浅析分类讨论思想在函数单调性讨论中的应用

黄丽

摘要：分类讨论思想是高中数学应用性最广的思想之一，也是最近几年数学科目高考的热门考点，也是学生学习的难点之一。在函数相关的试题中主要涉及求函数的最值、零点、单调性等知识点时，由参数的变化以及一些条件限制而引起的分类讨论。本文从函数单调性讨论中分析分类思想的应用，理清思路，让学生能更好的理解分类讨论思想，从而提高学生的解答问题的能力。

关键词：分类讨论思想;应用步骤;函数单调性

在学习分类讨论思想的过程中，首先需要对分类讨论思想有一定的认知。其学习的实质是学生需要构建其认知结构，并将其纳入到已有的数学知识体系中，使学生的思维更具有条理性。在对学生访谈的过程中认识到，学生对分类讨论思想的认知和运用其解决数学问题时存在困难。

一、简析分类讨论思想

在数学解题过程中，有些题目的结果不是唯一确定的，而且有些数学方法的使用也有其限定的条件。当在解决这些问题时，就需要先根据题目的特性和条件，分成若干种情形，将题目转化成若干个小的问题去解答，然后总结归纳得出结果，这种化整为零、化繁为简的解题思路就是分类讨论的思想。分类讨论思想可应用于整个高中数学的阶段的学习之中，要求学生的思维具有较好的灵活性和条理性。

二、明确分类讨论思想运用的步骤

2.1确定讨论对象

在解答分类讨论问题时，首先我们需要搞清楚分类讨论的对象。而在我们探讨的函数的单调性讨论中，需要讨论的主要是两方面的内容：第一个是讨论函数的性质，特别是针对其奇偶性在区间上的单调性进行讨论;第二个是分段函数;函数单调性讨论本质上还是因为参数的不确定性而产生的讨论。

2.2依據一定的准测对讨论对象进行分类

对讨论对象进行分类有助于解题的条理性和准确性，分清主次，另外，分类讨论要做到不重复、不遗漏，例如，对于一些函数图像随参数变化而产生位置变化的题目，需将图像按照一定的顺序，从左到右或者从上到下，减少漏解。

2.3归纳总结

任何数学问题都具有一定的完整性，而分类讨论思想是将一个完整的问题分解成一个个小的问题进行解答。所以为保证数学问题最终的完整性，归纳总结就显得尤为重要。学会按顺序整合讨论的结果也是非常关键的，在整理的过程中，及时发现自己的问题特别是重复或者遗漏之处。通常来说，分类讨论思想最后归纳总结的方法有：并列总结法、并集归纳法、交集归纳法。

三、分类讨论思想在函数单调性讨论中的应用

分类讨论思想在高中数学具有很重要的地位，应用非常广泛，最近几年在数学科目高考命题中亦是热点。下面几个典例就充分展示了分类讨论思想如何在函数单调性讨论中得到应用的。

例1、已知函数，.讨论函数的单调性;

解：先对函数求导，

，

（1）当时，，由得：，

由，得：，故此时的单调递减区间为，单调递增区间为

（2）当时，令得：或

由得：，此时

由得：或，此时

故此时的单调递减区间为，，单调递增区间为

综上：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为;

当时，的单调递减区间为，，单调递增区间为.

分析：在对原函数求导后得到函数g（x）=-ax2+（2a-1）x+2，其函数特征为：二次项系数含有参数，针对其系数变化的不确定性进行讨论。根据研究对象的特征，需进行两个层次的讨论。第一层次：讨论a=0或者a>0，从而确定函数的类型。当a=0时，该函数为一次函数，求解较为简单，应先求出。当a>0时，函数为二次函数，那么第二层次就需通过g（x）的符号进行讨论，g（x）>0，则函数在区间上单调递增;g（x）<0，则函数在区间上单调递减;最后再将求得的结果进行归纳总结，得出结论。在解答这类问题时，我们需要掌握好分类的对象以及分类的准则，然后分层依次讨论，就能解答成功。

结束语

综上所述，分类讨论思想是众多数学思想中极为重要的一种数学应用思想，不仅在学习上，在实际生活中分类讨论思想亦是应用广泛。随着素质教育的深入发展，分类讨论思想的重要性愈发明显。因此，在高中数学教学过程中教师应更加重视分类讨论思想的培养。

参考文献：

[1]陈蓬.分类讨论思想在含参函数中的应用[J].中学数学，2018（09）：62-63.

[2]胡昌安.分类讨论思想在函数中的应用[J].高中数理化，2016（Z2）：6-7.