实数序列的上巴拿赫统计收敛

陈 瑶

（广州大学数学与信息科学学院,广东广州510000）

1951年,Fast[1]引进了统计收敛的定义,称实数序列{ xn}n≥1统计收敛于实数ξ,如果对任意ε ＞0,集合的渐近密度为0,即

20 世纪90 年代以来,统计收敛已经成为人们研究的热点,它出现在许多领域,如傅里叶分析[2],三角级数[3],数论[4]和模糊数学[5]等.近年,针对序列的统计收敛性也提出了一些新的概念,如Baliarsingh[6]在2018年利用差分算子研究了统计收敛的一些新结果, 提出了分数阶差分序列的统计收敛性概念; Çinar[7]在2019年研究了双序列的统计收敛性与双塞萨罗可和性在乘积时间尺度上的关系,提出了双序列在任意乘积时间尺度上的统计收敛性的概念.巴拿赫密度是与渐近密度密切相关的重要概念,设集合

存在,则称它为集合A的上巴拿赫密度.引进上巴拿赫统计收敛的概念,研究它与统计收敛的区别以及给出上巴拿赫统计收敛的一个必要条件.

定义1 称实数序列{xn}n≥1上巴拿赫统计收敛于实数ξ,若对任意ε ＞0,集合

的上巴拿赫密度为0,即

容易验证上巴拿赫统计极限ξ是唯一存在的.由定义1,我们可以验证实数序列{xn}n≥1的上巴拿赫统计收敛性也满足线性性,即若是一个实数,则.

要证明例1,我们需要引理1.

引理1[8]当且仅当存在自然数集的一个严格单调递增的子列,使得

E中点的分布如图1所示,对任意n ∈ℕ,存在N ∈ℕ使得

N3+ N ＜n ≤(N + 1)3+(N + 1),

图1 集合E的构造Fig.1 The construction of E

再由集合E的构造可知

即

注意到当n →∞时,N →∞.因此有

即D(E )= 0,故D(ℕE )= 1,由引理1可得.

以下给出上巴拿赫密度统计收敛的一个必要条件.

定理1 实数序列{xn}n≥1上巴拿赫统计收敛于实数ξ,则存在自然数集的一个严格单调递增的子列

由于s的取值会随着n的变化而变化,所以根据（2）式,存在一组正整数序列满足

根据（3）式,存在n1∈ℕ使得满足

由（1）式可知,存在正整数n2≥n1满足使得

通过归纳构造一个单调递增的正整数序列{nj}j≥1,当nj+1≥nj≥nj-1时满足和,使得

利用以上关系,我们定义子列

K的结构如图2所示

图2 集合K的结构Fig.2 The construction of K

根据（4）式,取任意nj∈ℕ,当nj+1≥nj≥nj-1时使得满足