交叉测量协议对电阻抗成像病态性的影响

罗辞勇王 平 何 为 陈民铀

(重庆大学电气工程学院 输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室，重庆 400044)

交叉测量协议对电阻抗成像病态性的影响

罗辞勇*王 平 何 为 陈民铀

(重庆大学电气工程学院 输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室，重庆 400044)

研究在二维圆形场域和相邻电流激励条件下，电压相邻测量协议和交叉测量协议对病态性的影响。相比相邻测量协议，交叉测量协议整体提高了Jacobian矩阵的奇异值，表明其 Jacobian矩阵列中的线性相关程度在下降。采用相邻测量协议得到的Jacobian矩阵条件数是2.15×106，采用交叉测量协议对应的条件数是1.21×105。计算结果表明交叉测量协议相对相邻测量协议的Jacobian矩阵条件数的比值约为1∶18。本研究从理论上证明了交叉测量协议相比相邻测量协议降低了电阻抗成像的病态性。

电阻抗成像;病态性;相邻测量协议;交叉测量协议

Abstract:There exists an ill-posed problem in electrical impedance tomography(EIT)that small errors on measured data can result large errors in final images.The influence of the cross measurement protocol(CMP)on the ill-posed problem was investigated with 2D homogenous model.Compared with the adjacent measurement protocol(AMP)，CMP improved the whole singular values，indicating that the pertinence of Jacobian matrix’s columns was declined.The condition number of Jacobian matrix with CMP was 1.21× 105，and that of AMP was 2.15×106.The results indicated that the CMP decreased the condition number of Jacobian matrix.It could be inferred from mathematic results and experiments that CMP reduced the ill-posed problem of EIT.

Key words:electrical impedance tomography;ill-posed;adjacent measurement protocol;cross measurement protocol

引言

电阻抗成像(EIT)系统通过注入电流到研究场域，测量边界电压;然后根据测量电压数据，重构场域的绝对或相对电阻率分布。EIT技术目前存在的一个主要问题是成像分辨率较低，误差较大。造成这个问题的根本原因在于成像过程中的病态性。所谓病态性:是指在对一个问题求解时，该问题中某些参数的微小扰动，使该问题的解产生很大的变化，给成像结果带来了很大的误差。但作为EIT研究的核心，病态性问题始终没有得到较好解决［1］。

Breckon从数学层面研究电阻抗成像的病态性问题，并采用奇异值分解技术来对比几种电流激励模式(电压相邻测量)［2］。Lionheart等采用奇异值分解(SVD)和条件数等数学方法系统阐述EIT病态性问题的分析方法［3］。Cheney等分析了 NOSER算法中Jacobian矩阵奇异值对重构图像的影响。小的奇异值会影响矩阵的求逆，即便能够求逆，逆矩阵会使微小的误差被急剧放大。Cheney采用正则化法，试图去除小的奇异值［4］。Avis和Barber基于滤波反投影算法分析了相邻和相对两种电流激励模式的病态性，分析的方法是研究B矩阵的奇异值和秩的大小［5］。尽管相对驱动模式使场域中心的电流密度增强，对中心部分的灵敏度增加，但是相对驱动模式反投影B矩阵的秩较相邻驱动模式的秩明显减小，其病态性增强。因此Avis等建议采用滤波反投影算法时，应该尽量避免采用相对驱动模式［5］。Barber在对 Sheffield大学的EIT研究工作进行回顾时指出:由于病态性问题，在相邻激励相邻测量模式下，不能得到高分辨率的图像，尤其在中心部分［6］。

董秀珍等分析影响生物电阻抗断层成像质量的因素，指出决定病态性及其程度的因素主要是图像重构模型问题、图像重构算法以及驱动模式［1］。在EIT技术研究中，图像重构模型通常采用有限元法将模型剖分成有限个单元。当剖分单元数较小时，剖分单元的面积都较大，则测量对象中心单元和边界单元的阻抗变化对测量信号的影响差别不大或者说病态性很轻微。为了能达到一定的图像分辨率，重构模型需要增加剖分单元数。但是，单元数的增加使得中心区的单元对测量的影响要小得多，边界测量数据的一点扰动或误差将导致重构图像的中心区域存在较大误差，呈现较强病态性。并且病态性随着剖分单元数的增大而变得更加严重，最终导致重构失败［1］。

在有限元模型单元数相同条件下，EIT驱动测量模式对EIT病态性也产生很大影响。在同一测量系统下，电流激励模式和电压测量协议影响原始数据的信息量和信噪比［7］。对电流激励模式和电压测量协议进行改进和创新，最大程度地提取中心区域的阻抗分布信息，有助于改善电阻抗成像的病态性问题［1］。

本研究分析电压交叉测量协议(cross measurement protocol，CMP)对病态性的影响。作者于先前工作中，在不增加硬件复杂程度条件下，采用CMP来提高测量信号的信噪比［8-9］。目的是从数学角度分析CMP对电阻抗成像病态性的影响。分析结果表明CMP相比相邻测量协议(adjacent measurement protocol，AMP)减小了 Jacobian矩阵的条件数，其病态性问题得到了改善。

1AMP和CMP

当在相邻电极激励电流、在相邻电极上测量电压，称为相邻测量协议(AMP)。电流先在1、2号电极施加，有13个独立测量电压值，如图1(a)所示意。当电流从2、3号电极施加，可得另一组13个电压测量值［10］。以此类推，16电极系统总共可获得16×13=208个测量值。

交叉测量协议(CMP)是为了提高电阻抗成像测量信号的抗噪声性能而提出的。CMP是在所有非电流注入电极对上做灵活选择，使得测量电压的幅值普遍高于相邻测量协议的电压幅值。采用有限元正问题方法，在单位条件下电流从1和2号电极施加，可计算所有非电流注入电极上的电压(电极数用L表示)，对于L=16电极系统，总共有(L-2)(L-3)/2=91次。把单位条件下相邻测量的最大信号作为阀值。如果测量电极对上计算出的电压小于阀值则被舍弃，否则被保留。根据这一原则，产生了48个电压测量电极对，如图1(b)所示。下一组电流施加在2和3号电极上，图1中的测量电极编号依次顺序改变。对一个16电极系统，获得16×48=864 个电压测量值［8］。

图1 电压测量电极组序列。(a)相邻测量协议;(b)交叉测量协议。点线表示测量电极对。Fig.1 Measurement electrode pairs.(a)AMP;(b)CMP.The dot lines indicate measurement electrode pairs.

2 分析EIT病态性问题的方法

采用奇异值和条件数来分析病态性问题［3］。对实际问题中的近似线性关系，一般认为矩阵中列的近似线性关系对应着较小的奇异值。病态性则用矩阵的条件数来界定。方阵P的条件数为:

式中，σmax和σmin为P的最大、最小奇异值。条件数越大，病态越强。同理可推广至一般矩阵A:n×p的条件数:

当A的列正交时，有 κ(A)=1，此时条件数达到下界。当A列中有精确线性关系时出现零奇异值。当A列中存在近似线性关系时，存在有“小”的奇异值，条件数κ(A)定义给出了病态性的标准，病态的程度依赖于最小奇异值与最大奇异值的比值［3］。

3 AMP和CMP病态性对比

3.1 图像重构算法

采用的重构算法是快速一步牛顿误差重构算法(FNOSER)，其中正则化参数 γ对病态性也有着重要影响。参数γ通过经验选取，目的是在图像的稳定性与图像的对比度、清晰度之间寻求平衡。本研究中正则化参数γ均选择为0.1。

3.2 有限元模型

为对比两种测量协议对电阻抗成像病态性的影响，均采用了相同剖分模型和参数。在所有情况下，有限元采用如图2所示的剖分模型，三角单元数是568，节点数是113，电极个数是16。

图2 有限元模型Fig.2 FEM model

3.3 对比结果

分别采用 AMP和 CMP，计算 FNOSER重构算法中的 Jacobian矩阵，然后对 Jacobian矩阵进行奇异值分解，其结果见图3(奇异值采用 log刻度绘制)。图3显示CMP的奇异值普遍大于AMP的奇异值，表明其Jacobian矩阵列中的线性相关程度在下降。

对两种测量协议下的Jacobian矩阵奇异值进行归一化，归一化方法是把所有的奇异值除以各组最大奇异值。归一化后的奇异值采用log刻度绘制(见图4)。图4显示，AMP的奇异值在250以后就快速减小(相比 CMP)，AMP最小归一化奇异值小于CMP最小归一化奇异值。而条件数等于矩阵最小归一化奇异值的倒数 (条件数等于最大奇异值除以最小奇异值)，所以图4表明AMP的条件数大于CMP的条件数。

图3 奇异值Fig.3 Singular values

图4 归一化奇异值Fig.4 Normalized singular values

表1显示了AMP和CMP对应Jacobian矩阵条件数。AMP的 Jacobian矩阵条件数约是 CMP的Jacobian矩阵条件数的18倍。根据病态性指标的含义，可以判断 CMP的 Jacobian矩阵的病态性较AMP得到有效降低，因此其抗干扰能力要优于AMP。

通过实验验证CMP对病态性的影响。在直径21 cm的水槽中放入盐水溶液。实验物理是一个直径1.8 cm的铝棒，分别将铝棒仿真水槽中心和靠近边界的位置。图5显示分别采用AMP和CMP的重构图像(采用FNOSER动态成像算法，除测量协议外两者其它条件相同)。图5表明CMP重构图像相比AMP图像，伪迹较少，目标物(铝棒)更加明显、清晰。另外，在实验中由于AMP的病态性，噪声等形成的伪迹会随时间随机变化，重构图像稳定性较差;而CMP重构图像具有较好的稳定性。实验验证CMP相比于AMP改善了EIT的病态性。

表1 两种测量协议下Jacobian矩阵的条件数Tab.1 Condition numberofJacobian obtained by two protocols

图5 水槽中放置一个铝棒的重构图像(电阻率单位:Ω·cm)。(a)采用相邻测量协议(铝棒在中心);(b)采用交叉测量协议(铝棒在中心);(c)采用相邻测量协议(铝棒在边界距中心一半处);(d)采用交叉测量协议(铝棒在边界距中心一半处)Fig.5 Reconstructed images with one aluminum bar(The unit of difference resistivity scale is Ω·cm).(a)AMP(the aluminum bar is in the center);(b)CMP(the aluminum bar is placed in the half of radius);(c)AMP(the aluminum bar is in the center);(d)CMP(the aluminum bar is placed in the half of radius)

4 讨论和结论

采用CMP具有明显的实用性。在相邻驱动时与驱动电极相对的电极电压值很小，如果所采用的EIT系统的测量精度或信噪比不够高，因而所测量得到数值相对误差很大，从而影响图像重建。采用CMP，使得测量电压的幅值普遍高于相邻测量协议的电压幅值，可在某种意义上提高电阻抗成像测量信号的抗噪声性能，可改善图像重建结果。

CMP的数据是否可以通过AMP的数据进行叠加呢?如果能够叠加，只要有了图1(a)所示的相邻测量结果，图1(b)所示的所有测量值都可以从该相邻测量结果中获得，无需再进行图1(b)的交叉测量。这样 CMP，只会消耗测量时间，没有明显的意义。

电阻抗成像装置通常施加20～100 kHz的交流电流，因此电阻抗成像是一个交流电磁场问题。电阻抗的含义也指明被测对象不是一个纯电阻，是即含有电阻又含有电抗成分。电极之间的实际电压是一个复数值，即有实部也有虚部，测量时通常都是取电压的模。这样考虑到复数的问题，电极1与2间的电压加上电极2与3间的电压测量值(模)，就不等于电极1与3的电压测量值(模)。根据复数运算的特点，叠加的值要大于直接测量的值。

此外还通过实验来比较直接测量电压和叠加计算电压的不同之处。在电极2与15间电压的直接测量值约为80.4 uV，且比较稳定。而通过2，3，Λ，15依次相邻电极上的电压叠加在一起得到的电压值约为83.4 μV，并且这个数值波动很大。

因此通过理论分析和实验表明:不能通过AMP的数据叠加得到CMP的数据。

两种协议除了在Jacobian矩阵的条件数存在差异外，在灵敏度上也存在差异。已在前期工作中采用了灵敏度分析对两种协议进行了对比，研究结果表明相比AMP，CMP提高整体灵敏度，同时也提高了中心区的灵敏度百分比［9］。

在相邻电极电流激励条件下研究测量协议，研究工作可进一步扩展到交叉电极电流激励模式。文献［1］指出对电流激励模式和电压测量协议进行改进和创新，最大程度地提取中心区域的阻抗分布信息，有助于改善电阻抗成像的病态性问题。但如何评价以及得到更优的电流激励模式和电压测量协议依然是一个非常复杂的问题。

电阻抗成像是一个病态性问题，电流激励模式和电压测量协议对病态性产生重要影响。相比AMP，CMP降低了 Jacobian矩阵的条件数，改善了Jacobian的病态性，从数学上证明CMP比AMP具有更好的抗干扰能力，能够产生稳定性和分辨率均较好的重构图像。

［1］董秀珍，秦明新，刘锐岗，等.影响生物电阻抗断层成像质量的因素［J］.中国医学物理学杂志，2001，18(4):209-210.

［2］Brechon WR.Image reconstruction in electricalimpedance tomography［D］.Oxford:Oxford Polytechnic，1990.

［3］Holder DS.Electrical impdeance tomography methods，history and applications［M］.UK:Bristol，Inst Phys Pub，2005.1-65.

［4］Cheney M，Isaacson D，Newell JC，et al.NOSER:an algorithm for solving the inverse conductivity problem ［J］.Int Journal of Imag Sys and Tech，1990，2:66-75.

［5］AvisNJ，BarberDC.Adjacentorpolardrive?:image reconstruction implications in electrical impedance tomography systems employing filtered back projection ［A］.In:Proceedings of IEEE Engineering in Medicineand Biology Society［C］.Paris:IEEE，1992.1689-1690.

［6］Holder DS.Electrical impdeance tomography methods，history and applications［M］.UK:Bristol，Inst Phys Pub，2005.348-373.

［7］罗辞勇，徐管鑫，何为.应用于APT驱动模式的NOSER成像算法［J］.中国生物医学工程学报，2008，27(3):321-325.

［8］罗辞勇，陈民铀，王平，等.电阻抗成像交叉测量模式的抗噪声性能研究［J］.仪器仪表学报，2009，1(1):1-6.

［9］罗辞勇，何为，陈民铀，等.电阻抗成像交叉测量协议的灵敏度性能［J］.中国生物医学工程学报，2009，28(5):778-782.

［10］Malmivuo J，PlonseyR.Bioelectromagnetism ［DB/OL］.http://butler.cc.tut.fi/～malmivuo/bem/bembook/26/26.htm，2006-4-1/2007-4-28.

Influence of Cross Measurement Protocol on the Ill-posed Problem of Electrical Impedance Tomography

LUO Ci-Yong*WANG Ping HE WeiCHEN Min-You
(School of Electrical Engineering，Chongqing University，State Key Laboratory of Power Transmission Equipment＆ System Security and New Technology，Chongqing，400044，China)

TM152

A

0258-8021(2010)02-0185-05

10.3969/j.issn.0258-8021.2010.02.005

2009-01-16，

2009-11-10

国家高技术研究发展(863)计划重大项目(2006AA02Z4B7);国家111引智工程(B08036)

*通讯作者。 E-mail:luociyong@cqu.edu.cn