矿山地面GPS高程测量拟合方法研究

王建功

（晋能集团大同有限公司，山西大同，037001）

目前，全球定位系统（GPS）在测量领域中有了很成熟的应用，它可以直接精确地测定地面点的三维大地坐标，使得传统大地测量方法发生根本性的变革。但由GPS得到的高程数据大地高不是我们通常所使用的正常高或海拔高，所以在这些应用中仅解决了平面坐标，在高程方面由于GPS和我国通用的高程基准不同而被舍弃，高程方面仍然多采用常规的几何水准测量方法来测定。GPS测量得到的高程是大地高，属于GPS无约束平差的副产品，而我国用的是正常高系统，因此如何有效地把大地高转换成正常高，是一个非常实际而又有意义的课题。

本文通过阐述GPS拟合常用的方法及其原理、使用MATLAB[1]对实测GPS数据和四等水准测量数据采用不同方法的拟合及精度分析比较，实现了GPS大地高到正常高的转换。

1 GPS高程拟合原理及方法

GPS系统测量所得到的是以WGS-84椭球面为基准的大地高高程系统，而常规水准测量所得到的是以似大地水准面为基准的正常高高程系统。高程拟合即将两种高程系统中的共同点进行转换，得到目标高程系统的高程并加以应用[2]。

GPS高程拟合使用的方法一般为GPS水准法，即将一部分GPS控制点布设到已知正常高的高程控制点上，采用水准联测的方法，使部分GPS控制点具有水准高程，求得这些水准重合点的高程异常，之后利用数学建模的方法对这些点的平面坐标及高程异常[5]拟合出所选测区的高程异常ξ与点的平面位置（X,Y）的一个函数关系ξ=ƒ（X,Y）,从而得到测区的一个近似似大地水准面模型，用来解算其他点的高程异常值。然后利用公式Hr=H–ξ就可以求出未知点的正常高[4]。

主要的GPS高程拟合法包括：绘等值线法、解析内插法、曲面拟合法、加权平均值法、基于多项式曲面拟合的加权平均模型、多面函数法与移动曲面法的加权综合模型等。

2 拟合精度分析

为了能对GPS高程拟合的质量有一个客观的评定，在布设几何水准联测点时，应当适当的多联测一些点，其点位也应均匀地布设全网，作为外部检核点使用来进行检测。

2.1 内外符合精度

根据参与拟合计算已知点的高程异常ξ与拟合高程异常ξ′,求出拟合残差V=ξ′-ξ,然后按下式可计算出GPS高程拟合计算的内外符合精度(设参与拟合的已知点共有n个):

内符合精度由于当所选择的点正好位于所选择模型附近时会得到非常高的内符合精度，但是这并不意味着这些点具有好的拟合精度，故非常不可靠。而外符合精度可以比较客观的反映出未知点的高程拟合精度，所以在实际应用中将外符合精度作为真正的评价标准，用来大致代替整个GPS测区的精度。

由于内外符合精度都是从点的统计角度出发的，所以这是一种相对的精度评价指标，如果如果选择的参考基准不同则会有不同的评价结果，在实际中还要考虑到GPS水准的闭合差，作为另一项精度评价指标。

2.2 闭合差

用GPS水准法求得的GPS控制点之间的正常高的高程差在已知点间组成符合或者闭合导线，并计算它们之间的的闭合差，计算得到的闭合差与表中的限差做比较，来评定GPS水准测量可以达到的精度。测量规范中对水准闭合差做了如表1的规定：

本研究中的水准路线长度为L=4994.7784m，四等水准测量限差为18mm，普通水准测量限差为27mm。

表1 各等级几何水准测量限差

3 GPS高程拟合外业数据采集、拟合及精度分析

高程拟合试验需要高精度的大地高和正常高数据，所以需要进行相关的外业数据采集工作。采集作业主要为E级的GPS控制网和四等水准控制测量，数据采集场地选择了地形起伏比较好的同煤集团忻州窑矿附近的丘陵地区，经过实地踏勘，选择了分布均匀的16个点作为高程重合待测点，另加2个GPS已知点和一个高程已知点进行布网联测。

3.1 GPS控制网

根据需要，本试验采用了E级GPS控制网，采用了三台南方静态9600型号的单频GPS接收机，按照点连式测量方案逐点施测，具体操作均参考《GPS工程测量规范》执行，由于测区面积相对较小，点之间的距离比较近，为了提高GPS高程测量的精度，需要注意以下内容：（1）测量时候采用隔点测量的方法进行，尽可能使得测点之间的距离符合测量规范中点之间的距离不小于200m的规定。（2）GPS网应通过独立观测边，构成闭合图形。（3）选点应该视野开阔，便于观测和联测。（4）同步观测时间和精度有关系，应该尽量长一点，夜晚可以时间短一点，电离层影响较小。

根据测得的合格的测量数据，使用南方GPS解算软件对数据进行解算和平差处理，得到了水准重合点的点位图及精确大地高，各点的点位图如图1。

3.2 四等水准测量

根据《工程测量规范》，此次水准测量选用的仪器为DS3微倾式水准仪，红黑双面尺一对；施测时将16个待测点与已知点组成闭合水准路线进行导线测量。

图1 GPS水准重合点点位

3.3 水准重合点高程异常

水准测量和GPS测量都结束并解算分别合格以后，根据公式ξ=H-Hr可以得到GPS水准重合点的高程异常，具体数据如表2所示。

表2 水准重合点高程异常

3.4 拟合方案选择

根据各种拟合方案的原理，我们可知绘等值线法和解析内插法相对精度较低，而曲面拟合法对于趋势性变化的拟合效果比较好，所以拟合精度较高，同时结合我们所选的实地环境，本研究选择了曲面拟合方法中的二次曲面拟合模型、多面函数拟合模型、加权平均值拟合模型等方法进行研究。

根据方案的需要和GPS水准重合点的分布，不同的方案需要选择不同的GPS水准点来进行相关的拟合计算，在选择点位时由于点数不多，故只用传统的人工经验选点法进行拟合计算的选择。通过分析发现其中的13号点和4号点距离该区域中心较远，与其他点的相关程度较低，故将这两个点剔除，以取得较好的拟合效果，其余14个点均参与拟合计算。

3.4.1 二次曲面拟合模型[6]

方案中，选择1、2、3、5、8、9、14、11号点共8个作为已知点进行拟合，其余的6、7、10、15、12、16号点共6个作为检核点对拟合结果进行检核。

计算时先用已知点求解出二次曲面拟合系数，之后用求解出的拟合系数结合检核点组成拟合方程并解算检核点的高程异常，把解出来的高程异常和检核点实测高程异常进行对比，可以得到该方法的拟合精度。

用MATLAB语言对该方法进行编程拟合，并且计算其拟合精度即拟合残差，如表3：

表3 二次曲面各点残差统计

经计算，二次曲面函数法的拟合高差闭合差为25 mm，符合普通水准测量的精度。

3.4.2 多面函数拟合模型[7]

使用多面函数拟合模型进行高程拟合时，首先要解决的是核函数、光滑因子和函数节点的选择。本文选择了三种方法分别作为多面函数的核函数，第一种为正双模函数，第二种为锥面函数，第三种为三次曲面函数。正双曲面的光滑因子可以选择不同的值，其范围为[0,6000];锥面函数中的常数C根据多次试验，发现当C=60000时可以取得相对较高的拟合精度，故C值取C=60000；三次曲面函数中的常数C根据试验当C=2×107时相对拟合精度最高，故令C=2×107；选点时采用人工选点法，本文选择其中的8个点作为结点来进行拟合。其余的6个点作为检核条件进行检核。

用MATLAB语言对该方法进行编程拟合，并且计算其拟合精度即拟合残差，见表4。通过对该表的分析发现多面函数法中的锥面函数模型较其它两者有较高的拟合精度。

表4 多面函数法拟合残差统计

经过计算和统计，三种方法的高差拟合差分别为：31 mm、22 mm和23 mm，除了正双曲面不符合外，其余的都符合普通水准测量限差。

3.4.3 加权平均值拟合模型

加权平均拟合模型的关键是已知点的选取。本研究中选择的权函数为:

其中α可以选择不同的值1，2，3。式中r为待定点到已知点的水平距离，即为计算点的平面坐标，（xi,yi）为各水准重合点的平面坐标；ε为一个小的正数，用来防止权函数的分母为0，ε通常取0.01。

根据上述权函数可以求得待定点的高程异常。加权平均值法内符合精度为零，只有拟合残差，所以只能根据其拟合残差来评价其拟合精度。

用MATLAB语言对该方法进行编程拟合，并且计算其拟合精度即拟合残差，见表5。

经过计算，当k=1时，拟合的高程闭合差为27 mm，符合普通水准测量规范。

表5 加权平均值法拟合精度

4 结论

根据拟合数据，在相近的已知条件下，多面函数模型的拟合精度要略高，适合在起伏较大的山区和丘陵地区，但要选择适合的核函数。3种模型中，多面函数法中的锥面函数法拟合精度最高。在本研究中，通过比较发现拟合度一般平原地区较好，山区稍欠，经大量试验表明，GPS高程拟合完全可以达到等外水准的精度。如果布网合理，联测点足够，可达到IV等水准的要求。

根据该实验，为了利用GPS方便的测量出矿山地面沉陷及位移数据，可先在矿区布设一简单的GPS高程-水准高程拟合网，经GPS和水准测量实测拟合后，得到拟合转换数据，利用多面函数法中的锥面函数法即可进行两种高程数据的转换，实现快捷方便的获取矿山地面沉陷及位移数据。