随机和认知不确定性下的结构可靠性分析综述

海军装备部驻广州地区军事代表局驻昆明地区第二军事代表室 云南 昆明 650032

1 引言

结构可靠性是指结构在规定条件下和规定时间内完成规定功能的能力。在实际应用中，为了对结构可靠性进行定量的分析，引入了结构可靠度的概念：结构可靠度是指结构在规定条件下和规定时间内，完成规定功能(结构不破坏)的概率[1]。

目前根据不确定性的不同，人们将不确定性分为随机不确定性和认知不确定性，并相应的研究处理各类不同不确定性的理论和方法，其中具有代表性的包括概率模型、可能性模型和区间模型等[2]。概率模型是人们研究最广泛的一种模型，他能有效的处理只包含随机不确定性的情况，但是在处理认知不确定性时，其结果不尽人意。可能性模型是一种和概率模型平行的处理包含不确定性的模型。在结构可靠性设计领域，最初引入可能可靠性理论就是为了处理包含认知不确定性的情况，在处理包含认知不确定性的可靠性问题时已经表现出不俗的能力。然而，在设计机械产品时，遇到的更多情况是同时包含了随机和认知不确定性的情况。而关于混合不确定性的可靠性问题，目前还没有一套统一的、公认的、有效的方法体系[3]。在可靠性模型建模的过程中，我们首先要完成的任务就是需要获得机械产品的某些性能响应的数学表达式。对于某些复杂的机械系统来说，来得到这些响应表达式是非常困难的，或者说是不可能完成的。近年来在计算机技术和数值分析方法的支持下发展而来的有限元方法为解决这些复杂的工程问题提供了有效的解决方法。所谓的有限元法将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。目前常见通用有限元软件包括LUSAS、MSC.Nastran、ANSYS、Abaqus、LMS-Samtech、Algor、Femap/NX Nastran、Hypermesh、COMSOL Multiphysics、FEPG等等。这些软件各有特色，ANSYS软件具有建模简单、快捷、方便的特点，因而成为大型通用有限元程序的代表[4]。

结构可靠性理论与方法作为保障系统结构可靠性的强力工具，受到工业界及学术界的广泛关注，是可靠性领域研究的前沿课题。由于结构可靠性理论与方法能有效的处理结构各阶段所存在的不确定性，并且揭示了不确定性对结构可靠性的影响的实质，因此结构可靠性是结构作用及其效应与结构抗力的纽带，是反应结构安全性和耐久性的一个综合性指标[5]。

随着机械系统的精密、高速、重载和轻型的发展趋势，机械产品的可靠性要求日益提高。对于只包含随机不确定性的情况，基于概率的可靠性分析方法已日趋成熟；对于包含由知识不足、信息模糊、数据不完备等原因造成的认知不确定性的情况，基于可能性的可靠性分析已表现出一定优势。

高可靠性产品才能满足现代技术和生产的需要，可获得高的经济效益，有高的竞争能力，利于企业的生存与发展。

2 结构可靠性国内外研究现状

2.1 基于概率统计的结构可靠性理论 在20世纪中叶，概率的设计方法被引入到工程设计当中，从而为结构可靠性理论奠定了理论基础。可靠性设计方法是将概率设计理论与传统的机械设计理论相结合的新方法，这里把不确定性现象看作随机现象，用概率分布来量化不确定性，并通过数值计算的方法来量化的评价机械零件或系统不发生失效的概率(即可靠度)，这种设计方法不仅能解决传统方法无法解决问题，而且能够有效的提升产品的机械性能。经过半个世纪的发展，基于概率的可靠性设计方法日趋成熟，无论是理论研究还是工程应用与之相关的成果层出不穷[6]。概率可靠性模型是研究最早的一种可靠性分析模型，经过几十年的发展，目前已经形成了许多经典的分析方法。概括起来，概率可靠性分析方法可大致分为近似解析法、数值模拟法、函数替代法三个大类。在解析法的方面，首先有人提出了结构安全度的概念，从而奠定了结构可靠度的理论基础。在此之后一次二阶矩法的出现则进一步推动了结构可靠度的理论发展。随后可靠性指标的概念推导出了当系统的随机变量全为正态分布时候的可靠性指标表达式。在此之后给出了MPP点的定义和模型，有效的解决了由于展开不同而导致可靠性指标出现不一致的问题，为了解决只适用于正态分布的情况随后提出了著名的R-F算法。目前一次二阶矩和二次二阶矩方法由于能比较好的平衡精度和效率之间的关系，被广泛的应用在了可靠性的优化设计中。除此之外，有人提出了直接利用功能函数在特征点处的函数值来近似计算功能函数的低阶矩，然后由功能函数的各阶矩来近似计算结构失效概率的两点估计法。在此基础上采用三点离散分布统计矩来描述连续分布的统计矩，推到了考虑输入随机变量前四阶矩的三点估计法。在数值方面，蒙特卡洛方法运用较为普遍[7]。在理论上来说，不论任何的结构可靠性问题，蒙特卡洛方法都可以迎刃而解，但是该方法的效率较低，计算占用的资源比较高。特别对于一些复杂结构，这种不足就变得无法接受了，为了提高其运行效率，随后提出了一些改进性的方法，用于代替蒙特卡洛方法，例如重要性采样、方向模拟法、分层抽样法和描述性抽样法等。函数代替法方面，目前对于多变量复杂结构的可靠性分析，由于变量与结构功能函数之间没有明确的数学表达式，一般都需要通过仿真分析来获得设计变量与结构性能之间的响应。再将不确定性因素考虑在内，采用数值模拟的方法求解结构的失效概率，这无疑会使得整个分析过程的计算量变得异常庞大。在过去的二十多年中，代理模型已经被广泛应用于工程设计的各个领域，在工程设计优化中扮演了越来越重要的角色。结构可靠性的基本理论和方法逐渐趋于完善，但可靠性相关计算方法在实际工程中遇到了许多问题，如非正态随机变量处理不准确，相关可靠性分析方法计算量偏大，计算精度不高等若干问题，马超结合近年来最新的数学理论方法，如模拟退火全局优化算法，统计学习理论，马尔可夫链模拟，凸集模型等，发展了一系列计算效率高，计算精度好的适于工程运用的可靠性分析方法[8]。

2.2 基于非概率统计的结构可靠性理论 随着不确定性现象的深入研究，人们逐渐发现基于概率的可靠性分析存在着一些局限性，在完整概率的可靠性分析要满足以下条件：事件定义明确；存在大量样本；样本具有较好的重复性和可以量化的分布规律；不受人为因素的影响。在机械设计的早期阶段，由于结构的负载和工作条件恶劣的机械，我们通常无法获得足够的观测数据。并且受到观测手段以及仪器的影响，工程师很难获得足够的数据。由于众多的不利因素的影响，要求试验数据同时满足概率可靠性分析的条件是几乎不可能的，这就使得基于概率的可靠性研究不能有效的处理这方面的问题。

为了解决概率可靠性理论的局限性，学者对不确定性的本质进行了深入的讨论和分析，从不确定性信息的随机性，模糊性和不完备性进行讨论，将不确定性分为随机不确定性和认知不确定性，并且认为随机不确定性是事物的固有属性，而认知不确定性则是由于信息模糊，数据不完整或知识缺乏等因素造成的。这种分类方式能够明确的造成不确定性的本质原因，从而能够比较好的来解释概率可靠性理论所不能解释的问题。实际上来说，概率可靠性理论只考虑了随机不确定性，因此基于概率可靠性分析设计的方法只适合于只包含随机不确定性的情况。

在此之后，为了弥补概率可靠性理论的不足，又有人提出了非概率可靠性的概念。这些理念很快就获得了大量的关注和讨论，一些能够有效处理认知不确定性理论逐渐进入人们的视野。目前，在处理认知不确定性的非概率理论主要有凸集理论，证据理论和可能性理论[9]。其中的凸集理论是用来描述不确定的，凸集理论对数据不足或信息不完备的情况有明显的优势，孙座振以区间模型为基础对结构的疲劳和可靠性做了分析和研究。将疲劳分析中的不确定性因素用区间模型描述，把不确定参数的不确定范围看作不确定参数的区间半径，对疲劳功能函数进行区间扩展，用区间摄动法对含有区间变量的疲劳功能函数做区间运算，对应力-疲劳寿命区间、应变-疲劳寿命区间及其可靠度进行了分析，并对结构进行了疲劳可靠性优化。将Epsilon重分析方法有效地应用于结构静态响应与动态响应的可靠度分析中，计算结构静态与动态非概率可靠度指标。将Epsilon方法与区间控制法相结合，通过控制区间参数的区间半径改善静态和动态响应的可靠度指标。实现区间参数的多目标区间控制[10]。区间方法只需要知道不确定性的区间的界限即可，尤其特别适合处理小样本的情况，但这种分析方法也存在缺陷：无法有效表现区间内的分布情况，也就意味着凸集理论要和其他理论相结合才可以取得比较良好的结论。

熊彦铭、杨战平等利用证据理论来表征单元可靠性的不确定性，并通过响应函数获得系统的非概率可靠性输出，其区间的上下界分别为似真函数和信任函数，从而实现了不确定性的传播[11]。证据理论的核心思想引用信任函数，似然函数及类概率的分布函数来描述不确定性或证据的精确信任度，从各个不同的角度来刻画不确定性。证据理论拥有比较强的理论性，能将“不确定”和“不知道”区分开来。但也拥有自己缺点，证据理论要求处理的信息必须是独立的，不能处理模糊信息。

李昆锋、杨自春、孙文彩等研究了模糊不确定性和非概率不确定性共存时的结构可靠性问题。应用模糊理论，导出了Info-gap(Information-gap)模型的失效可能性测度和安全可能性测度，建立了模糊失效准则下结构非概率可靠性分析的一般性模型，给出了可靠性指标的解法[12]。可能性理论的核心思想是确定可能性，可能性分布，可能性分布函数，边缘可能性函数等其他系个度量工具之间的关系，以及各种命题之间转换规则和不精确命题的推测规则[13]。

非概率的可靠性理论对数据的要求比较低，有较好的工业应用前景。目前，非概率的理论已经应用到土木，交通，计算力学，军事，能源，自动化，航天等各个领域，成为机械工程中处理不确定性的重要工具。但与成熟的概率理论相比的可能性理论，非概率的可靠性理论目前还处于发展阶段，因此概率分析方法仍是主流分析方法，非概率的分析方法只为其作为补充，并不能完全替代。

由于在可靠性分析中概率分析理论的主导地位，以及工程中存在了大量的认知不确定性现象，因此将概率理论和非概率理论想结合，研究不确定性条件下的可靠性分析方法也是非常重要的，近些年来已经出现众多混合不确定性的研究成果，例如基于概率区间的混合可靠性模型，基于概率可能性的混合可靠性模型，基于模糊与区间的混合可靠性模型等等，这些理论大多处于理论研究阶段，其工程的应用价值有待进一步的印证。

2.3 基于概率-非概率统计的结构可靠性理论 工程中，随机不确定性和认知不确定性往往同时存在。近年来，两种不确定性同时存在下的结构可靠性理论引起国内外大量知名专家学者的高度关注，并开展了卓有成效的研究。刘国梁利用3σ准则建立了区间非概率可靠性指标与概率可靠性指标的转换关系[14]；吴钰龙基于概率和非概率凸模型，并考虑模糊失效准则，对其混合可靠性问题进行了研究[15]；何新党从概率模型、模糊模型、非概率模型等多个角度对结构可靠性设计问题进行研究，建立了一些适用于复杂工程问题的结构可靠性分析方法[16]；李昆锋、杨自春、孙文彩等对凸集不确定性和随机变量共存的结构混合可靠性模型行研究，以解决部分参量统计信息不足时的结构可靠性评定问题。基于Info-gap理论，建立一种统一的结构非概率可靠性模型，由此导出一种与概率可靠性方法等价的椭球非概率可靠性模型。用一种特定的椭球凸集模型描述随机变量不确定性，与一般性的凸集模型复合，将凸集不确定性和随机变量共存的混合可靠性问题统一为非概率可靠性问题。基于非概率可靠性方法，提出一种一般性的凸集-概率混合可靠性方法[17]；李世军对区间和超椭球凸集模型非概率可靠性指标的算法进行了研究，对具有显式极限状态方程的可靠性分析采用优化算法中的梯度投影法，或者蒙特卡罗法，对隐式或者复杂极限状态方程的可靠指标求解，采用蒙特卡罗法，响应面法和支持向量机[18]；肖宁聪基于区间理论、模糊集理论和概率论，研究了变量相关时的结构非概率可靠性问题、随机和认知不确定性下的结构可靠性分析问题、随机和认知不确定性下的结构可靠性灵敏度分析问题，拓展和完善了现有的结构可靠性理论体系[19]。

3 基于区间变量的非概率可靠性分析

在自然界和人类活动中所遇到的各种各样的现象，大体上可分为两类：确定性现象和不确定性现象。确定性现象是指在一定条件下必然会发生的现象。而不确定性现象在一定条件发生与否却是不一定的。一般来讲，不确定性现象又可分为两类：随机不确定性和认知不确定性。可靠性建模中的不确定性分为结构所承受荷载的不确定性、材料特性参数的不确定性、约束边界条件和初始条件的不确定性和结构的几何尺寸的不确定性[20]。

随机不确定性可以通过一定条件下的大量重复随机实验来刻画，其本质上具有明确的含义，只是由于条件不充分，使得条件与事件之间虽然能出现决定性的因果关系，但是在事件发生与否上表现出不确定性的性质。虽然随机不确定性可以通过大量重复随机实验来量化，但不确定的程度并不随着实验次数的增加而减少。

认知不确定性是由于信息不完备或知识不足导致的不确定性。知识不足使得对事件的定性描述具有不确定性，信息不完备则会导致事件的定量描述具有不确定性。认知不确定性本质上与人们对事件的主观认识和判断有关，因此，通过增加统计信息或知识储备可在一定范围内减小不确定性的程度。

作为一种描述有界不确定信息的数学模型，非概率集合理论模型将不确定事件的所有可能性用集合描述，而在集合内不定义任何概率测度，所用集合的具体形式一般根据工程实际情况来确定。在非概率集合理论模型中，目前主要有两种理论和方法。一种是采用凸集模型来描述不确定参数，以凸集合为基础的优化方法即凸模型方法；另一种是采用区间模型来描述不确定参数，基于区间数学的区间分析方法[21]。

由于结构非概率可靠性理论对数据和信息量要求低，因此有较好的工程应用前景，结构非概率理论可作为结构概率可靠性理论的有益补充。迄今为止，区间变量相互独立下的结构非概率可靠性方法已有较多研究，且有了初步工程应用。为了满足产品高可靠性和高安全性的要求，结构可靠性理论和方法受到了工程界和学术界的极大关注，一直是可靠性领域的研究热点。现有的结构可靠性理论和方法，基本都是建立在概率统计基础之上的，即系统相关参数的分布都为精确已知的。基于概率论和数理统计的结构可靠性理论和方法已非常成熟。但是，由于各种不确定性的影响，在工程实际中，特别是产品的设计初期，常会遇到数据不足或信息不完善的情况。由于航空、航天产品普遍具有小样本、结构复杂及造价昂贵等特点，所以这种情况在航空、航天领域更为明显。因此，传统基于概率统计的结构可靠性理论和方法面临极大的挑战。现有研究表明，概率统计模型对模型参数较为敏感，当数据不足或信息不完善时，基于概率统计模型所得的结果往往是不可靠的。因此，非常有必要探索和研究新的可靠性理论和方法。需特别指出的是，基于区间的结构非概率模型已引起有关学者的极大关注，其模型已成功用于结构可靠性分析、可靠性灵敏度分析和优化设计中。

3.1 一次二阶矩方法(FOSM) 一次二阶矩方法的基本思想就是将非线性的功能函数进行线性化，然后通过基本变量的一阶矩和二阶矩来计算线性化后的功能函数的一阶矩和二阶矩，进而近似得到功能函数的失效概率。目前一次二阶矩法可分为均值点一次二阶矩法、改进(验算点)一次二阶矩法和Rackwitz-Fiessler(R-F)法。其中改进一次二阶矩法是Hasifor-Lind于1974年提出的，又称为AFOSM法(Advanced First Order Second Moment Method)。改进一次二阶矩法与均值一次二阶矩法的不同之处在于，改进一次二阶矩法将功能函数线性化的点是失效域中最可能失效(Most Probable-Failure Point，MPP)，而均值一次二阶矩法线性化的点是基本变量的均值点[22]。

3.2 均值一次二阶矩可靠性分析方法 功能函数是基本变量的函数，由概率论基本原理可知，当功能函数为基本变量的线性函数且基本变量服从正态分布时，功能函数也服从正态分布，并且功能函数的分布参数可以由基本变量的一阶矩和二阶矩简单推导求得。基于这一原理，均值一次二阶矩方法在基本变量的均值点处将非线性的功能函数用泰勒级数展开成线性表达式，以线性功能函数代替原非线性功能函数，求解线性方程的可靠度指标，从而得到原功能函数的近似失效概率[23]。

3.3 改进一阶二次矩方法[24]改进一次二阶矩法(Advanced First Order and Second Moment)是Hasofer-Lind提出的，又称为AFOSM法。从原理上来说，改进一次二阶矩法与均值一次二阶矩法是类似的，它也是通过将非线性功能函数线性展开，然后用线性功能函数的失效概率来近似原非线性功能函数的失效概率。与均值一次二阶矩法的不同之处在于，改进一次二阶矩方法将功能函数线性化的点是失效域中的最可能失效点MPP(又称设计点)，而均值一次二阶矩法线性化的点是基本变量的均值点。对于一个给定的非线性功能函数，其失效域中的最可能点是不能预先得知的，它需要通过迭代或者直接寻优的过程来求得。

AFOSM运算简捷，对非线性程度不高的结构功能函数，其精度能够满足工程实际需要，在工程阶受到了广泛重视。

3.4 均值一次二阶矩可靠性的优缺点 从上述过程可以看出，均值一次二阶矩方法对于功能函数为线性基本变量为正态的问题可以得到失效概率的精确解。当基本变量的分布形式未知，但其均值(一阶矩)和标准差(二阶矩)已知时，由均值一次二阶矩方法可以求得失效概率的近似解。尽管均值一次二阶矩方法的适用范围非常有限，而且它还需要求解功能函数的导函数，但由于其简单容易实现，且仅需要知道基本变量的一阶矩和二阶矩，因此在工程中有一定的应用价值。必须指出的是，该方法具有致命的弱点，那就是它对于物理意义相同而数学表达式不同的非线性问题有可能得到完全不同的失效概率，这就要求在选择功能函数时，应尽量选择线性化程度较好的形式，以便采用均值一次二阶矩法能够得到精度较高的解。针对均值一次二阶矩方法存在的致命弱点，可靠性研究者提出了改进一次二阶矩方法。基于均值一次二阶矩法的可靠性灵敏度分析对于正态基本变量且功能函数为线性的情况，可以得到可靠性灵敏度的精确解；对于正态基本变量且非线性程度不大的功能函数，该方法得到的可靠性灵敏度近似解也是可以接受的；但对于高度非线性功能函数，该方法得到的可靠性灵敏度解将可能是完全错误的。

3.5 改进一次二阶矩方法的优缺点 与均值一次二阶矩法相比，改进一次二阶矩法在设计点处线性展开功能函数，从而使得物理意义相同而数学表达式不同的问题具有了统一的解。由于设计点是对失效概率贡献最大的点，因此在设计点处线性展开比在均值点处线性展开对失效概率的近似具有更高的精度。对于极限状态方程非线性程度不大的情况，改进一次二阶矩法能给出近似精度较高的结果。由于工程上有很多问题满足改进一次二阶矩法的适用范围，从而使得改进一次二阶矩法在工程上被广泛运用，并在此基础上形成了一定的设计标准。改进一次二阶矩方法的缺点可以归纳如下：

(1)不能反映功能函数的非线性对失效概率的影响。

(2)在功能函数的非线性程度较大的情况下，迭代算法受初始点影响较大；对具有多个设计点的问题，改进一次二阶矩方法可能会陷入局部最优，甚至不收敛。对极限状态方程的解析表达式有一定的依赖性。

(3)采用改进的一次二阶矩方法进行可靠性灵敏度分析时，其精度很大程度上依赖于功能函数的非线性程度，非线性程度较小时，该方法可以得到可靠性灵敏度的高精度解，但非线性程度较大时，由于可能产生的迭代不收敛或近似精度较差的情况，此时可靠性灵敏度有可能得不到或者得到错误解。

4 总结

在实际工程领域，对一个复杂的结构进行可靠性分析时，往往要考虑很多不确定量。其中一部分不确定性参数由于信息量足够，适合采用概率模型来描述，而某些不确定参数由于缺乏足够的样本数据或者内在原因，适合采用非概率区间模型来描述，或者有些参数可通过概率分布描述，但其中的关键分布参数只能给定变化的区间。因此，研究混合模型的可靠性分析方法具有重要的实际工程意义。