一个凸函数不等式的控制证明

刘 兵, 王东生, 石焕南

(1.北京市商业学校, 北京 102209 ; 2.北京电子科技职业学院, 北京 100176;3.北京联合大学师范学院, 北京 100011)

0 引言

定义 1[1～4]设 Ω⊂ ℝn,φ:Ω→ℝ,

(a) 若对于任何x,y∈ℝn,α∈ [0,1], 总有αx+ (1 -α)y∈Ω, 则称Ω为凸集.

(b) 设Ω为凸集, 若对于任何x,y∈Ω,α∈ [0,1], 总有

则称φ为Ω上的凸函数.若对于任何x,y∈Ω,x≠y,α∈ (0,1), 式(1)为严格不等式, 则称φ为Ω上的严格凸函数.若φ- 是Ω上的凸函数, 则称φ为Ω上的凹函数.

对于凸(凹)函数, 文[5]用分析方法证明了如下定理.

下文先给出受控理论的相关定义和引理, 然后给出不等式(2)的控制证明.

1 定义和引理

引理3的结果称为Karamata不等式, 它是受控理论中一个非常重要的结论.

2 定理的控制证明

由引理2, 不难证明

据引理3, 由式(4)和(5)即可分别得到式(2)中左边和右边的不等式, 且若f(x)是严格凸(凹)函数, 则式(2)中的不等式是严格的.

3 应用举例

文[5]给出了定理在求和式数列极限中的两例应用.下面利用定理建立几个代数不等式.

例1令f(x) = lnx(x＞ 0), 则f(x)是凹函数.根据定理, 有算术—几何平均值不等式的加细:

特别当a= 1,b=n时, 得到关于n!的不等式

当a= 1,b= 2时, 有不等式

例4对于任意正整数n, 文[7]给出了如下不等式:

这样就得到式(12)的反向不等式

例5文[6]介绍了如下三角函数不等式: