在解复数题中如何培养学生的求简意识

宋林锋

摘 要：复数运算是一种复杂运算，在复数的教学中，有意识地培养学生的求简意识是一个重要课题。本文从整体处理方法、数形结合方法等六个方面举例谈了如何在活解复数题中培养学生的求简意识。

关键词：复数 整体处理方法 数形结合方法 求简意识

中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（b）-0125-02

复数是在实数的基础上扩充而得到的。这一扩充过程体现了实际需求与数学内部的矛盾对数学发展的推动作用，同时也体现了人类思维的作用，从而使得数学更加光彩夺目，但复数的概念性强，性质独特，且与三角函数、几何、多项式等方面想联系，因此，在复数的教学中，要有意识地培养学生的求简意识。本文从以下五个方面谈了如何在活解复数题中培养求简意识。

（1）在活解复数题中运用整体处理的方法能使求解简单，从而培养学生的求解意识。以下四个例子用了四种方法介绍了整体处理的手段。

例1.已知、是两个复数，，，是正实数，求。

解：

又

则

此例从整体着眼，利用模与模及共轭复数的性质，直接从整体出发来计算，若从局部出发进行复数计算求模会造成很大的麻烦。

例2.已知，求

。

解：

而，

故

。

此例不是直接代入来计算，先整体化简，最后再代入计算，这样简化效果十分明显。

例3.已知复数满足≤2，求的辐角主值的取值范围。

解：设，则

因为≤2，则≤2

故在以为圆心，2为半径的圆上及内部。

当过原点的直线与圆相切时，由得

即

这就是所求的的辐角主值的取值范围。

此例更是整体处理的精彩应用，乍一看感到无从下手，但对所求作整体迁移，变换了视觉，使问题豁然开朗，从而使问题轻易获解。

（2）数形结合方法在简化复数计算中也有很大的优越性。

例4.已知复数满足，且

，求、。

解：

、、在复平面上的同一圆上

显然点在第一象限内（如图1所示）。

又因为对应向量为复数，对应向量所构成平行四边形的对角向量，所以只有

故得所求：

或

本例根据所给复数的具体条件，找出其几何特征，从而使所求问题变得简单明了。

（3）运用辐角的运算性质，使有关复数求解的问题变得更加直接。

例5.设复数的辐角主值是，的辐角主值是，求。

解：由辐角的性质，是的辐角，

又

所以

而

进而

故可得

（4）巧用复数共轭，易得结论。

例6.设是实系数一元二次方程的两个根，且知是虚数，是实数。求的值。

解：由实系数方程虚根共轭成对性质知，

又因为是实数

所以

进而

又故

（5）设而不求为计算构筑桥梁，从而使计算简单方便。

例7.设，，

求得值。

解：由，易得

设，

则有，

，

求得

故。

总之，在复数运算中，要多方面思考，做到不仅会算，更要少算，甚至会而不算，在整体思想、数形结合思想等的指导下，有意识地培养学生的求简意识。

参考文献

[1] 钟玉泉.复变函数伦[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[2] 邱金俤.复变函数教程[M].北京：中国铁道出版社，2008.

[3] 王萼芳，高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.endprint

摘 要：复数运算是一种复杂运算，在复数的教学中，有意识地培养学生的求简意识是一个重要课题。本文从整体处理方法、数形结合方法等六个方面举例谈了如何在活解复数题中培养学生的求简意识。

关键词：复数 整体处理方法 数形结合方法 求简意识

中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（b）-0125-02

复数是在实数的基础上扩充而得到的。这一扩充过程体现了实际需求与数学内部的矛盾对数学发展的推动作用，同时也体现了人类思维的作用，从而使得数学更加光彩夺目，但复数的概念性强，性质独特，且与三角函数、几何、多项式等方面想联系，因此，在复数的教学中，要有意识地培养学生的求简意识。本文从以下五个方面谈了如何在活解复数题中培养求简意识。

（1）在活解复数题中运用整体处理的方法能使求解简单，从而培养学生的求解意识。以下四个例子用了四种方法介绍了整体处理的手段。

例1.已知、是两个复数，，，是正实数，求。

解：

又

则

此例从整体着眼，利用模与模及共轭复数的性质，直接从整体出发来计算，若从局部出发进行复数计算求模会造成很大的麻烦。

例2.已知，求

。

解：

而，

故

。

此例不是直接代入来计算，先整体化简，最后再代入计算，这样简化效果十分明显。

例3.已知复数满足≤2，求的辐角主值的取值范围。

解：设，则

因为≤2，则≤2

故在以为圆心，2为半径的圆上及内部。

当过原点的直线与圆相切时，由得

即

这就是所求的的辐角主值的取值范围。

此例更是整体处理的精彩应用，乍一看感到无从下手，但对所求作整体迁移，变换了视觉，使问题豁然开朗，从而使问题轻易获解。

（2）数形结合方法在简化复数计算中也有很大的优越性。

例4.已知复数满足，且

，求、。

解：

、、在复平面上的同一圆上

显然点在第一象限内（如图1所示）。

又因为对应向量为复数，对应向量所构成平行四边形的对角向量，所以只有

故得所求：

或

本例根据所给复数的具体条件，找出其几何特征，从而使所求问题变得简单明了。

（3）运用辐角的运算性质，使有关复数求解的问题变得更加直接。

例5.设复数的辐角主值是，的辐角主值是，求。

解：由辐角的性质，是的辐角，

又

所以

而

进而

故可得

（4）巧用复数共轭，易得结论。

例6.设是实系数一元二次方程的两个根，且知是虚数，是实数。求的值。

解：由实系数方程虚根共轭成对性质知，

又因为是实数

所以

进而

又故

（5）设而不求为计算构筑桥梁，从而使计算简单方便。

例7.设，，

求得值。

解：由，易得

设，

则有，

，

求得

故。

总之，在复数运算中，要多方面思考，做到不仅会算，更要少算，甚至会而不算，在整体思想、数形结合思想等的指导下，有意识地培养学生的求简意识。

参考文献

[1] 钟玉泉.复变函数伦[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[2] 邱金俤.复变函数教程[M].北京：中国铁道出版社，2008.

[3] 王萼芳，高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.endprint

摘 要：复数运算是一种复杂运算，在复数的教学中，有意识地培养学生的求简意识是一个重要课题。本文从整体处理方法、数形结合方法等六个方面举例谈了如何在活解复数题中培养学生的求简意识。

关键词：复数 整体处理方法 数形结合方法 求简意识

中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（b）-0125-02

复数是在实数的基础上扩充而得到的。这一扩充过程体现了实际需求与数学内部的矛盾对数学发展的推动作用，同时也体现了人类思维的作用，从而使得数学更加光彩夺目，但复数的概念性强，性质独特，且与三角函数、几何、多项式等方面想联系，因此，在复数的教学中，要有意识地培养学生的求简意识。本文从以下五个方面谈了如何在活解复数题中培养求简意识。

（1）在活解复数题中运用整体处理的方法能使求解简单，从而培养学生的求解意识。以下四个例子用了四种方法介绍了整体处理的手段。

例1.已知、是两个复数，，，是正实数，求。

解：

又

则

此例从整体着眼，利用模与模及共轭复数的性质，直接从整体出发来计算，若从局部出发进行复数计算求模会造成很大的麻烦。

例2.已知，求

。

解：

而，

故

。

此例不是直接代入来计算，先整体化简，最后再代入计算，这样简化效果十分明显。

例3.已知复数满足≤2，求的辐角主值的取值范围。

解：设，则

因为≤2，则≤2

故在以为圆心，2为半径的圆上及内部。

当过原点的直线与圆相切时，由得

即

这就是所求的的辐角主值的取值范围。

此例更是整体处理的精彩应用，乍一看感到无从下手，但对所求作整体迁移，变换了视觉，使问题豁然开朗，从而使问题轻易获解。

（2）数形结合方法在简化复数计算中也有很大的优越性。

例4.已知复数满足，且

，求、。

解：

、、在复平面上的同一圆上

显然点在第一象限内（如图1所示）。

又因为对应向量为复数，对应向量所构成平行四边形的对角向量，所以只有

故得所求：

或

本例根据所给复数的具体条件，找出其几何特征，从而使所求问题变得简单明了。

（3）运用辐角的运算性质，使有关复数求解的问题变得更加直接。

例5.设复数的辐角主值是，的辐角主值是，求。

解：由辐角的性质，是的辐角，

又

所以

而

进而

故可得

（4）巧用复数共轭，易得结论。

例6.设是实系数一元二次方程的两个根，且知是虚数，是实数。求的值。

解：由实系数方程虚根共轭成对性质知，

又因为是实数

所以

进而

又故

（5）设而不求为计算构筑桥梁，从而使计算简单方便。

例7.设，，

求得值。

解：由，易得

设，

则有，

，

求得

故。

总之，在复数运算中，要多方面思考，做到不仅会算，更要少算，甚至会而不算，在整体思想、数形结合思想等的指导下，有意识地培养学生的求简意识。

参考文献

[1] 钟玉泉.复变函数伦[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[2] 邱金俤.复变函数教程[M].北京：中国铁道出版社，2008.

[3] 王萼芳，高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.endprint