以“解直角三角形”为例践行“学材再建构”

时间：2024-08-31

吴才东

摘要：在习惯了“以本为本”的教学思路之后，将教学的视角从教师转向学生，将教材的认识转化为对学材的认识，认识了学材之后再重新建构学材，这显然是一个重大的突破。在这个突破的过程中结合课例研究，既可以有效地实现对“学材再建构”的理解，又可以让教师更好地反观自己的日常教学，从而实现自身的专业成长。本文以“解直角三角形”为例，探讨如何践行“学材再建构”。

关键词：“解直角三角形”;初中数学;“学材再建构”

一、第一次试教——教教材

环节1：上课伊始，教师出示人教版教材九年级下册第72页比萨斜塔材料：我们回到本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题。1972年的情形：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C。在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m，因此sin∠A= = ≈0.0954，利用计算器求得∠A≈5°28′。

教学组织：教师先带学生复习了∠A正弦的定义，了解了求∠A的方法;接着请学生在教材中找出解直角三角形的定义，并在活动单中填空。

笔者观课思考：从教材章前图的阅读材料中，我们抽象出在直角三角形中，已知一角的对边和斜边，求该角。从阅读材料到解直角三角形的定义，笔者认为这里缺少必要的过渡，对这段章前图阅读材料的教学价值挖掘不够，完全可以从一般走向特殊，再扩充到已知其他元素，求其余所有元素;此处由已知元素到其余未知元素，类比解方程引导学生自主归纳定义，从而对定义有更深刻的理解，而不是直接阅读解直角三角形的定义，对定义的理解不深刻，一带而过，会给后续解直角三角形带来极大的障碍（这一点在这节课后续练习中得到验证），这激发了笔者进一步梳理教材内容的思考。

环节2：教师出示教材第72页探究：（1）在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？（2）知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？

教学组织：对于探究（1），教师请学生分小组在教室四周的白板上讨论并展示，结合图形写出了勾股定理、锐角三角函数、两锐角互余，其中还有学生写出了∠A+∠B=1、sin∠A=cos∠B等结论;对于探究（2），教师同样请学生分小组在教室四周的白板上讨论并展示，学生对五种情况（三边、两边、一边、一边一角、一角）进行了讨论，最后得出已知两个元素，即两边或一边一角，就可以求出其余所有元素。

笔者的思考：对于探究（1），孤立地讨论除直角外的五个元素之间的关系，效果真的好吗？为什么不在问题解决中穿插进行呢？这些都是解直角三角形的基础知识。如果在章前图的材料中加以拓展延伸，自然就得出了除直角外的五个元素之间的关系。关于学生写出的∠A+∠B=1、sin∠A=cos∠B等结论，笔者认为，首先，学生对解直角三角形的定义不清，没有明确探究（1）设置的目的是服务于解直角三角形;其次，没有充分运用图形进行元素之间彼此的转换。对于探究（2），又回到了添加几个元素可以求出其他所有元素的问题，此处如果在章前图材料的基础上加以拓展延伸，学生已经掌握了已知两边（包含两直角边、一直角边和斜边），求其余所有元素，有了这样的基础作为生长点，自然联系减少到一条边，必然再添加一条边或一个角，由此自然生成，而不是又回到原点让学生耗费大量时间讨论。

二、研磨后的教学设计——学材再建构

活动1：复习回顾、自主建构

（1）阅读比萨斜塔材料，从中抽象出数学问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m，求∠A。

追問1：在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，在这个问题中，已知元素有一条直角边BC和斜边AB，在未知元素中，已经求出了∠A，还有∠B、AC，怎么求？

追问2：我们把由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形。结合前面学习的经验，请谈谈对解直角三角形定义的理解。

设计意图：通过追问1把章前图的阅读材料成果扩大化，从求∠A扩大到求其余所有未知元素，在求其余所有未知元素的过程中，梳理除直角外五个元素之间的联系;通过追问2，一是类比解方程的定义理解解直角三角形的定义，二是明确定义既是基本判定，又是基本性质。

（2）例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，AB=2，解这个直角三角形。变式：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，解这个直角三角形。

设计意图：例题是阅读材料的延续，一是从用计算器计算一般角到特殊角，二是巩固解直角三角形的定义，三是强调书写格式;变式（原教材中例题）将例题中的一直角边和斜边转化为两条直角边，为下面归纳已知两边，求其余所有未知元素做铺垫。

（3）追问：前面我们研究了已知两边，求其余所有未知元素，还可以通过哪些未知元素，求其余所有未知元素呢？

设计意图：通过自主讨论，学生自然想到减掉一条边，再增加一个角，即已知一边一角，求其余所有未知元素。追问：请针对已知一边一角，求其余所有未知元素。小组之间交叉命题，交叉批阅。

设计意图：通过小组命题，巩固解直角三角形的定义;通过交叉批阅，调动学生的积极性，深化理解解直角三角形的定义。

活动2：分层练习、提升能力。学生做教材习题，当堂反馈。