有趣的斐波那契数列

华腾飞

这里有一个有趣的问题：有一对刚出生的兔子，兔子从出生后的第三个月起每个月都会生一对小兔子，当小兔子长到第三个月时，每个月又会生一对小兔子。如果这些兔子都活著的话，第十二个月时总共有多少对兔子？

上面这个问题乍一看比较简单，但要想列出算式进行计算，好像又很困难。我们根据题目所给的条件，一起来算算。

兔子总数由两部分组成：大兔子数和小兔子数。当月的大兔子数是上个月的兔子总数，因为不管是大兔子还是小兔子，到了下个月都会变成大兔子；而当月的小兔子数是上个月的大兔子数，因为上个月有多少对大兔子，下个月就有多少对小兔子。据此可知，上个月的大兔子数，总是上上月的兔子总数，所以当月的兔子数=上个月的兔子数+上个月的大兔子数，也就等于上个月的兔子数+上上月的兔子数。根据上述结论进行推算，不难得出：第一个月、第二个月、第三个月……第十二个月时分别有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144对兔子。

大家仔细观察，不难发现从第三个数起，每个数都是前两个数之和，把它延续下去就得到了一个数列。人们为了纪念斐波那契的伟大发现，把这个数列称为斐波那契数列。斐波那契数列之所以伟大，是因为其中蕴含着一些非常重要的规律。

其一，斐波那契数列中任取连续三项，它们是两个奇数和一个偶数。

其二，斐波那契数列前n项的和是第（ n + 2 ）个数减1。例如：在数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144中，前五项的和为12，它刚好等于第七个数13减去1。

其四，斐波那契数列中相邻两项（从第二项起）的差值仍然可以构成斐波那契数列。例如：2-1=1，3-2=1，5-3=2，8-5=3，13-8=5，21-13=8，34-21=13，55-34=21……这些差值构成的数列仍为斐波那契数列。

其五，斐波那契数列中相邻两项（从第二项起）的平方和也是斐波那契数列。

其六，斐波那契数列第n个数是几，它之后的第n个数是该数的倍数。例如：斐波那契数列第三个数是2，它之后的第三个数是2的倍数；斐波那契数列的第四个数是3，它之后的第四个数是3的倍数；斐波那契数列的第五个数是5，它之后的第五个数是5的倍数。

其七，斐波那契数列中每十个连续的数之和能被11整除，且是第七个数的倍数。例如：

1+1+ 2 + 3 +5 + 8 +13 + 21+ 34 +55 = 143=11×13；

1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89=231=11×21；

2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 + 144 =374 =11×34；

3 + 5 + 8 +13 + 21+ 34 + 55 + 89 +144 + 233=605=11×55；

……

斐波那契数列中竟然包含了这么多神奇、有趣的规律，你们肯定感到不可思议吧！