数学建模视角下人教版教材变化分析

杨海

摘要：数学建模是高中数学教育六个核心素养之一，有着重要的教育价值。教材作为师生学习的主要材料是如何体现数学建模内容的，值得深入研究。本文从数学建模的视角下对人教版新、旧教材从版块设置、课题引入、题目背景、语言表述四个方面进行分析，以期提高一线教师对新教材数学建模内容的理解。

关键词：数学建模;数学教材;变化分析

数学建模是运用数学思想方法和数学知识解决实际问题的过程，是联系数学和现实世界的桥梁。[1]通过数学建模的学习，学生能感悟数学与现实的联系，积累数学实践经验，认识数学模型的作用，增强创新意识和科学精神。[2]因此，加强数学建模内容的教学，是数学课程改革发展的一个内容。

在《普通高中数学课程标准（实验）》（简称旧课标）中，要求高中数学课程要把数学探究、数学建模的思想以不同的形式渗透在各模块和专题内容之中，且高中阶段至少应为学生安排1次数学建模活动，但并没有对具体课时和内容做安排。[3]但在《普通高中数学课程标准（2017年版）》（简称新课标）中，将数学建模与数学探究活动作为必修五个主题内容之一，指出数学建模活动与数学探究活动以课题研究的形式开展，在必修课程中要求学生完成其中的一个课题研究，并用案例15和案例19，详细介绍了课题研究的过程。另外，新课标还对数学建模活动的评价提出了建议，要求研究报告或小论文应存入学生个人学习档案，为大学招生提供参考和依据。[2]

从新课标的改变能看出对数学建模活动的重视，因此依据新课标编写，由人民教育出版社于2019年出版的普通高中教科书A版（简称新教材），相对于依据旧课标编写的普通高中课程标准实验教科书A版（简称旧教材）在数学建模视角下也存在如下的变化。

1.增设数学建模版块，体现完整建模过程

依据旧课标，旧教材是将数学建模以不同的形式穿插、渗透在各内容之中，没有独立的数学建模内容。而新教材在必修第一册中162-166页，增加了“建立函数模型解决实际问题”版块，以泡茶时间与饮用口感问题为研究对象，从实例分析、建模过程、建模選题、建模要求、研究报告的形式等角度对数学建模活动进行了说明，以实例的形式体现了提出问题、收集数据、分析数据、建立模型、检验模型和求解问题的建模完整过程，为师生提供了一个模板，有利于师生学习、参考，并自主选题开展数学建模活动。

2.注重引入问题内容，彰显建模应用价值

相比旧教材，新教材更加注重对课题引入问题背景的挖掘，使用了更多具有实际背景的问题引入教学内容。例如，在函数 内容的教学中，新教材以我国古代水利灌溉工具筒车为引入，要求学生用合适的函数模型刻画盛水桶距离水面的相对高度与时间的关系。再例如，在简单随机抽样内容的教学中，旧教材中设立了食品厂工作人员检验饼干卫生的探究问题，但是并没有具体的数据和解决过程;而新教材中以家具厂为高一学生制作课桌椅为研究问题，具体讲解了抽签法和随机数法，并展现了信息技术生成随机数的操作。通过这些问题的解决来引入教学内容，一方面让学生体会将实际问题抽象成数学模型的过程，另一方面突出了数学建模的价值，培养了学生的应用意识。除此之外，新教材还对旧教材中原有引入问题进行了更新。例如，在函数的概念内容教学中，旧教材原有的3个引入问题为炮弹高度、臭氧层空洞和恩格尔系数问题，而新教材保留了恩格尔系数问题，并增加了“复兴号”、工人工资、空气质量等问题作为课题引入，使得问题更紧跟时代，更贴近学生生活，更能让学生体会数学的应用价值，同时也为数学教师在课堂中的德育渗透提供了良好素材。

3.增加题目应用背景，逐步积累建模经验

相对于旧教材，新教材中练习题目数量有所增加，同时更注重题目的实际背景。以对数函数内容的教学为例，旧教材必修1第二章基本初等函数I中，将对数函数的教学内容分为“对数与对数运算”和“对数函数及其性质”两部分，共有例题9道和习题17道，其中有3道例题和3道习题含有实际应用背景，其内容涉及地震震级的计算、利用碳14推算古墓年代、溶液酸碱度测量、鲑鱼耗氧量和声强级计算等问题。新教材必修第一册第四章指数函数与对数函数中，将对数函数的教学内容分为“对数”和“对数函数”两个小节，共有例题9道和习题23道，其中有3道例题和6道习题含有实际应用背景，内容除了旧教材中所涉及的地震能量计算、溶液酸碱度测量、鲑鱼耗氧量和声强级计算等问题，还在习题部分增设了“综合运用”和“拓广探索”版块，增加了网络比较流行的每天“进步”1%与“落后”1%的问题和社会较为关注的酒驾、房价问题，以及大学数学建模课程中常见的血液中药物含量问题。新教材通过对例习题应用背景的精心设置，让学生学会用数学的眼光看时间，逐步提高学生应用数学建模解决实际问题的能力，并在问题解决的过程中，积累数学建模的活动经验。

4.表述强调数学模型，渗透模型观点意识

对比新旧教材能够发现，新教材中有一些语言的表述对数学模型更为强调。例如，在函数的概念内容引入部分，旧教材的表述是：“在初中我们已经学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系。”而新教材的表述是：“在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。”两句话虽然意思上差别不大，但是相比旧教材，新教材更为强调函数模型的观点。再比如，正弦函数、余弦函数的性质教学中，新教材有提到“三角函数是刻画‘周而复始’现象的数学模型”。可以看出在语言的表述上，新教材“数学建模”一次出现的次数会更多，其实也会在潜移默化之中增强学生的模型意识，让学生从模型的观点去理解知识。

综上可以看出，在新课标的指导下，新教材在数学建模内容方面有所增加，更注意展现数学建模过程的完整性，同时更注重对学生数学建模意识的渗透和数学实践经验的积累。因此教师在教学过程中要结合课标，细致分析教材，理解教材编写意图的基础上灵活使用教材，充分收集和利用已有材料，指导学生开展数学建模活动，并在其他知识的学习过程中逐步积累将现实问题抽象成数学模型，从而解决问题的能力，增强学生的应用意识和创新意识。

参考文献

[1]何小亚.中学数学教学设计（第二版）[M].北京：科学出版社，2012：180.

[2]中华人们共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：5-6.

[3]中华人们共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003：8.