两因子随机死亡率状态空间模型及长寿风险测度

何颖媛+刘贯春

收稿日期： 2014-02-26； 修回日期： 2014-04-06

基金项目： 湖南省社科基金项目（13YBA030）、国家自然科学基金项目（71203241）、湖南省社科基金项目（11YBB039）

作者简介： 何颖媛（1982—）， 女， 湖南邵阳人， 中南大学商学院博士研究生，长沙学院工商管理系讲师， 研究方向： 农村金融与风险管理。

摘 要：引入状态空间模型对传统两因子CBD模型拟合阶段和预测阶段进行联合建模，并基于卡尔曼滤波方法对模型参数进行估计。进一步考虑到死亡率数据的小样本特征，结合Bootstrap仿真技术和生存年金组合折现模型对长寿风险进行测度。利用1996～2011年数据展开实证研究，结果表明：结合模型解释能力、参数估计结果和误差项正态分布检验结果，两因子状态空间模型要优于传统CBD模型；年金组合规模的扩大可以消除微观长寿风险，但不能消除宏观长寿风险和参数风险；宏观长寿风险占据着不可分散风险的主导地位。

关键词： 状态空间模型；卡尔曼滤波估计；Bootstrap仿真；长寿风险

中图分类号：F840.32 文献标识码： A 文章编号：1003-7217（2014）05-0024-05

一、引 言

伴随着生活方式的转变、生活水平的不断提高和医疗系统的完善，死亡率模式亦随之变化。未来死亡率的非预期性降低致使人类存活年限不断增加，政府面临的退休金和养老金成本不断增加，保险公司面临的风险急剧增大，长寿风险随之凸显。然而，由于长寿风险的不确定性，对其进行适当的干预管理面临挑战。长寿风险的不确定性很大程度来源于未来死亡率难测度性和长寿风险测度方法的选择，因此，解决这两个问题，对长寿风险的识别和控制有着重要作用，对政府和保险公司的决策具有重大的现实意义。

目前，关于死亡率的模型大致可以划分为两大类，具体包括确定死亡率模型和随机死亡率模型。其中，确定型死亡率模型主要包括“Gompertz生存法则”[1]、“Makeham生存法则”[2]、“Thiele生存法则”[3]及“Heligman Pollard生存法则”[4]。然而，生存法则模型由于模型参数不能刻画死亡率的时变特征而存在较大误差。随机型死亡率模型主要包括LC模型[5]和CBD模型[6]。但是，两者均分两个阶段进行参数估计，模型解释能力受到很大限制。一些学者对现有的随机死亡率模型展开比较分析，结果发现并不存在任何一种模型完全优于其他模型，预测精度过于依赖现实条件[7-9]。

国内关于死亡率的建模与长寿风险测度尚处于起步阶段，主要集中于LC模型的简单应用。有的研究了LC模型在我国人口死亡率预测中的应用[10-14]；有的通过建立生存年金组合现值模型，分析了长寿风险带来的养老成本问题[15，16]。

基于以上认识，本文拟利用状态空间模型对两因子CBD模型拟合阶段和预测阶段进行联合建模，并基于卡尔曼滤波方法对模型参数进行估计。结合死亡率数据的小样本特征，综合运用Bootstrap仿真技术和生存年金组合折现模型来测度长寿风险的重要性，并利用中国数据展开实证研究。

二、两因子状态空间模型及卡尔曼滤波估计

假定dx，t表示年龄为x的人群在日历年t的死亡人数；ex，t表示年龄为x的人群在日历年t的死亡风险暴露数；为此，年龄为x的人群在日历年t的死亡率和生存概率分别为qx，t=dx，t/ex，t和px，t=1-qx，t。

（一）两因子随机死亡率状态空间模型

传统CBD两因子随机死亡率模型的预测阶段反映了两时变参数在外界环境作用下的动态变化，比如生活水平的改善和重大瘟疫的爆发将会使得公共因子呈现下降和上升相反的变动趋势，可以将其视为状态方程。拟合阶段则将死亡率和系统的状态联系起来，可以将其视为量测方程。基于此，可以得到两因子随机死亡率状态空间模型。

假定N表示样本的年龄跨度，T表示样本的时间跨度。为表述方便，令zxi，t=log it（qxi，t）；H=[IN，B]N×2；B=（x1-，x2-，…，xN-）'N×1；常数漂移项μ=（μ1，μ2）'2×1，则观测变量zt=（z1，t，z2，t，…，zN，t）'N×1；状态向量Xt=（κ1t，κ2t）'2×1。此时，传统的CBD模型可以转化为如下状态空间模型：

量测方程： zt=HXt+et （1）

状态方程： Xt=AXt+μ+εt （2）

其中，观测噪声et=（e1，t，e2，t，…，eN，t）'N×1服从标准正态分布且协方差为Rt，记作et～N（0，Rt）；过程激励噪声εt=（ε1t，ε2t）'2×1服从二维标准正态分布，记作εt～N（0，Qt）。不同于传统CBD模型单独考虑两时变因子，本文引入常数矩阵A以考虑两时变因子的相互作用。

（二）卡尔曼滤波估计

定义t|t-1∈Rn表示已知时刻t以前状态条件下第t步的先验状态估计；t∈Rn表示在已知测量变量Zt条件下第t步的后验状态估计，则状态变量的先验估计误差和后验估计误差分别为et|t-1=Xt-t|t-1和et=Xt-t。此时，两误差的协方差分别为：

Pt|t-1=E[et|t-1eTt|t-1]=

E[（Xt-t|t-1）（Xt-t|t-1）T]（3）

Pt=E[EteTt]=E[（Xt-t）（Xt-t）T]（4）

其中，X-t=At-1+μ，且两协方差矩阵有如下关系：

P-t=APt-1AT+Qt。

上述过程被称为“时间更新方程”。

进一步，观测变量zt在已知时刻t以前状态条件下的先验估计为：

t|t-1=Ht|t-1。同时对应的估计误差et和误差 协方差矩阵Ft分别为：et=zt-t|t-1和Ft=HPt|t-1HT+Rt，此时，得到如下“状态更新方程”：

Xt=t|t-1+Pt|t-1HTF-1tet （5）

Pt=（I-Pt|t-1HTF-1tH）Pt|t-1（6）

假定观测变量和状态变量的误差项（et，εt）′在Ft-1条件下服从标准多维正态分布，则观测变量zt服从正态分布：

zt|Ft-1～N（Ht|t-1，HPt|t-1HT+Rt）。

由此得到时期t的对数似然函数为：

Lt=-12log|HPt|t-1HT+Rt|-

12（zt-Ht|t-1）T

（HPt|t-1HT_Rt）-1（zt-Ht|t-1）=

-12log|Ft|-12eTtF-1tet（7）

进而得到模型整体的对数似然函数：

L=-12∑Tt=1log|HPt|t-1HT+Rt|-

12∑Tt=1（zt-Ht|t-1）T

（HPt|t-1HT_Rt）-1（zt-Ht|t-1）=

-12∑Tt=1log|Ft|-12∑Tt=1eTtF-1tet（8）

借鉴Babbs和Nowman（1999）[17]的做法，假定测量误差相互独立且具有相同误差，协方差矩阵Rt为常数对角矩阵R，状态变量误差的协方差Qt为常数矩阵Q。

三、长寿风险重要性测度

（一）生存年金组合折现模型

假定：（1）生存年金组合由N个成员组成，且年龄均为60岁；（2）如果个体i活着，保险公司每年年初需为其提供1单位的生存年金；（3）一年期国债短期利率恒定为4%，即r=4%；（4）由于大部分年限国家统计局公布的年龄上限为90，在此设定人类年龄上限为90。

记Li，t+τ为虚拟变量，当个体i在时期t+τ仍旧活着，赋值1；否则，赋值0。由此可得，以年份t为基期，保险公司需要向个体支付金额的现值为：

Yi=∑30τ≥11i，t+τpxi，t+τl（1+r）τ （9）

其中，pxi，t+τ为个体i在时期t+τ的生存概率。基于一年期死亡率集合φt={q（g）x，t+τ|τ≥0}，利用Ft=HPt|t-1HT+Rt可以得到Yi的期望值。则由N个成员构成的年金组合现值为：

y=∑Ni=1Yi。

对上述年金组合的方差进行分解，结果为：

Var（y）=E（Var（y|φt））+Var（E（y|φt）） （10）

式（10）中，右侧第一项对应的是微观长寿风险，第二项对应的是宏观长寿风险和参数风险。

仅考虑微观长寿风险的情形下，给定一年期死亡率集合φt={q（g）x，t+τ|τ≥0}，变异系数为：

γ=Var（y|φt）E（y|φt）=1NVar（Yi|φt）E（Yi|φt） （11）

对应地，同时考虑微观长寿风险、宏观长寿风险和参数风险情形下，变异系数为：

γ=Var（y）E（y）=

1NE（Var（Yi|ψt））E（Yi）+Var（E（Yi|ψt））E2（Yi）1/2（12）

利用式（10）可以求得宏观长寿风险和参数风险占据长寿风险主导地位的组合规模临界值为：

=E（Var（Yi|φt））Var（E（Yi|φt） （13）

（二）基于Bootstrap仿真的长寿风险测度

本文建立的状态空间模型，由于时变参数κ1t和κ2t的预测值存在误差（状态方程存在不稳定性），因此，未来死亡率预测不稳定性称为宏观长寿风险或过程风险。量测方程的拟合准确度带来的未来死亡率预测不确定性对应的是参数风险。

由于死亡率数据属于小样本，考虑到Bootstrap仿真方法在小样本情形下满足样本的相合性和分位点的渐进正态性，结合Bootstrap仿真技术与生存年金组合折现模型来测度长寿风险的重要性，具体可以归纳为五个步骤：第一步，利用卡尔曼滤波法对模型参数κ1t和κ2t进行估计，同时，得到对应的测量残差序列rx，t。记Rt是由元素rx，t构成的N×T维矩阵。

第二步，对rx，t进行有放回的抽样，得到新的残差矩阵Rt（b）。并利用量测方程得到重构样本数据qx，t。

第三步，基于重构样本，再次利用卡尔曼滤波估计得到待估计参数的新值和对应残差矩阵，得到对应的随机死亡率φt。第四步，利用公式（2）得到时变参数的预测值，并根据式（1）对未来死亡率进行预测。第五步，重复上述步骤5000次，可以得到随机死亡率的经验分布F（b）。

基于上述分析，分三种情形对长寿风险的具体内容进行测度：（1）量测方程和状态方程误差项Vt和Wt均取值0，利用公式（11）测度微观长寿风险。

（2）量测方程误差项Vt取值0，状态方程误差项为正态分布εt～N（0，Q）的随机值，利用公式（12）同时测度微观和宏观长寿风险。（3）量测方程和状态方程误差项分别为正态分布et～N（0，R）和εt～N（0，Q）的随机值，利用公式（12）同时测度微观、宏观长寿风险和参数风险。

四、实证研究

（一）样本的选取及预处理

考虑到数据的可获得性，选取1996～2011年分年龄、性别50～90岁死亡率的每一岁历史数据作为研究对象，并将末组确定为90，所有数据均来源于《中国人口统计年鉴》（1997～2012年）。

（二）死亡率实证结果

利用两因子状态空间模型对中国死亡率数据进行建模，结果见图1。其中，男性两时变参数漂移项分别为-0.01203和-0.00023，女性两时变参数漂移项分别为-0.01376和0.00019。关于女性死亡率的建模，传统CBD模型和两因子状态空间模型相差不大，但对于男性死亡率存在较大差异。这些差异来源于两者对于时变因子处理的不同，传统CBD模型对于时变参数的拟合受限于“初始值”，而状态空间模型则根据全局最优进行求解。

假定死亡人数服从泊松分布，采用贝叶斯信息准则对模型优劣进行判别。结果显示，传统CBD模型BIC值为-3512，两因子状态空间模型BIC值为-3349，后者略优于前者。

结合模型解释能力和模型检验结果，状态空间模型不仅实现了传统CBD模型拟合阶段和预测阶段的统一建模，同时对于随机死亡率时变特征的刻画相对更为精确，两因子状态空间模型要优于传统CBD模型。（三）长寿风险测度结果

基于两因子状态空间模型，利用Bootstrap仿真技术和生存年金组合折现模型，分别考察年金组合规模N=10，100，1000，10000四种不同组合规模情形下变异系数变动情况，以对长寿风险重要性进行测度。以60岁男性和女性为例，表1为微观长寿风险测度结果，表2为微观和宏观长寿风险综合测度结果，表3为微观、宏观和参数风险综合测度结果。

由表1不难看出，随着年金组合规模的扩大，由个体死亡率带来的微观长寿风险逐渐减小，当规模达到10000时，对于60岁男性和女性而言，变异系数仅有0.004和0.003。换言之，微观长寿风险可以通过大数法则进行分散化处理。根据年金组合现值可知，女性的未来生存成本要高于男性，这与中国现状“女性的寿命高于男性”相符合。

根据表2可知，考虑宏观长寿风险后，随着组合规模的扩大，年金现值的变异系数有显著减少，原因在于个体死亡率的风险在不断减小。但是当样本规模达到10000以上时，变异系数的变动已经很小，男性和女性分别约等于0.016和0.019，这就是由时变参数不确定性带来的风险。由此可见，宏观长寿风险是不能通过组合规模的扩大来消除的。

同时考虑微观、宏观和参数风险后，与表1和表2一致，变异系数刚开始随着组合规模的增加而加速减小。但当达到10000时，组合规模的扩大并不能带来变异系数的显著减小，男性和女性变异系数均约为0.200。与仅考虑微观和宏观长寿风险的情形相比，表3的结果要大些，这归咎于参数风险的存在。剔除宏观长寿风险的影响，可以得到男性和女性不同性别下参数风险对长寿风险的贡献率约为25%和5%。

综合上述分析可知，年金组合规模的扩大可以消除微观长寿风险，但不能消除宏观长寿风险和参数风险。同时，宏观长寿风险占据着不可分散风险的主导地位。进一步，利用公式（13）计算得到不可分散风险占据长寿风险主导地位的年金组合规模临界值。对于男性而言，宏观长寿风险和参数风险占据长寿风险主导地位的年金组合规模为380，对于女性而言则为248，这与表1“微观长寿风险随着组合规模递减速率高于男性”是一致的。

五、结束语

长寿风险的测度的关键在于对未来死亡率的预测和长寿风险测度方法的选择。基于传统CBD模型，通过引入状态空间模型和卡尔曼滤波估计，能避免传统死亡率预测模型的一系列弊端。此外，参数估计结果模型整体检验表明，两因子状态空间模型值得信赖。进一步，结合Bootstrap仿真技术处理小样本的优势，采用生存年金折现模型对不同性别情形下长寿风险的重要性分别测度，结果显示，微观长寿风险可以通过组合规模的扩大加以消除，而宏观长寿风险和参数风险不可分散。同时，宏观长寿风险占据不可分散风险的主导地位，贡献率高达75%（男性）和95%（女性）。

因此，年金产品定价和风险管理要充分考虑长寿风险，特别是宏观长寿风险和参数风险，年金的价格应该包含这部分风险溢价。

参考文献：

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[3]Thiele P N. On a mathematic formula to express the rate of mortality throughout the whole life [J]. Journal of the Institute of Actuaries， 1872，（16）： 313-329.

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[5]Lee R D， Carter L R. Modeling and forecasting US mortality [J]. Journal of the American Statistical Association， 1992，（87）： 659-671.

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[14]王晓军， 任文东. 有限数据下Lee-Carter模型在人口死亡率模型中的应用[J]. 统计研究， 2012， 29（6）： 87-94.

[15]金博轶. 动态死亡率建模与年金产品长寿风险的度量[J]. 数量经济技术经济研究， 2012，（12）： 124-135.

[16]张颖， 黄顺森. 基于随机死亡率与利率模型下的生存年金组合风险分析[J]. 系统工程， 2010， 28（9）： 15-19.

[17]Babbs S H， Nowman K B. Kalman filtering of generalized vasicek term structure models [J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis， 1999，（34）： 115-130.

（责任编辑：毋 虞）

A Two Factor State space Model for Stochastic

Mortality and Longevity Risk Measurement

HE Ying yuan1， 2，LIU Guan chun1

（1.School of Business， Central South University， Changsha， Hunan 410083，China；

2. Department of Business Administration， Changsha University， Changsha， Hunan 410085，China）

Abstract：To model the fitting and forecasting stages of traditional CBD method jointly， we formulate a state space framework， and use the Kalman filtering technique to estimate it. Further， considering the small sample characteristics of mortality data， we propose an approach to measuring longevity risk by combining Bootstrap simulation and portfolios of life annuities. Specifically， longevity risk includes micro /macro longevity risk， and parameter risk. Empirical results of Chinese mortality show that the new model is superior to the traditional CBD model in terms of model explanation power， estimation accuracy and normal distribution tests for errors. The expansion of annuity portfolio can eliminate the micro longevity risk， but it cannot eliminate the macro longevity risk and the parameter risk.Meanwhile， the macro longevity risk dominates the non removable risk.

Key words：State space model； Kalman filtering； Bootstrap simulation； Longevity risk

[8]Cairns A J G， Blake D， Dowd K， et al. Mortality density forecasts：an analysis of six stochastic mortality models [J]. Insurance： Mathematics and Economics， 2011，（48）： 355-367.

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（责任编辑：毋 虞）

A Two Factor State space Model for Stochastic

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HE Ying yuan1， 2，LIU Guan chun1

（1.School of Business， Central South University， Changsha， Hunan 410083，China；

2. Department of Business Administration， Changsha University， Changsha， Hunan 410085，China）

Abstract：To model the fitting and forecasting stages of traditional CBD method jointly， we formulate a state space framework， and use the Kalman filtering technique to estimate it. Further， considering the small sample characteristics of mortality data， we propose an approach to measuring longevity risk by combining Bootstrap simulation and portfolios of life annuities. Specifically， longevity risk includes micro /macro longevity risk， and parameter risk. Empirical results of Chinese mortality show that the new model is superior to the traditional CBD model in terms of model explanation power， estimation accuracy and normal distribution tests for errors. The expansion of annuity portfolio can eliminate the micro longevity risk， but it cannot eliminate the macro longevity risk and the parameter risk.Meanwhile， the macro longevity risk dominates the non removable risk.

Key words：State space model； Kalman filtering； Bootstrap simulation； Longevity risk

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[14]王晓军， 任文东. 有限数据下Lee-Carter模型在人口死亡率模型中的应用[J]. 统计研究， 2012， 29（6）： 87-94.

[15]金博轶. 动态死亡率建模与年金产品长寿风险的度量[J]. 数量经济技术经济研究， 2012，（12）： 124-135.

[16]张颖， 黄顺森. 基于随机死亡率与利率模型下的生存年金组合风险分析[J]. 系统工程， 2010， 28（9）： 15-19.

[17]Babbs S H， Nowman K B. Kalman filtering of generalized vasicek term structure models [J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis， 1999，（34）： 115-130.

（责任编辑：毋 虞）

A Two Factor State space Model for Stochastic

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（1.School of Business， Central South University， Changsha， Hunan 410083，China；

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Abstract：To model the fitting and forecasting stages of traditional CBD method jointly， we formulate a state space framework， and use the Kalman filtering technique to estimate it. Further， considering the small sample characteristics of mortality data， we propose an approach to measuring longevity risk by combining Bootstrap simulation and portfolios of life annuities. Specifically， longevity risk includes micro /macro longevity risk， and parameter risk. Empirical results of Chinese mortality show that the new model is superior to the traditional CBD model in terms of model explanation power， estimation accuracy and normal distribution tests for errors. The expansion of annuity portfolio can eliminate the micro longevity risk， but it cannot eliminate the macro longevity risk and the parameter risk.Meanwhile， the macro longevity risk dominates the non removable risk.

Key words：State space model； Kalman filtering； Bootstrap simulation； Longevity risk