基于扩展的跳跃SV模型的全国社保基金波动研究

江红莉，何建敏，庄亚明

（1.江苏大学 财经学院，江苏 镇江 212013； 2.东南大学 经管学院，江苏 南京 211189）＊

一、引 言

为了探索社保基金保值增值的渠道，2000年党中央、国务院决定建立“全国社会保障基金”，同时设立“全国社会保障基金理事会”（简称社保基金会），负责管理运营全国社会保障基金（简称全国社保基金）。按照《全国社会保障基金投资管理暂行办法》的规定，社保基金会直接运作的社会保障基金的投资范围限于银行存款、在一级市场购买国债，其他投资需委托社会保障基金投资管理人管理和运作并委托社会保障基金托管人托管。2010年全国社保基金总额为23 886亿元，近9成存入银行，2011年7月CPI增幅已经达到了6.5%，几乎是一年期利率的两倍，全国社保基金面临着巨大的贬值风险。在高通胀的背景下，如何实现全国社保基金的保值增值？是否能让其大规模地进入金融市场？测度社保基金投资于金融市场的风险是回答这一问题的关键，而社保基金收益率的波动则是风险测度的关键。

资产收益波动在大量的金融实践中扮演着关键性角色，它是资本资产定价、风险管理和投资组合理论的核心变量。ARCH（GARCH）模型和SV（Stochastic Volatility）模型是波动建模的常用模型，SV模型中的方差由一个不可观测的随机过程决定，因此，它被认为更加适合金融领域的实际研究［1，2］。金融市场经常受到外在因素（如重要消息或突发事件）的冲击，资产收益率就会在短时间内出现大幅波动，即所谓的“跳跃”现象。Chib等（2002）提出了收益率方程中带有协变量（covariate）的跳跃厚尾SV模型［3］。Berg等（2004）基于DIC准则比较了各种SV模型的建模效果，发现跳跃SV模型对实际数据拟合较好［4］。Nakajima（2009）和Kobayashi（2009）也在SV模型中加入了跳跃过程，以增强SV模型对于金融市场中突发事件的解释能力［5，6］。Todorov（2011）研究了时变的跳跃SV模型，实证发现其建模效果优于非时变跳跃SV模型［7］。国内也有学者对跳跃SV模型进行了研究，周彦等（2007）研究了跳跃连续时间SV模型［8］；王春峰等（2009）分析了连续时间内，收益与波动过程存在相关无限活跃列维跳跃的随机波动模型以及仿射跳跃扩散模型（AJD）［9］；姚宁和毛甜甜（2009）基于跳跃扩散模型研究了中国股市和期市风险关联性［10］；朱慧明等（2010）提出了基于状态空间的贝叶斯跳跃厚尾金融随机波动模型［1，2］；高延巡等（2010）基于双跳跃随机波动模型研究了股市波动跳跃行为［11］。本文将进一步对跳跃的SV模型进行扩展，在传统的跳跃SV模型的对数波动率方程中考虑协变量，设计该模型参数估计的MCMC算法，并基于该模型实证研究全国社保基金波动的特征。

二、跳跃SV的建模分析

（一）扩展的跳跃SV模型

传统的跳跃SV模型为：

其中，yt为t时刻的观测变量，表示第t日去掉均值后的收益；θt为潜在波动的对数形式；｛εt｝和｛ηt｝是相互独立的序列，均不可观测；μ为波动方程的常数项，表示对数波动率θt的均值；φ为波动的持续性参数，对于｜φ｜＜1，SV模型是协方差平稳的；τ为对数波动θt的标准差。

stqt表示一个跳跃过程，st表示跳跃幅度，qt表示跳跃的频率。其中，qt服从参数为κ（0＜κ＜1）的伯努利分布b（1，κ），即qt＝1的概率为κ，qt＝0的概率为1－κ。根据Berg等（2004）［3］，跳跃幅度st满足：ln（1＋st）～N（－δ2/2，δ2）。

全国社保基金以委托投资的模式在金融市场上投资，截至到2010年，共有16家基金管理公司和2家券商作为全国社保基金的国内投资管理人。这就意味着全国社保基金投资可能会受基金管理公司旗下基金产品投资的影响。因此，将经典的跳跃SV模型进行扩展，即在式（1.2）中增加这16家基金管理公司旗下基金产品收益率的对数ARCH项，以更准确地刻画全国社保基金收益率的波动特征。

但是，这16家基金管理公司，每家基金管理公司旗下的产品种类、数量、投资风格都不太一样，无法同时考虑每一家基金管理公司旗下的所有基金产品。基于简单但不失代表性的原则，用基金重仓指数代表这16家基金管理公司旗下的基金产品，进而研究基金管理公司对全国社保基金收益率波动的影响。扩展的跳跃SV模型如下：

（二）扩展跳跃SV模型的MCMC算法

令γt＝ln（1＋st），得st＝exp（γt）－1，跳跃过程stqt可以替换为（exp（γt）－1）qt，于是式（2.1）和（2.2）可表示成：

如果对式（3）（观测方程）进行移项，并在等式两边取对数，则有：

式（4）表示观测方程，式（3）表示状态方程。~yt为观测变量，θt为不可观测的状态变量，ξt和ηt为相互独立的随机扰动项。将跳跃厚尾SV模型表示为线性状态空间模型的形式，便于在状态空间模型框架下利用Kalman滤波得到θ｛｝t的最小均方误差无偏估计。

在实际应用中，yt表示金融资产的对数收益率，所以，跳跃幅度st是非常小的，通常用10－2来度量，由此，exp（γt）－1近似等于γt，stqt就可以表示为γtqt。此处，stqt的近似对于跳跃SV模型的MCMC算法设计是非常重要的，因为在对跳跃尺度参数δ进行抽样时，可以由条件密度进行。

关于γt求积分，得到条件密度函数由此，从后验分布＋exp（θt））中抽取δ变得可行，其中π（δ）表示δ的先验分布。

通过式（3）和（4）构成的线性状态空间模型以及stqt的近似处理，可以得到扩展跳跃SV模型参数估计的MCMC算法。具体步骤如下：

步骤6：用前一步迭代更新的样本作为下一步迭代的初始值，重复步骤2～6。

（三）模型的选择：贝叶斯因子

贝叶斯因子最初应用于假设检验范畴，后由Kass和Raftery等（1998）［12］引入到模型比较领域，它定义为两个模型的边缘似然函数之比，用公式表示如下：

其中，B12表示模型m1对模型m2的贝叶斯因子，f（y｜m1）和f（y｜m2）分别表示模型m1和m2模型 的边缘似然函数。边缘似然函数f（y｜m），m∈｛m1，m2｝，可以表示为：

其中，f（y｜Θm，m）表示参数为Θm的模型m的似然函数。由公式（6）可以看出，模型的边缘似然函数考虑到了模型各个参数的所有取值的可能性，因此，利用贝叶斯因子进行模型比较，可以减弱先验信息对于模型比较结果的影响，突出数据的重要性。

三、基于扩展跳跃SV模型的实证分析

（一）描述性统计分析

基于简单但不失代表性的原则，用社保重仓指数（社保基金重仓股构成的指数）代表全国社保基金投资组合。考虑到数据的可获取性，样本时间范围定为2006年9月29日～2011年6月1日，共1333组样本数据。所有数据来源于大智慧的“板块指数”。

将“社保重仓”每日的收盘价记为Pt，将社保基金第t日的收益率定义为：

收益率的标准差为0.0238。收益率偏度统计量为负（－0.5564），意味着社保基金收益存在着下降的可能。峰度统计量、J－B检验统计量的值及其相伴概率，表明社保基金收益率不服从正态分布，具有“尖峰厚尾”的特征。ARCH效应检验表明收益率具有明显的条件异方差性。Ljung－Box Q统计量表明社保基金的收益率不存在自相关性，单位根ADF检验表明，收益率序列均不存在单位根，是平稳的。

（二）模型参数的贝叶斯估计

值得一提的是，实证数据为yt＝rt－r¯，其中，r¯为社保重仓对数收益率的均值。

1.先验分布的设定。参数先验分布的设置是贝叶斯统计分析的前提条件。在使用MCMC算法对扩展的跳跃SV模型进行参数估计之前，参考已有文献设置模型参数的先验分布［3，4］。参数μ表示潜变量｛θt｝的均值，β表示潜变量｛θt｝受外生变量（基金重仓波动）的影响程度，关于μ和β的先验信息很少，因此，可以使用低信息先验分布，将μ和β的先验分布设置为：μ～N（0，100），β～N（0.001，100）；由于τ2表示潜变量｛θt｝的方差，因此，采用逆伽玛分布作为τ2的共轭先验分布，参数分别为2.5和0.025，即τ2～IGa（2.5，0.025），则先 验 均 值 为0.01；因为φ的取值范围的限定｜φ｜＜1，所以设φ＝2φ＊－1，且φ＊～Beta（20，1.5），则对应φ的先验均值为0.86，这是波动持续性参数φ的一个比较典型的取值；跳跃概率参数κ的共轭先验分布为贝塔分布，且κ～Beta（2，100），则κ的先验均值为0.0196；由于跳跃尺度参数δ是一个正数，所以，将δ的先验分布设置为对数正态分布，先验均值为0.02，即δ～LN（－3.9，1）。

2.收敛性诊断。采用MCMC仿真方法和OPENBUGS软件，同时产生两条具有不同参数初始值的Markov链，便于检验扩展的跳跃SV模型各参数的样本分布的收敛性。首先对每个参数进行20000次迭代，舍弃前10000个样本进行模拟退火，再对保存下来的后10000个样本进行分析。使用Gelman－Rubin收敛性诊断方法进行收敛性检验［13］，此方法通过GR统计量来判断模型各参数的样本分布是否已收敛到其后验分布。利用保存下来的10000个样本，从前往后，每50个样本计算一次GR统计量并画出线图，则可得到跳跃厚尾SV模型各参数的样本分布收敛图，如图1所示。扩展的跳跃SV模型各参数的R值，都随着样本量的增加而趋近于1，说明模型参数的样本分布已经收敛到其后验分布。

（三）参数估计结果分析

为了进行比较分析，同时基于传统的跳跃SV模型、杠杆SV、SV－M、SV－T以及SV－N对社保重仓收益率建模。表1给出了6种SV模型的参数估计结果。

将扩展的跳跃SV模型、传统的跳跃SV模型、杠杆SV模型、SV－M模型、SV－T模型、SV－N模型依次记为m1，m2，m3，m4，m5，m6，各SV模型的对数边缘似然函数值及对数贝叶斯因子如表2所示。

从表2可知，对数贝叶斯因子lnB12、lnB13、lnB14、lnB15和lnB16都为正，并且都大于3，因此，根据Kass和Raftery（1995）［11］制定的基于对数贝叶斯因子进行模型比较的判定标准，可得扩展的跳跃SV模型建模效果相对最好。

图1 社保重仓扩展的跳跃SV模型参数样本分布收敛图

表1 基金重仓基于各SV模型的MCMC参数估计结果

表2 各SV模型的对数边缘似然函数值及对数贝叶斯因子

由表1可知，除了扩展的跳跃SV模型外，其余五个模型得到的波动持续性参数φ值都达到了0.92以上，基于扩展的跳跃SV模型得到的波动持续性参数值仅为0.1548，说明跳跃SV模型的对数波动率方程中增加基金重仓的对数ARCH项减少了社保重仓的波动持续性。

根据表1，比较社保重仓基于扩展的与传统的跳跃SV模型建模的结果，发现前者的跳跃频率高于后者，前者为0.0726，后者为0.0182，说明基金重仓的波动对社保重仓的跳跃具有正向作用，基金重仓的波动会加剧社保重仓的跳跃。一个可能的解释是，社保基金由基金管理公司委托投资，出于安全性的考虑，社保基金可能会趋向于投资由基金管理公司重仓持有的股票，即基金重仓股，样本期内社保重仓与基金重仓的线性相关系数达到了0.9292，也印证了这一点。

为了进行对比分析，基于传统的与扩展的跳跃SV模型对基金重仓收益率建模（用扩展的跳跃SV模型对基金重仓建模时，波动率方程中的协变量为社保重仓，即式（2.1）和（2.2）中的yt与~xt位置互换）。表3给出了基金重仓基于传统的与扩展的跳跃SV模型的参数估计结果，发现扩展的跳跃SV模型的跳跃频率相对较高；为了方便对比，将社保重仓基于扩展的跳跃SV模型建模结果也放入表3中。

表3 基金重仓基于扩展的和传统的跳跃 SV模型的MCMC参数估计结果

由表3可知，社保重仓的对数波动率θt的平均值μ略小于基金重仓，说明社保重仓的波动幅度略小于基金重仓，社保重仓的风险分散程度略强于基金重仓；社保重仓的波动持续性参数 值大于基金重仓的，说明社保重仓比基金重仓具有更强的波动持续性；比较对数波动率θt的标准差（波动噪音），发现基金重仓对数波动率θt的波动程度更大；比较社保重仓和基金重仓的跳跃频率和跳跃幅度，发现前者的跳跃频率和幅度均小于后者，可能的原因是，机构投资者（基金公司）对金融市场或经济的突发重大事件更加敏感。

根据表3，比较社保重仓与基金重仓的跳跃频率和跳跃幅度发现：基金重仓的跳跃频率和幅度均强于社保重仓。进一步比较对数波动率θt的影响，对社保基金而言，扩展的跳跃SV模型参数的贝叶斯估计值为0.5188，说明社保重仓的对数波动率与基金重仓的对数ARCH项正相关，基金重仓的对数ARCH项每增加1个百分点，社保重仓的对数波动率将增加0.5188个百分点；但是社保基金的对数ARCH项每增加一个百分点，基金重仓的对数波动率将增加0.4809个百分点，即社保重仓波动与基金重仓波动之间存在不对称的作用，社保重仓波动对基金重仓波动的影响弱于基金重仓波动对社保重仓波动的影响。

四、小 结

以上对传统的跳跃SV模型进行了扩展，提出了资产收益率的对数波动率方程中带有协变量的跳跃SV模型，给出了模型参数估计的MCMC算法，并将扩展的跳跃SV模型用于分析社保重仓指数对数收益率的波动特征研究。基于贝叶斯因子比较发现，相对于SV－N、SV－T、SV－M、杠杆SV－N和传统的跳跃SV－N五个模型，扩展的跳跃SV模型建模效果最好；扩展的跳跃SV模型有效地降低了波动持续性；比较社保重仓收益率基于扩展的与传统的跳跃SV模型建模的结果，发现前者得到的跳跃频率高于后者，但前者得到的跳跃幅度低于后者，用同样的模型对基金重仓收益率建模，得到了同样的结论；社保重仓波动对基金重仓波动的影响弱于基金重仓波动对社保重仓波动的影响。

［1］朱慧明，黄超，郝立亚，等.基于状态空间的贝叶斯跳跃厚尾金融随机波动模型研究［J］.中国管理科学，2010，18（6）：17－25.

［2］朱慧明，郝立亚，等.基于贝叶斯SV模型的通货膨胀水平与不确定性关系研究［J］.财经理论与实践，2011，（2）：13－19.

［3］Chib S，Nardari F.，Shephard N.Markov chain monte carlo methods for stochastic volatility models［J］.Journal of Econometrics，2002，108（2）：281－316.

［4］Berg A，Meyer R，Yu J.Deviance information criterion for comparing stochastic volatility model［J］.Journal of Business ＆Economic Statistics，2004，22（1）：107－119.

［5］Nakajima J，Omori Y.Leverage，heavy－tails and correlated jumps in stochastic volatility models［J］.Computational Statistics and Data Analysis，2009，53（6）：2335－2353.

［6］Kobayashi M.Testing for jumps in the stochastic volatility models［J］.Mathematics and Computers in Simulation，2009，79（8）：2597－2608.

［7］Todorov V.Econometric analysis of jump－driven stochastic volatility models［J］.Journal of Econometrics，2011，160（1）：12－21.

［8］周彦，张世英，张彤.跳跃连续时间SV模型建模及实证研究［J］.系统管理学报，2007，16（5）：31－36.

［9］王春峰，郝鹏，房振明.连续时间金融框架下证券市场跳跃模型研究［J］.南开经济研究，2009，（5）：143－153.

［10］姚宁，毛甜甜.基于跳跃扩散模型的中国股市和期市风险关联研究［J］.西安电子科技大学学报（社会科学版），2009，19（3）：21－26.

［11］高延巡，胡日东，苏梽芳.中国股市跳跃行为的随机波动模型分析［J］.华侨大学学报（自然科学版），2010，30（5）：580－585.

［12］Kass R，Raftery A.Bayes fostor［J］.Sournal of American Statistical Association，1995，90（3）：773－795.

［13］Gelman A，Rubin D.Inference from iterative simulation using multiple sequences［J］.Statistical Science，1992，7（4）：457－511.