随机方程的EM截断方法

摘要：截断Euler-Maruyama（EM）方法最初是由毛学荣老师提出的，在这之后，大量的工作运用了这一思想来构造不同类型随机方程的数值逼近，由于这方面的研究方兴未艾，本文介绍了EM法的背景，讨论了这类方法的构造步骤及主要结论.

关键词：随机微分方程;非线性系统;截断方法;显式方法.

1.背景介绍

近几十年来，随机微分方程被广泛应用于非定常微分方程的建模等不同领域的现象. 例如：金融、生物、化学和物理等不同领域的现象.然而，真解的显式闭式却很少，即使是线性随机微分方程，其真解的显式表达式也涉及随机积分，因此在大多数情况下，真解的统计性质只能从数值模拟中看出，随机微分方程的数值方法在应用中变得非常重要.

在不同的数值方法中，Euler-Maruyama（EM）方法是最简单的一种，它是一种非常有效的方法，是一种显式方法易于实现.EM方法是常微分方程正Euler方法的直接推广，但正Euler方法对常微分方程的求解效率很低.所以，对一类超线性系数随机微分方程的迭代算法，EM方法的矩与真解的矩是不同的.从理论上讲，如果考虑到强收敛性，用EM方法来逼近超线性系数的随机微分方程是不合适的，但由于上述原因，EM型方法仍然受到许多研究者的关注，已有许多改进的显式Euler型方法被提出.在EM方法的所有的修改中，驯服欧拉方法将是第一个也是一个很好的尝试.

本文主要研究截断EM方法，它是一种改进的显式Euler型方法，对于漂移系数和扩散系数均超线性增长的随机微分方程，证明了其强收敛性及收敛速度.本文的结构如下：第一节简要介绍了截断EM法的背景介绍.在第二节中讨论了这类方法的构造步骤及主要结论.

2.EM截断方法的步骤及主要结论

对于应用中的许多随机微分方程模型，例如，注释1中的随机微分方程满足假设3，对于任意大的 ，假设1表明对于某些正常数 我们可以选择 .因此，对于任意小的 我们可以选择 证明了 则对于任意充分小的 都成立.因此不等式（2）就变成了 .这表明，截断的EM的收敛阶数可以任意接近一半。

参考文献

[1]刘暐，毛学荣.随机方程的截断方法综述[J].安徽工程大学学报.2020.35：1-11

[2]梁健，肖悦，毛学荣.随机微分方程截断EM法的收敛率和稳定性[J].計算与应用数学期刊.2018.377：274-298

[3]温海宁.随机微分方程的全隐式截EM法的收敛速度[J].计算与应用数学期刊.2016.296：362-375

作者简介：姓名：王鑫，性别：女，出生年月：1996-01，民族：汉，学历/职位：在读研究生二年级，研究方向：统计学。

（河南大学数学与统计学院  河南  开封  475000）