基于分类逻辑的函数性质研究性教学

滕吉红 黄晓英 文生兰

摘 要：函数是高等数学的主要研究对象，连续性、可导性、可微性以及可积性是高等数学的主要研究内容。但不同的函数在相应性质的研究中蕴含着不同的思维方法。文章以函数的可导性研究为例，首先利用二分法对函数进行分类——初等函数以及非初等函数，对每种情况研究过程中所运用的思维方法进行深入挖掘，引导学生在主动探索中发现知识的过程，初步体会数学知识产生过程中所蕴含的科学研究的思想和科学研究的方法，增强学员的科研意识。

关键词：初等函数 基本初等函数 分段函数 积分上限函数 可导性

中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）03（b）-0121-02

The Research Teaching About the Properties of Functions Based on Classification Logic

Teng Jihong Huang Xiaoying Wen Shenglan

（Science Institute Information Engineering University，Zhengzhou Henan，450001，China）

Abstract：Functions are the important research object of advanced mathematics，which contains the properties of continuity， derivative，differential and integral. There are different method and thinking according to the different function.The paper takes the derivative property as example to explore the different thinking methods in the research of elementary functions and nonelementary functions， so that the student can experience the research idea and method of the mathematicians.

Key Words：Elementary Function；Basic Elementary Function；Piecewise function；Upper Limit of Integral Function； Derivativer Property

著名的物理学家伽利略说过：“大自然这部巨著是用数学语言写成的”。印度數学家拉奥也曾说过：“一个国家的科学发展水平可以用它消耗的数学来度量。”[1]可以说数学已经渗透到了社会生活的各个领域。但是如何把丰富多彩、千变万化的大自然用数学语言来刻画呢？数字化是用数学方法解决实际问题的前提，而映射是实现数字化的关键，映射刻画的是事物与事物、现象与现象、事物与现象之间的本质的、必然的联系。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段，而函数可以构成许多实际问题的模型，它作为特殊的映射刻画的是数量与数量之间的关系，因此对许多实际问题的研究当建立了目标函数之后就转化为对函数的研究，它在理论研究和实际应用中有着举足轻重的地位。

高等数学就是以函数为主要研究对象的，函数性质是高等数学的主要研究内容，但函数的数量是无穷无尽的，不可能对所有具体的单个函数的性质进行一一研究，在教学过程中，从探索发现的角度出发，引导学员对所研究的函数进行正确的分类，然后针对不同的类型挖掘其中所蕴含的数学思维和科研方法，包括概念思维[2]、关系映射反演思维[3]，让学员在主动探索中发现知识的产生过程，领会其中蕴含的思维方法，初步体会数学家发现数学理论时所运用的科学研究的思想和科学研究的方法，增强学员的科研意识。

1 函数的分类

分类逻辑是逻辑学的重要一种，分类法是根据对象的共同点和差异点把复杂纷繁的研究对象区分开来的逻辑方法，它是在比较和分析的基础上进行的，划分是分类的基础，分类是划分的特殊形式，我们在这里采用特殊的划分法，即二分法对函数进行分类，将所有函数分为初等函数和非初等函数。根据定义，初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和函数复合运算所能构成的能用一个式子表示的函数[2]。而基本初等函数指的是幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数。如果把初等函数比喻为一座座千姿百态、形状各异的大厦，那么基本初等函数就是构成这座大厦的砖，而四则运算、函数的复合运算就是将这些砖联系在一起的水泥、大沙。因此要透彻的了解函数的性质，不仅要了解构成它的基本初等函数的性质，还要了解四则运算以及复合运算对相应性质的影响。

非初等函数的概念外延很广，一般来讲，只要不是初等函数，则一定是非初等函数。高等数学所研究的非初等函数包括分段函数、方程确定的隐函数的一部分，以及在理论研究过程中构造的一些函数，比如积分上限函数等等。对于这样的函数，因为没有其它的规律可以遵循，其性质的研究往往要用概念思维，即从性质所对应的概念本身出发来研究。

2 基于分类逻辑的函数性质研究

按照上面二分法的分类，我们以导数为例，针对初等函数和非初等函数分别讨论。

2.1 初等函数的可导性

要讨论初等函数的可导性[4]，首先讨论基本初等函数的可导性，根据思维活动和思维方法的属性再次进行分类。

2.1.1概念思维法

概念思维即利用导数的定义来讨论函数的可导性，其形式是增量比的极限。极限[4]是函数性质研究的基础，这是因为函数的其它性质，如连续性、可导性以及可积性最终都可以归结为函数极限性质的研究，因此深刻理解极限性质是熟练掌握其性质的基础和前提。

对于基本初等函数中的正弦函数、余弦函数以及指数函数都可以利用定义求其导函数，比如：

对于余弦函数的导数，同样可以利用导数的定义来求，概念法是一种非常重要的思维方法。

2.1.2四则运算思维法

三角函数作为重要的基本初等函数，除了正弦函数、余弦函数，还包括正切函数、余切函数、以及、，观察可知，这些函数都是正弦函数、余弦函数经过四则运算得到的，因此首先要考虑函数关于四则运算的可导性，即函数关于和、差、积、商的运算法则（教材[4]中关于可导的四则运算阐述的非常清楚，在此不再赘述），由此所有三角函数的可导性得以讨论清楚。

3 关系映射反演思维—— 反函数思维法

关系映射反演原则（Relationship—Mapping—Inverse）的基本思想是：当处理问题甲有困难时，可以联想适当的映射，把含问题的关系结构R通过一一对应关系映射成易于解决的含问题的关系结构；在新的关系结构中，对问题处理完毕后，再把所得到的结果通过逆映射反演到R，求得x，这是一种借助已知研究未知的重要思维方法。

基本初等函数中的反三角函数、对数函数分别是三角函数和指数函数的反函数。将反函数的导数与原来函数的导数联系起来的关键是讨论清楚反函数的求导法则，即，然后根据关系映射反演思维，借助已知的三角函数、指数函数的导数来研究未知的反三角函数、对数函数的导数，这是一种重要的科研思维。

比如要求的导数，利用反函数建立，而由概念思维法可知的导数，再利用反函数的求导法则可知，最后利用反演公式求出。对于其它反三角函数和对数函数的导数可以类似地进行讨论。

4 变更问题思维法和概念思维法

基本初等函数中还有重要的一类——幂函数，如何研究这类函数的求导问题呢？考虑将其变形为，即将幂函数看成是对数函数与指数函数的复合函数，因此研究的问题转化为复合函数的求导法则。如何求由，复合函数在点的导数（假定和在相应点的导数都存在），利用概念思维法，从导数的概念入手来求解。当给自变量x增量时，中间变量u的增量为，而因变量y产生增量，由以及极限与无穷小量的性质可知，其中是时的无穷小，则

即得复合函数求导的链式法则，利用这一求导法则可以求幂函数的导数。至此基本初等函数的导数全部研究清楚。

5 综合分析法

由于初等函数是是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和函数复合运算所能构成的能用一个式子表示的函数，因此在熟练掌握基本初等函数的求导方法和求导公式的基础上，只要再了解求导的四则运算和复合函数的求导法则，那么在理论上初等函数的求导就研究清楚了。

5.1 非初等函數的可导性

一般来讲，非初等函数的外延很广，只要不是初等函数的都归属于非初等函数，在这里我们重点探讨三种情况。

5.1.1 概念思维法—— 分段函数

虽然并不是所有的分段函数都是非初等函数，但分段函数仍是非初等函数中最重要的一类。对于分段函数，其中均为可导的初等函数。要考虑这一分段函数的导数，对于每一分段区间上函数的导数，由于所对应的函数均是初等函数，因此可以利用第一部分关于初等函数的求导公式和求导法则。而对于分段点处的导数，首先其导数是否存在并不确定，因此用概念法考察导数的存在性以及导数的计算。再考虑到在分段点两侧表达式不相同，因此用左右导数法[4]来计算，即；而

这样将分段函数在分段点的求导，转化为上述极限的存在性问题。注意，当分段函数在分段点左右两侧表达式相同时，上面两个极限式子是相同的，因此无需用左右导数，但仍要从倒数的定义出发求导。

5.1.2 复合函数求导法—— 方程确定的隐函数的导数

方程确定的隐函数、特别是参数方程确定的隐函数并非全部属于非初等函数，由于研究方法和它是否为初等函数没有关系，因此我们把它都归属于非初等函数讨论。对于一般方程确定的隐函数[4]，在求导时不必求出y的具体表达式，仅仅是把y看作是x的函数，然后对方程的两边同时关于x求导即可，其本质是复合函数的求导。而对于参数方程确定的函数，如何求导数呢？事实上，y可以看成是以t为中间变量，以x为自变量的复合函数，而t与x的函数关系是的反函数。在透彻分析参数方程所确定的隐函数的结构基础上可以发现其求导本质上是复合函数求导和反函数求导法则的综合应用。

5.1.3 概念思维法—— 构建性函数

所谓构建性函数就是理论研究过程中根据需要构造出来的新的函数。比如积分上限函数[4]，其中连续。对于这样一个函数，如何求导呢？这是一个新的函数，没有求导公式或求导法则可以利用，只能从概念出发，利用导数的定义计算积分上限函数的导数，即

再由积分中值定理及函数的连续性可得。对于函数，要求其导数，可将此函数视为，所构成的复合函数，利用复合函数的求导法则可知。

这样对于非初等函数中的几类重要函数，我们也利用不同的思维方法研究了其求导问题。

6 结语

采用分类逻辑思维方法对函数的可导性进行了研究，这种方法类似地可以用于研究函数的其它性质，如连续性、可微性以及可积性。正确的分类是进行科学研究的前提，在此基础上可以运用不同的思维和研究方法对不同情况进行探究。

参考文献

[1] 陈昌平.数学教育比较与研究[M].上海：华东师范大学出版社，2000.

[2] 波利亚G.数学与猜想[M].李心灿，王日爽，李志尧译.科学出版社，1985.

[3] 王宝鑫.思维于数学[M].湖北科学技术出版社，2013.

[4] 同济大学数学系.高等数学[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.