区间直觉模糊粒结构的距离度量

龚匡丰,周小方

(1.闽南师范大学计算机学院,福建漳州363000;2.闽南师范大学物理与信息工程学院,福建漳州363000)

20 世纪90 年代,Zadeh[1]提出粒计算概念，该理论在图像处理、属性约简、数据挖掘、决策分析等领域都有着重要的应用[2-6].粒计算的两个基本问题是粒化以及基于粒化的计算，复杂问题经过粒划分后可转化为若干个相对简单的问题[7].

粗糙集理论是研究不确定性的一种重要工具，也是粒计算的主要模型之一[8-9].目前，该理论在知识发现等领域取得了长足的发展.在粗糙集环境下，数据集可以根据给定的等价关系划分成不同的类，也称作粒计算中的粒结构，等价类是具有相同属性值的集合，一个等价类可以称为一个等价信息粒[10].信息粒度越小，意味着其分辨能力越强[11].

至今，中外许多学者在粒计算领域做了大量工作.Lin[12]对粒结构等相关问题进行了论述.文献[13]提出了粗糙上、下近似距离的概念，并研究了它们与粗糙近似集之间的关系.Tan 等[14]定义了基于直觉模糊关系的模糊信息粒度，并刻画了直觉模糊粗糙集上下近似的层次结构，提出了显著性测度以此来评价直觉模糊关系的逼近质量和分类能力.Qian等[15-16]提出了模糊信息粒的公理化方法，并且对模糊信息粒度的相关性质做了研究，之后又提出了模糊粒结构距离，并用此来度量模糊粒结构的差异.为了能更好地刻画现实世界中“非此非彼”的现象，Atanassov[17]推广了Zadeh的模糊集，提出了直觉模糊集，对隶属度、非隶属度、犹豫度等方面进行全面考虑，该理论在处理不确定性等问题上显得更加灵活实用.由于在某些情况下，直觉模糊集中的隶属度等量用区间数来表达会更加具有现实意义，Atanassov 和Gargov[18]拓展了直觉模糊集，提出了区间直觉模糊集，进一步丰富了处理不确定问题的理论基础.

文献[19]在区间直觉模糊环境中对直觉模糊信息粒和直觉模糊粒结构进行了推广和讨论，提出了区间直觉模糊信息系统的一种度量方法：区间直觉模糊信息粒度.然而，它在测量粒结构的不确定性方面存在一定的局限性.基于此，在Qian 等[16]的基础上，推广了模糊粒结构距离的概念，给出了区间直觉模糊粒结构距离的度量方法.首先，定义了区间直觉模糊粒结构距离的概念；其次，研究了一些相关的性质定理；最后，通过例子来验证该定义的有效性.

1 基本概念

定义1[19]设IVIF(U )为U上所有区间直觉模糊粒结构的集合是两个区间

直觉模糊粒结构，粒结构算子⋃,⋂定义为：

在描述区间直觉模糊粒结构的粗细中，偏序关系起着重要的作用.下面回顾区间直觉模糊粒结构的偏序关系.

定义2[19]设

2 关于区间直觉模糊信息粒度的局限性分析

定义3[19]设则的区间直觉模糊信息粒度为

在度量区间直觉模糊粒结构不确定性方面，区间直觉模糊信息粒度发挥着重要作用.对于一个粒结构而言，可以用信息粒度来衡量其区分能力，一般来说，一个粒结构的信息粒度越小，它的区分能力就越强[11].

由定义3可知：

容易看出例1 中的两个区间直觉模糊粒结构是不一样，但从上面的计算结果得到的区间直觉模糊信息粒度是一样的，这意味着区间直觉模糊信息粒度并不能区分这两个区间直觉模糊粒结构.本文对此度量方法做了改进，给出下面的区间直觉模糊粒结构距离的概念.

3 区间直觉模糊粒结构距离

首先，介绍一些相关概念.

定义4给出的区间直觉模糊粒结构距离用于同一论域中两个区间直觉模糊粒结构的差异性的度量.

下面，给出一些基于区间直觉模糊粒结构距离的定理.

定理1 设IVIF(U )是论域U 上所有区间直觉模糊粒结构的集合与是IVIF(U)的两个区间直觉模粒结构. 若则取得最小值为0；若且则取得最大值为1.显然下面验证区间直觉模糊粒结构距离的有效性.

例2 续例1利用定义4，计算得

由例1 可知用区间直觉模糊信息粒度来度量这两个区间直觉模糊粒结构结果是相等的，但是由例2区间直觉模糊粒结构距离可说明这两个区间直觉模糊粒结构并不相同.因此，在刻画区间直觉模糊粒结构上区间直觉模糊粒结构距离显得更加合理和有效.

由定义2可知区间直觉模糊信息粒的包含关系在区间直觉模糊粒结构关系中起基础作用.现在通过偏序关系来分析区间直觉模糊粒结构距离的相关性质.

通过上面的分析和讨论，引入推论1-2.

推论1 设IVIF(U )是论域U 上所有的区间直觉模糊粒结构的集合是两个区间直觉模糊粒结构，若则有

推论2 设IVIF(U )是论域U 上所有的区间直觉模糊粒结构的集合是两个区间直觉模糊粒结构，若则有

证明 推论1-2可由定义2和定义4证得.

利用区间直觉模糊集的取小取大运算和差异度量公式，引入引理2.

基于引理2，引入定理3.

定理3 设U为论域，IVIF(U )是U中所有的区间直觉模糊粒结构的集合，则(IVIF(U ),D )是一个距离空间.

3）为了证明三角不等式，给定如下3 个区间直觉模糊粒结构不失一般性，需要证明

式（8）由引理2易得.同理，式（9）-（10）也成立：

综上，(IVIF(U ),D )是一个距离空间.

由定理3 的证明，可知所提出的区间直觉模糊粒结构距离的概念是合理的.在特征选择中对于启发式函数的构造以及两个变量之间的关联分析等过程中，区间直觉模糊粒结构距离可以发挥其潜在作用.如果给定的两个区间直觉模糊粒结构不一样，就可通过区间直觉模糊粒结构距离来区分彼此.因此，将区间直觉模糊粒结构距离的思想用于解决决策分析、分类等问题也是一个值得探究的课题.

4 结语

本文首先分析了区间直觉模糊信息粒度的局限性，在此基础上推广了模糊粒结构距离，提出了区间直觉模糊粒结构距离的概念，并证明了相关的定理和性质.然后用例子验证了所提出的观点的可行性，最后就区间直觉模糊粒结构距离的一些潜在应用做了探讨.