基于动态响应的结构安全性诊断

况中华 何光辉 李鑫奎

上海建工集团股份有限公司 上海 200080

近年来，基于实测振动数据的结构损伤识别方法被广泛用于建筑工程结构安全状态的评估。评估建筑结构的安全状态不仅有助于旧结构的维修加固，同时也可应用于新建结构施工期间的安全状态诊断，不但有利于提高建筑结构的使用寿命，还可为结构施工提供安全保障。

从结构振动方程中可得，振动是关于结构三大系统参数（质量、刚度、阻尼）的动力系统，结构的系统参数决定了结构的振动状态，同时也可从结构的振动状态推算出结构的系统参数。结构在使用期间的质量可认定为基本不发生变化，而结构的阻尼可通过质量及刚度计算得出，而当结构内部产生损伤时（裂缝、弹模变化），最为直接的表现即为结构刚度降低。因此，大多数结构损伤识别都是将结构刚度作为识别参数进行计算，通过结构刚度的变化程度或损伤后刚度与损伤前刚度的比值来评估结构的安全性。

本文将刚度差值比α作为结构的刚度损伤系数，以表达结构的刚度变化程度，并建立结构的损伤刚度矩阵，将损伤刚度矩阵纳入结构的振动方程中，同时联合未损伤和损伤结构的振动方程进行求解，最终获取结构各单元的刚度差值比α，以此确定结构各位置的损伤情况，评估结构的安全状态。

1 多自由度体系振动方程

考虑结构阻尼影响的多自由度体系的运动方程[1]如式（1）所示：

式中：M——质量矩阵；

C——阻尼矩阵；

K——刚度矩阵；

P（t）——t时刻的外部荷载矩阵；

Ut——t时刻的位移矩阵；

求解振动方程的关键是建立结构整体的质量、阻尼、刚度矩阵，可利用有限元方法将结构划分为多个单元进行计算，将结构整体参数矩阵计算转化成计算1个单元的质量、阻尼、刚度。

当仅考虑平面横向位移问题时，单元节点仅有竖向位移和转动2个自由度，单元的位移函数可用三次Hermite多项式表示，如式（2）所示：

在式（2）中，部分参数如式（3）～式（6）所示：

其中，V(x)为单元的位移函数，V1、V3为单元节点1、2的竖向位移，V2、V4为单元节点1、2的转角。

单元在节点1处发生单位转角θ1时，节点1处产生的竖向力即为单元的刚度系数k13，依据虚功原理可得式（7）：

同理可得，单元的任意刚度系数表示为式（8）：

同理可得，单元的任意质量系数表示为式（9）：

上式中，E为弹性模量，I(x)为单元截面惯性矩沿单元长度的分布，m(x)为单元质量沿单元长度的分布，、分别为φi(x)的一、二阶导数。

最终可得结构的整体质量、刚度矩阵如式（10）、式（11）所示。

结构阻尼采用Rayleigh阻尼[2]，利用质量矩阵和刚度矩阵表示，如式（12）所示：

在式（12）中，a0、a1分别由式（13）、式（14）定义：

其中，wi、wj为结构的2个自振频率，ξi、ξj为对应的振弦阻尼比。

2 建立损伤结构的振动方程

结构出现损伤的主要表现是结构单元刚度的减小，因此，引入刚度增量ΔK来描述结构的损伤。损伤结构的损伤刚度矩阵Ks可描述为原始结构（未损伤结构）的刚度矩阵K加上刚度增量矩阵ΔK，即Ks=K+ΔK，ΔK一般为负值。

将结构损伤刚度矩阵Ks代入式（1），可得损伤结构的振动方程：

将原始结构和损伤结构的振动方程进行联合求解，即合并式（1）和式（15）：

结构的单元刚度损伤系数可用刚度差值比α来表示，即单元n的刚度增量，以平面横向位移问题为例，参照式（11），ΔKUst可表示为式（18）：

对上述刚度增量矩阵ΔK〔式（18）〕进行列变换，将同一个单元的列元素相加于同一列，可得式（19）：

kn——单元n的刚度矩阵；

αn——单元n的刚度损伤系数（刚度差值比）；

α——结构损伤系数矩阵。

将式（19）代入式（17）求解，可得结构损伤系数矩阵α：

3 案例验证

以一个双跨混凝土连续梁为计算案例，验证上述求解结构单元损伤系数的方法。双跨混凝土连续梁跨径5 m，采用铰接边界，梁截面为400 mm×200 mm矩形截面，弹性模量E=3.45×104MPa，密度ρ=260 kg/m3，在距离端部2 m位置作用一个竖向正弦动荷载P(t)=1×104×sin (6πt)，结构形式如图1所示。

图1 双跨混凝土连续梁结构简图

计算时将双跨混凝土连续梁等分成10个单元，11个节点，单元长度1 m。假定3号单元的刚度损伤系数α3=－0.8，8号单元的刚度损伤系数α8=－0.6，结构其余位置均未出现损伤，即其余单元的损伤系数为0（图2）。利用上述计算方法，验证通过结构的动态响应诊断出的结构损伤情况是否与假定工况一致。

图2 双跨混凝土连续梁的单元损伤示意

计算双跨混凝土连续梁的阻尼时，选取第1、2阶自振频率w1、w2作为参数，阻尼比取值ξ1=ξ2=0.05。

计算时长取100 s，时间步长取0.01 s，共计104步。理论结构（未损伤结构）和损伤结构承受同样的正弦动荷载作用，正弦动荷载的时程曲线如图3所示。

图3 正弦动荷载时程曲线（仅示意0～10 s）

通过计算得出，双跨混凝土连续梁的3号单元的刚度损伤系数α3=－0.6，8号单元的刚度损伤系数α8=－0.8；其余单元的刚度损伤系数α均为0。各单元的刚度损伤系数如图4所示。

图4 单元刚度损伤系数时程曲线

计算结果与假定工况完全吻合，表明利用未损伤结构和损伤结构在相同动荷载作用下的响应时程，建立联合振动方程求解结构单元刚度损伤系数的方法准确可靠，且可通过该方法对结构的损伤情况进行判别，从而可进一步实现结构安全状态的诊断。

4 结语

利用结构在动荷载作用下的实际动态响应与理论动态响应时程，建立理论-实际联合振动方程，可求解出结构每个单元的刚度损伤系数，从而可对结构的损伤情况进行识别，实现结构安全状态的诊断。

本文通过实例验证，发现所述方法对结构安全状态的诊断准确可靠，该方法可在建筑工程施工过程中进行推广应用[3-8]。