用正交变换化实对称矩阵为对角阵的简便方法

史亚丹

湖南信息学院 通识教育学院 湖南 长沙 410100

1 引言

矩阵的对角化是线性代数的一个重要研究内容,其中实对称矩阵的正交对角化将二次型化为标准形更是将线性代数和解析几何紧密结合在一起。任意实对称矩阵都可以通过正交变换相似对角化,当实对称矩阵的特征值是重根时,常见的方法是用Schmidt正交法将重根对应的特征向量正交化,再进行单位化[1]。但是Schmidt正交化的公式较为繁多且计算复杂,导致许多学生在解题过程中容易忘记公式或计算错误。很多数学研究工作者对此做了大量研究,提出了不同的求解方法[2-8]。这些方法中包含了线性方程组法、矩阵变换法、向量空间法等,理解略有些复杂。

本文通过正交向量组中向量的两两正交性,以及自由未知量的不同选择,研究了n阶实对称矩阵A=（aij）n×n（aij=aji）有n-1重根特征值时的正交对角化问题,给出了快速求解正交矩阵的简便方法,然后用例题进行详细说明。

2 直接正交对角化的简便方法

设λi为n阶实对称矩阵A的n-1重根特征值,对应可以得到一组n-1个线性无关的特征向量,进而正交对角化。

现将（λiE-A）x=0的系数矩阵化为行最简型为

（其中a12,a13,…,a1n不全为零）。则（λiE-A）x=0的一个同解方程组为

以此类推,可获得属于特征值λi的一组正交的特征向量。与常规方法比较,上述方法更直观简便,且避开了Schmidt正交化法,减少了计算量。

3 直接正交对角化方法的举例

3.1 三阶实对称矩阵的正交对角化

若三阶实对称矩阵具有重根的特征值,则重根最多为二重根。

ξ1,ξ2,ξ3两两正交,单位化得

3.2 四阶实对称矩阵的正交对角化

若四阶实对称矩阵具有重根的特征值,则重根最多为三重根。

当λ=6时,由（6E-A）x=0得到特征向量ξ4=（-1 1-1 1）T.

ξ1,ξ2,ξ3,ξ4两两正交,单位化后得到正交矩阵

3.3 五阶实对称矩阵的正交对角化

若五阶实对称矩阵具有重根的特征值,则重根最多为四重根。

λ1=λ2=λ3=λ4=1,λ5=-4

当λ=1时,

对应的同解方程组为x1+x2+x3+x4+x5=0.取后4个未知数为自由未知量,得到属于λ=1的第一个特征向量为ξ1=（-1 1 0 0 0）T;令前4个未知数为自由未知量,得到属于λ=1且与ξ1正交的第二个特征向量为ξ2=（0 0 0 1-1）T;观察可知与ξ1和ξ2都正交的特征向量可设定为 （a a b c c）T,代入同解方程组中可得b=-2a-2c,可取第三个正交特征向量为ξ3=（1 1-4 1 1）T;第四个正交特征向量依然可设为 （a a b c c）T,且与ξ3也正交,又可得2b=a+c,综合可得到ξ4=（1 1 0-1-1）T.

当λ=-4时,由 （-4E-A）x=0得到特征向量ξ5=（1 1 1 1 1）T.ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5两两正交,单位化得到

得到正交矩阵P=（p1,p2,p3,p4,p5）,使得PTAP=diag（1,1,1,1,-4）.

4 结语

Schmidt正交化法的公式和计算都较为繁杂,较难被学生掌握。而现有的文献中给出的方法中,或涉及解方程组,计算量较大;或需要学生去掌握向量空间的相关知识点,理解困难。本文中提供的方法较为直观简便,将线性方程组的求解与特征向量的正交化合二为一,既简化了计算又容易理解,因此更容易被学生掌握。