一段函数交点问题的变式探究

张和平，朱灿梅

（1.凯里学院，贵州凯里 556011；2.凯里市第十五中学，贵州凯里 556011）

疫情防控期间，贵州省推出“阳光校园·空中黔课”的线上教学活动，讲授“一段函数的交点问题”专题课程，深受启发，受益匪浅.然而，线上教学中如何处理知识、技能与思想的关系，如何充分揭示数学思想、培养学生思维品质等问题，值得思考，也是开放式线上教学大众督导的益处和进步.在此，笔者通过问题变式的讨论，以期抛砖引玉.

1 教学复述与思考

教学问题：若直线y=-3x+b与双曲线在1 ≤x≤4 的范围内有公共点，则b的取值范围是____________.

授课过程：如图1 所示，一次函数y=-3x+b是一组平行直线，使用代入法求参数b的取值范围.依题意，直线y=-3x+b与双曲线y=在1 ≤x≤4的范围内有公共点，把x1=1 和x2=4 代 入y=，求得y1=2，y2=，即得两交点是（1，2）和把x1=1，y1=2 和x2=4，y2=分别代入直线y=-3x+b，求得b1=5，b2=.所以，b的取值范围是：

一点思考：由教学过程发现，一方面，从教师上课中的直观构图（图1）可看出，存在2 个明显失误：一是对直线y=-3x+b一次项系数性质没有把握，造成绘制直线草图方向偏差大而出现错误.图1 中绘制b（1由x1=1，y1=2 求得）在b（2由x2=4，y2=确定）上方，与结果表述（b1＜b2）矛盾.说明对直线y=ax+b的一次项系数（a=-3）缺乏最基本的判断，一次函数y=-3x+b图像与正比例函数y=-3x图像是平行直线，一次项系数a=-3确定了直线的方向变化情况；二是在1 ≤x≤4的范围内直线y=-3x+b与双曲线的公共点是右交点（作为教师应该明白），而绘制草图1是左交点，没有正确把握交点的情况.另一方面，本课程教学中主要使用代入法求解b的取值范围，方法简单，技巧可操作性强，但没有实现向联系、问题引领的深度教学转变［1］，特别是缺乏解释b取值范围存在性原理，没有很好揭示本专题蕴含的函数、方程、化归、几何直观等重要数学思想，不利于学生数学思维品质的培养.

此题也曾是2019年QZ市HA 县初中学业质量监测数学试题的一道填空题，主要考查初中学生对2个重要函数性质以及蕴含的数学思想掌握情况，题目综合性较强，在教学中不应该就题论题，应该解决一类问题的本原性原理，更要注重蕴含数学思想的分析.

2 问题解答与讨论

首先，确定b值存在性问题.由已知直线y=-3x+b与双曲线有公共点，通过联立方程求解公共交点，即解方程组整理得3x2-bx+2=0.由判别式Δ=b2-24，令Δ=b2-24 ≥0，解得，或说明当或时，直线y=-3x+b与双曲线有公共点.而且可以计算，y=时的唯一公共交点是

第二步，讨论b在指定区域内的取值范围.依题意，在指定范围内确定b值，要考虑这样几个问题：①在指定区域内，x与b是否建立有对应关系？②在关系式中随着x增大，b如何变化？③是否通过构建直观图像判断b的变化趋势？

带着这些问题，利用已知条件试图建立x和b之间的关系.由上述方程组，把（2）式代入（1），整理得，说明x和b之间能够建立关系，即每一个xi(i=1,2,…,n)都对应一个bi(i=1,2,…,n).根据一次函数y=ax+b(a≠0)性质，由每一个bi(i=1,2,…,n)构成无数条直线簇都与直线y=ax平行.先画直线y=-3x的图像，如图2所示.当时，在上每一个点确定的每条直线y=-3x+bi都与直线y=-3x平行，根据构建图像（图2）可知，都随x的增大而增大.把x1=1，y1=2 和x2=4，分别代入直线y=-3x+b，求得b1=5，由以上分析，在1 ≤x≤4的范围内b的取值范围是

图2

上述的教学过程中，通过构建方程组探讨了b值的根源性问题，把问题延伸到在定义域内确定b的取值范围的教学，体现了对函数思想、方程思想、化归思想的培养［2］.在第二步讨论b在指定区域内的取值范围教学中，依据函数的性质描绘关于b值范围的趋势变化图像，凸显函数思想和几何直观思想［3］在教学中的运用.在整个教学过程中，先是求定义域内b的取值范围到指定区域内b的取值范围的一个教学设计，体现由一般性原理到特殊值、整体性到局部的数学思想［3］.教学中要心中有思想，站高一级思考问题、降低一位来解决学生的实际问题，要由传授知识、技能教学深化到加强数学思想的渗透培养.

变式练习与思考：

一次函数系数改变符号变式问题：如果直线y=3x+6 与双曲线在1 ≤x≤4 有公共交点，求b的取值范围.

问题设疑：经过计算，得b1=5，，依据前面结果表达方式，答案是不是为什么？

简单分析：如图3所示，依据直线y=3x+6的一次项系数a=3大致描绘一次函数图像.随着x的增大，b逐渐变小，从而，正确答案是

图3

通过上述解题分析可知，本专题教学如果设计为如下问题，对学生认知和解题将会有一定帮助：

（1）讨论直线y=-3x+b与双曲线的交点情况，并确定参数b的取值范围；

（2）若直线y=-3x+b与双曲线在1 ≤x≤4的范围内有公共点，求b的取值范围.

3 问题变式与探究

把上述问题变式为如下问题：

（1）讨论y=-3x+6与的交点情况，并确定参数b的取值范围；

（2）若直线y=-3x+6与双曲线在1 ≤x≤4的范围内有公共点，求b的取值范围.

此变式是由直线方程参数变为曲线方程有参数，图像及其变化都较为复杂，对初中学生是深度变式，需要分析不同情况进行解决.

整理得3x2-6x+b=0，由判别式Δ=36 -12b，令36 -12b=0，解得b=3；Δ ＜0，解得b＞3；Δ ＞0，解得b＜3.所以，当b=3时，直线与双曲线有唯一一个公共交点；当b＞3时，直线与双曲线没有公共交点；当b＜3时，直线与双曲线有2个公共交点，但要考虑b≠0情况.

②直线y=-3x+6 的图像是确定的，建立直角坐标系，先画此图像.根据双曲线y=(b≠0)性质，如图4所示，随着b增大，双曲线(b≠0)沿着直线y=x移动远离坐标原点.

图4

联立（3）（4）解方程组，解得b=xy=-3x2+6x.根据函数性质，二次函数b=-3x2+6x开口向下，顶点坐标为P（1，6），即当1 ≤x时，二次函数b=-3x2+6x严格递减，如图5 所示.因此，计算得当x=1时，b=3；当x=4时，b=-24.

图5

现在讨论b值变化情况及取值范围：根据前述可知，当b≤3（b≠0）时，直线y=-3x+6 与双曲线有公共交点，而且b=3 时直线与双曲线相切，即b=3 最大临界值.根据题意，可绘制如图6所示的几何图形.

图6

当x从1→4 变化时，直线y=-3x+6 上点A（1，3）沿该直线下移至点D（4，-6），由直观图形和b=-3x2+6x核算可知，当x=2时，b=0（即y=0的一条直线）.由此可知，当x=2，即b=0时，是双曲线在一、三象限和二、四象限的分界点.

经上述讨论，在1 ≤x≤4范围内，b的取值范围是-24 ≤b＜0和0 ＜b≤3.

由解题教学看出，参数变为双曲线函数问题，难度变得复杂.由双曲线性质判断曲线的图像变化趋势，随着指定点由B向C移动，一次函数值将由点A 移动到点D，是一个动态变化过程.这个变化过程中，当x无限趋近于2时，双曲线图像将由在一、三象限变到二、四象限，x=2是分界点.这个教学过程中不仅体现了函数思想、方程思想、数形结合、化归思想、几何直观、空间观念和逻辑推理等初等数学中的基本思想［4］，更是渗透了由静态向动态、有限向无限的高等数学思想转变，不仅让学生感受数学之美妙所在，享受数学课堂学习快乐.

变式练习与分析：

（1）一次函数系数改变符号的变式思考：若直线y=3x+6与双曲线在1 ≤x≤4的范围内有公共点，求b的取值范围.

简要分析：首先利用根判别式确定直线y=3x+6 与双曲线存在公共交点b的取值范围，经计算，当b≥-3时直线与双曲线有公共交点.

然后确定在1 ≤x≤4的范围内b的取值范围.联立直线与双曲线函数，建立方程组：

计算得：b=3x2+6x，此二次函数开口向上，顶点坐标P（-1，-3），说明二次函数b=3x2+6x在-1 ≤x上（严格）递增.所以，当1 ≤x≤4时，b的取值范围是：9≤b≤72.

（2）变换函数的变式思考：

①已知函数y=3x+6与y=x2-c（c为常数）的图像有且仅有一个公共点，则常数c的值为多少？

②已知函数y=3x+6 与y=x2-c（c为常数）在1 ≤x≤4 范围内有且仅有一个公共点，则常数c的值为多少？

简要分析：对于问题①，需要联立2个函数构建方程组，消元化归为一元二次方程，依题意利用判别式求解，并判别2 个函数在有2 个交点.对于问题②，需要思考两个问题：一是探讨时，交点是否在指定范围内；二是在1 ≤x≤4范围内只有一个公共点，需要考虑两端界点情况.由问题①可知，c=时，则，该值在1 ≤x≤4 范围内，符合条件；考虑两个端点问题：（1）当x=1 时，计算得c=-8，函数y=3x+6 与y=x2+8 有2 个共同点，即A（1，9），B（2，12），如图7所示，不符合题意条件.

图7

从图7中可看出，当c从变化到-8时，函数y=3x+6与y=x2-c都有2个公共点.而且判断出两函数两交点A（1，9）和B（2，12）是不符合条件的临界点，x=2是临界点的右交点，即相当于x=2时c=-8不符合条件.因此，在1 ≤x≤2指定区域内两函数有且只有一个交点，计算出只有符合条件.当x=4时，解得c=-2，联立两函数y=3x+6与y=x2+2，解得两交点P（-1，3），C（4，18），在1 ≤x≤4指定范围内只有一个交点，符合题意.所以，函数y=3x+6与y=x2-c（c为常数）在1 ≤x≤4范围内有且仅有一个公共点，则常数c的值为：和-8 ＜c≤-2.

值得注意的是，此变换函数的变式题与原教学专题有相同之处，在指定1 ≤x≤4范围内计算左端点x=1时都存在左、右两交点问题，而且是右交点符合条件，解题过程中在绘制图形或是求解参数时可能容易忽视，甚至造成错解.

由上述变式教学讨论可知，一段函数交点问题的变式形式是多种多样的，可以通过交换、改变两个函数的参数，可以变换其中一个函数及其参数，也可以变换指定不同定义域范围等变式，都可能构建成为一个好的变式探究问题.对于一段函数交点问题的教学设计中，需要通过联立构建方程组，从问题的本原性探讨b的取值范围，再把问题延伸到在定义域内确定b的取值范围的教学，渗透了函数、方程和化归等数学思想，呈现由一般到特殊、整体到局部的数学思维过程.依据函数的性质在指定定义域范围内描绘b值范围的变化趋势图像，不仅体现函数思想、数形结合、空间观念和几何直观在教学中的运用，更是呈现了由静态向动态、有限向无限的高等数学思想的渗透，让学生感受数学之美妙，享受数学课堂学习快乐，为进一步数学学习提供感性认识和理性思维，培养学生良好的数学思维品质.