次方程 有---—公式法 它可以给出任意的一元二次方程的精确解 然而在自然科学、工程技术、经济、医学以及其他领域中与方程有关的许多实际问题 求其一般解既不可能又不现实，考虑实际问题的需要 也没有必要求其精确解.另外对于无公式的方程求解，有时不需要求出其精确解，只需要求出在大致范围内的近似解，因此寻求方程近似解的数值方法应运而生

二分法实质上是一种区间迭代的数值算法 它的依据是：如果函数 在区间 上的图像是一条连续不断的曲线，且  0，那么函数 在区间 内至少有一个零点，即至少存在一点 使得 就是 的根

给定精确度为 ，用二分法求方程近似解的一般步骤：

根据f（a）f（b）<0，确定根所在的大致区间（a，b）

取该区间的中点 计算 的值

根据 及两区间端点所对应函数值的符号，缩小到更小的区间，依次进行

判断是否达到精确度 ，确定近似解

新课程中增加二分法的目的：一是加强函数与方程的联系，突出函数的应用;二是体现了算法的思想

2.课例分析

2.1教学流程

2.1.1课例

2.1.2分析

五个课例除课例4外都运用了情境引入，整个过程虽然有不同程度的差异但是整体都注重对新概念的理解、新知识的探究以及对新方法的总结.

2.2数学情境的创设

课堂教学情境创设的类型多种多样.其中操作性较强的常用数学教学情境主要有以下几种：问题情境、现实数学情境、操作活动情境、悬念情境、游戏情境、猜想情境和动态情境

2.2.1课例

课例1选用游戏情境 采用时下流行的方式竞猜电脑价格，然后选用操作活动情境，例如查英语字典如何一步到位，接着引出例题

课例2选用游戏情境.同课例1一样也竞猜商品价格，从中渗透数学中逼近的思想，引入问题，然后选用数学现实情境：检修元件

课例3选用现实数学情境 以计算复利和国贷为例，引入逼近思想

课例4直接抛出一个问题，以解方程x3+3x-1=0为例引出“无限逼近”的思想，没有任何的情境创设.

课例5选用“问题驱动”教学情境.解方程 ， ， ， ， ，从学生熟知的问题入手引入求方程解的话题，引起冲突激起进一步探究的欲望.

2.2.2分析

课例1与课例2均模仿时下流行的“央视名嘴李咏“的竞猜方法.学生们非常喜欢这种方式，因而课堂气氛很热烈，这是因为实现了他们角色的扮演，但是课例1的情境过于冗长，在游戏之前没有明确这节课的主要知识内容是什么，使得学生没有与所学的知识建立联系就盲目进入游戏.

课例3选用的现实情境，把学生引入实际问题中，很容易引发他们的思考兴趣.在实际问题中，二分法常用于：查找线路（如电线、水管、气管等）的故障、实验设计、资料查询等.例：

问题1：今年夏天的5号台风“海棠”致使我县14.5亿，36个乡镇全部受淹，相信我们还记忆犹新.那么假如在某台风夜里，某水库闸房到抗台指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10km长的线路，共有199根电线杆，想一想，维修线路的工人师傅怎样工作可以最合理最快的找出故障所在？

问题2：2000-2002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%左右.按照这个增长速度，到哪一年我国年国内生产总值约为2000年的2倍？

解析：设2000年我国国内生产总值是a，x年后我国年国内生产总值为y，所以经过x年，我国年国内生产总值

问题3：某产品依靠某种贵重金属. 采用16%的贵重金属生产出来的产品质量合乎要求. 我们问， 可否少些、更少些呢？使得产品仍然符合要求.

课例4没有创设任何情境，直接给出今天要研究的问题，而为什么要学习这一问题学生会感觉没有内容的衔接，没有产生内在的学习心向，过于突然.

课例5首先回顾了根与函数的零点的关系，接着采用“问题驱动”教学情境，从学生熟知的问题入手引入方程根的话题.与课例4相反，既与所学的内容有了衔接又引起了学生的认知冲突，产生了内在的学习心向.

2.3提問

课堂提问是组织教学的一种重要手段，是教学的重要组成部分.好的课堂提问通常表现出以下五个共同的优势：

问题具体明确.

提出的问题从教学实际出发，富有启发性、引人思考.

提问的内容有系统和层次，由浅入深，紧扣结论.

提出的问题面向全体学生.

对学生的回答给予及时反馈和评价，善待学生的非预期思路.

例如在课例2中“师：你等一下，让其他人再想想，有没有第二个举手的？”这里老师注意留给学生充足的时间思考，做必要的时间等待.

课例3中“师：那么我们请这位同学告诉大家你选择什么，为什么？”与课例4中“师：是0.3？你能说一下具体过程吗？”这里从教学实际出发指定了某位同学回答问题，并且注重思维的过程性，激发学生的思维，而不是单纯的得到一个结果.

课例5中“师：你是怎样猜出来的？为什么？”下一个问题“师：方程的近似解也可以这样猜出来吗？如果可以，能不能猜得更快一点？”这样提出的问题在内容上由浅入深，环环相扣，紧扣后面要引出的内容，而且容易激发学生的学习乐趣从而积极地配合教师对问题进行思考.

2.4问题间联系

一个问题与前一个问题之间的联系分成四种关系：无关，主题相关，数学相关（如果后一个问题用到前一个问题的解来解决问题或需要额外的方法来延伸前一个问题，或考虑一个较简单的例子来强调前一个问题的算法，或通过解决一个较简单的问题来说明前面的问题，那么这个问题称之为数学相关的）和重复（一个问题与它前面的问题是相同或者几乎相同或需要用前面问题相似的算法去解决，那么这个问题称之为重复的）

3.结论

3.1结论

3.1.1发现五个课例既有共性也有差异.其主要共性有：

1.通过解决问题展开，采用各种情境引出主题.

除课例4都创设了数学情境.课例4直接引入“今天我们来研究黑板上的这个方程 ”，而为什么要解此方程学生并未产生内心的学习需要.其它四个课例采用了游戏情境、现实情境以及问题情境不同程度的激发学生学习的需要.

2.注重学生的创新能力和动手实践能力.

素质教育的核心就是创新能力.在五个课例中教师引导学生的思路，让学生自己探讨、研究、发现问题，和教师一味的在前面讲有很大的区别.如课例3整个过程都是教师在引导学生进行自主学习.其余的四个课例都有不同程度的自主学习，只是没有像课例3一样花费那么多时间.

3.多媒体使用普遍，根据课程需要都使用计算器作为工具.

随着社会的发展，多媒体普遍应用于教学，既节省了时间，操作又比较方便.在这五个课例中课例5与课例2比较明显的应用多媒体，并且将贯穿整个课堂的主要问题展示出来，方便课堂教学.

4.主要还是教师比学生讲的多，教师普遍倾向于启发式引导，课堂提问主要采用启发式提问和师生互动[12]与其它形式相结合.

5.课堂中问题以低复杂性问题为主，适当结合中等复杂性问题.

由表2可以看出五个课例的课堂问题主要以低复杂性的问题为主，高复杂性的问题比较少，反应了高中课堂的紧凑性，要适合大部分学生的水平以保证进度，高难度的问难要在课下练习.

例如课例5中方程“ ， ”课例1的例题“不解方程，求方程 的一个正的近似解（精确到0.1）”等属于低、中等复杂性问题.

6.强调问题之间的内在联系，注重对二分法思想的理解.

五个课例都花大量的时间让学生感受“二分”的过程，让学生深刻理解二分法的思想.

例如课例3整个课堂都在讨论二分的过程，没有习题来巩固所学的知识，虽然这种教学有不足之处，但是从另一个角度来说这位教师让学生充分的理解了二分法的思想.而其它的四個课例中教师与学生共同进行了探讨，得出用二分法求方程近似解的方法.

3.1.2主要差异为：

1.课堂侧重点不同.课例1和课例3侧重思想的理解与掌握，没有明确归纳用二分法求方程近似解的步骤，没有过多的练习;而课例2、课例4和课例5巩固练习较多，旨在检验和巩固所学的知识程度，并且归纳给出了具体步骤.

2.突出主题的程度不同.同上课例1和课例3直到课尾才明确主题：用二分法求方程的近似解，而课例2、课例4和课例5课堂时间分配比较均衡，引入主题后就指出二分法的概念并且探究用二分法求方程近似解的步骤.

3.对于特殊问题，不能用二分法求函数零点的情况的解决方法不同.课例1在课尾设置疑问留待课外思考;课例2在课堂中通过大家一起讨论解决;课例4没有提到特殊性问题，却出现烙饼问题，与本节课的主题没有实质性的联系.对于研究函数运用函数图象是必染而且整堂课都没有出现函数图像;课例5把特殊性问题以课堂练习的方式给出，激发学生的认知冲突.

4.五个课例都有不同程度的以学生自主探究为导向的活动，但大部分只是有这样的趋势，还不成熟，而课例3相对来说有更多的课堂时间用于学生自主探究性学习.

5.课堂提问所引出的回答处理方式不同：重述，及时评价（支持、鼓励、赏识）.

3.2讨论与启示

3.2.1讨论

在新课程中引入二分法学生刚刚接触比较陌生，教师的引导作用非常重要，采用的方式、方法以及课堂能够运用的各个环节对学生的影响都不能忽视，而且数学问题之间的内在联系以及课堂练习、问题之间的适当变式，这些特点可能为学生提供对知识的深刻理解以及形成良好的知识结构，架起基础知识和能力的桥梁. 那么教学上就要重视学生对基本概念、基础知识的理解-强调解决问题的过程和思想-强调知识之间的联系、知识与日常生活之间的联系.因此在对上述选取的五个课例进行分析后，得出如下启示.

3.2.2启示

1.无论采用什么样的教学流程，主要目的都是激发学生的思维，让学生真正理解所学的知识.

2.要把握好数学情境创设的度.

3.注重启发式提问，充分发挥启发式提问对学生的引导作用.

4.合理分配课堂中数学问题及练习的数量.

5.根据学生的知识水平和接受能力设置课堂中数学问题的总体难度.

社会的不断发展使得如今的学生面对的竞争非常激烈，因此学校为了提高学习效率，便于更大程度的挖掘学生的潜力，大多分实验班和平行班，说法不一.也就是说学生的知识水平和接受能力有一定的差异，那么面对不同水平的学生就不能运用同一份教案.因此在设计教案时对于大部分水平相对较低的的学生来说，在选择问题时应以低、中等难度为主，在他们掌握好基础以后再逐步提升难度.而对于水平相对较好的学生来说，完全可以开始就选择中、高等难度的问题，这样既提升了学习的水平又激发学生投入到数学学习的过程之中.

3.3有待解决的问题

本文通过对五个课例进行初步的比较研究得出以上的启示与建议，但是在实际教学中要结合所在班级学生的认知水平和灵活程度具体地进行合理的教学设计 连同其教学效果还需要进一步予以研究.

参考文献

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作者简介：

张春雪，（1986.1212），女，汉族，大学本科，黑龙江齐齐哈尔人，长沙麓山国际实验学校数学教师，长沙市卓越教师。