导数的概念在高职教学中的探究

王 江

摘  要：事物都处于运动变化之中，研究事物变化的快慢程度，即函数的变化率问题有着广泛的意义。高职学生对导数的理解大多停留在计算层面，对导数的本质和应用不清，导数的概念、导数的物理意义和导数的单位是深入理解导数本质的三个重要方面。

关键词：导数;瞬时变化率

导数的概念是在极限概念之后的又一重要概念，很多高职学生停留在对常用函数导数的计算层面，对导数所表示的物理意义及其应用一知半解，根据建构主义理论，学生不能构建导数的知识框架，就不能将导数迁移到专业课的学习中去。

一  导数的概念

定义1[1]  设函数 在点 的某个领域内有定义，若极限

存在，则称函数 在点 处可导，并称该极限为函数 在点 处的导数，记作 或 。

定义2[1]  若函数在区间 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称 为 上的可导函数。此时对每一个 ，都有 的一个导数 与之对应。这样就定义了一个在 上的函数，称为 在 上的导函数，也称为导数，记作 或 。即

二  导数的几点理解

1.导数概念的理解

平常所说的导数既指在某一点的导数，又指导函数，即上述的定义1与定义2，但这二者不同，导数是指在某一点的平均变化率的极限值，根据极限的唯一性，导在某一点的导数是一个确定的数值;而导函数是一个函数，每一个 ，都有唯一确定的一个导数值 与之对应，符合函数的概念，由这种对应法则构成的关系称为导函数。例如，函数 在 三点的导数值分别为 ，由这种对应关系构成的直线 为函数 的导函数。

2.导数的物理意义

在导数的教学中，一般会通过匀变速直线运动的瞬时速度和已知曲线求切线两个问题导出导数的概念，这两个问题的共性都是先求出平均变化率（即 ），再求当 时候的极限值，就得到瞬时变化率，即是导数的物理意义，也可以理解为物体在某一瞬间的快慢情形。相对而言，我们对平均速度好理解，对瞬时速度不易理解，我们可以以现实生活中汽车的车速表来帮助我们理解瞬时速度。例如，开车的瞬间，车速为 ，然后车子启动，加速，最后车子减速，停车，车速表反映了车子在每个时刻的瞬时变化率。如果导数是正值，表示该函数在递增，是个很大的正值，则表示急剧递增，是个较小的正值，则表示缓慢递增;如果导数是负值，表示该函数在递减，是个很小的负值，则表示急剧递减，是个较大的负值，则表示缓慢的递减。[2]

3.导数的单位

既然导数有很强的物理意义，那么在用导数来表述其物理意义时，考虑函数的实际单位来理解导数的单位是必要的。理解导数的单位常常借助于导数的“微商”表示法： 。例如，生活中用的微波炉，将食物放入微波炉加热时，食物的温度 （ ）是时间 （单位： ）的函数，即 ，那么 的单位是什么呢？因为 表示的是食物的温度变化率， 的单位是 ，时间 的单位是秒（ ），所以 的单位就是 。 就表示在食物加热到  时，其温度的变化率为 ，即是当时间 时，食物正以 的速度升溫。

导数是高等数学中非常重要的一个概念，也是一个十分重要的数学模型，渗透到了各个领域。比如生物种群的生长率与死亡率、经济中的边际函数等，应用非常广泛。在教学中，应注重学生对导数本质的理解，不过分注重导数的计算，培养学生分析问题和解决问题的能力，养成学生可持续性和创造性的学习高等数学。

参考文献：

[1] 华东师范大学数学系. 数学分析（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社. 2010：92-94.

[2] 李以渝. 高等数学基础分册[M]. 北京： 北京理工大学出版社，2007：23.