时间:2024-08-31
何立功
摘要:根据DFT变换的理论,探讨了DFT对连续信号进行谱分析时存在的问题,以及工程上的解决办法。得出提高谱分辨率需要增加采样点数的结论。最后通过仿真验证,仿真结果与结论一致。
关键词:DFT;谱分析;分辨率;仿真
1. 引言
通常所说的信号谱分析,其实就是计算信号的傅里叶变换。但是对于连续信号进行傅里叶计算,只能是单纯的数学上计算,无法直接在工程上实现,即无法直接借助计算机计算。而离散傅里叶变换(DFT)是一种时域与频域均离散化的变换,很适合计算机对离散信号进行计算。本文将针对使用DFT进行谱分析时,如何提高谱的分辨率进行探讨,对DFT在工程上应用具有一定的指导意义。
2. DFT谱分析
为了使用DFT对连续信号xa(t)进行谱分析,必须先进行时域离散采样,得到离散信号x(n),然后再对x(n)进行DFT,得到的X(k)是x(n)的傅里叶变换x(ejω)在频率区间[0,2π]上的N点等间隔采样。但是,根据傅里叶变换理论可知,时域有限长,频谱有限宽的信号实际上不存在。所以,根据采样定理采样时,时域采样必然都是无限长的,是不满足DFT的变换条件的。
在工程上,对频谱很宽的信号,在采样之前增加一级预滤波器,滤除高频成分,达到保留主要信息的同时还可以防止采样后产生频率混叠的效果。而对于时域较长的信号,可以进行合理的截断。由此可见,使用DFT对连续信号进行谱分析必然是近似的,其近似程度与信号带宽、采样频率以及截取长度有关。
假设xa(t)的截取长度为Tp,最高频率为fc,采样周期为T,Fs=1/T为采样频率,采样点数为N。已知xa(t)的傅里叶变换为Xa(jΩ),x(n)的傅里叶变换为 (2-1)将ω=ΩT带如上式,可得x(n)的傅里叶变换与xa(t)的傅里叶变换之间的关系:
又根据X(k)与x(ejω)的关系:
得x(n)的N点DFT与xa(t)的傅里叶变换之间的关系。对比(2-2)可以看到,x(n)经DFT以后的频谱是在原连续信号的频谱上采样得到的,即实现了频谱采样。其中F便是频谱采样间隔,称为频谱分辨率。
由此可得
根据(2-4)可知,要想提高频谱的分辨率,可以降低时域采样频率Fs,或者增加时域采样点数N。但是降低时域采样频率Fs可能会导致不满足奈奎斯特采样定理。所以只能在保证Fs不变的前提下,增加采样点数N。
3. 仿真验证
通过MATLAB仿真,仿真信号是由99Hz和101Hz的两个信号叠加而成,采样频率为1000Hz。对不同的采样点数都是进行2048点DFT,为了使谱线比较光滑,采样点数不足2048时,进行补零处理。最终仿真结果如图3.1所示。
(a)中取样点数为2048;(b)为对应的频谱图,可以很明显的看到99Hz和101Hz这两个频率。(c)中取样点数为100个;(d)为对应的频谱图,可以看到此时在100Hz处只有一个频率,但是这并不被原信号所支持,因为原信号有两个频率。(e)中取样点数为400个;(f)为对应的频谱图,此时稍微能看出有两个频率在100Hz两边,但是分的不够开,或者说不能完全确认就是两个。(g)中取样点数为900个;(h)为对应的频域图,此时基本上可以分辨出有两个频谱。由此验证了(2-4)的结论,相信随着取样点数的增加,频谱的分辨率越来越高,即可以使两个频率分的更开,越来越接近(b)的频谱。
4. 总结
本文先是提出DFT谱分析面临的问题,然后说明了工程上的解决方法,并进行了基本的理论推导。最后通过仿真验证了解决方法的正确性,仿真结果与理论推导一致。
参考文献:
[1]高西全. 数字信号处理(第四版)[M]. 西安电子科技大学出版社, 2016.
[2]Williamson D . Discrete-Time Signal Processing[M]. IET, 1999.
[3]Vinay K Ingle. Digital Signal Processing using MATLAB[M]. XI’AN Jiao Tong University Press, 2018.
項目基金:2021年1月至2023年1月,项目单位:百色学院,项目名称:本科专业核心课程-数字信号处理,项目编号:2016HXKC24
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