渐开线圆柱斜齿轮的接触分析

王 超，孙长青，张 凯，张小辉

（沈阳工程学院a.机械学院；b.学报编辑部；c.工程训练中心，辽宁 沈阳 110136）

为了适应重工业核心技术的发展，齿轮设计、制造及优化需要满足重载、高速、大功率、高精密、轻质量的技术要求，同时齿轮传动也向着平稳、可靠、噪音低、寿命长的方向发展。渐开线斜齿轮啮合是齿轮传动的最广泛形式之一，凸面与凹面相接处的形式使传动具有传动平稳、效率高、传动比稳定、结构紧凑、寿命长等优点。由于齿轮的工作条件异常复杂，导致齿轮传动的故障率较高，而齿轮失效所占比率为65%左右，因此齿轮的失效形式备受业界关注，提高齿轮的质量迫在眉睫。

国内外许多学者对齿轮接触问题进行了深入研究。TSENG J 和OLSON M D 提出了混合有限元方法来解决接触问题，该方法以接触内力作为未知量基本部分，将整个总刚度矩系统矩阵凝聚到接触的边界，从而形成接触内力的方程和柔度，缩短了计算时间［1］。李润方等将材料线性和非线性相关联，提出了接触有限元混合法的计算单元［2-4］。LITVIN F L 等人提出了二维弹性接触问题的单元法，为三维接触问题和热弹性问题发展奠定了基础［5］。上述研究成果为齿轮接触特性的分析数值提供了相关的理论基础。但齿轮啮合过程中的载荷无规律变化和应力随机变化导致计算难度大，计算结果不够准确。为了研究齿轮啮合过程，本文以啮合理论为基础，利用有限元方法对齿轮啮合过程进行仿真模拟，通过对齿轮啮合的静力学和动力学分析，得出斜齿轮一个啮合周期内的应力变化情况，为防止齿轮失效提供依据。

1 有限元模型及边界条件

选取一对GB/T19406-2003 型渐开线圆柱斜齿轮为模型，其参数如表1 所示。齿轮模型的材料为锻钢，弹性模量为211 GPa，密度为7 300 kg/m3，泊松比为0.277。采用4 节点平面实体单元进行映射网格划分，对主动齿轮施加扭矩，切向力均匀分布在主动齿轮内圈上，约束主动齿轮内圈所有节点的径向和轴向的自由度。此外，从动大齿轮内圈所有节点施加全约束。

表1 斜齿轮的建模参数表

2 渐开线圆柱斜齿轮的静力学分析

2.1 静力学接触分析

在有限元静力学求解过程中，默认选择罚函数法，接触刚度值默认为1。计算斜齿轮啮合的过程存在很大的穿透量，通过调节接触刚度值，使穿透值在合理的区间内，得到接触刚度与穿透量、接触压力、等效应力关系，如表2所示。

表2 穿透量、接触压力、等效应力随接触刚度变化的数值表

根据表2数据，应用Origin图表软件得到Penetration随Normal Stiffness变化曲线，Pressure 随Normal Stiffness 变化曲线，Equivalent Stress随Normal Stiffness变化曲线，分别如图1、图2和图3所示。

由图1、图2 和图3 可知，随着 Normal Stiffness值变大，Penetration 值变小，而 Pressure、Equivalent Stress 值增大，但是不能无限制增大Normal Stiffness 值。如果Normal Stiffness 值过大，会增加计算量，导致无法收敛。查阅有限元手册，Equivalent Stress 经验比值数小于3%～5%。由表2 可知，当Normal Stiffness 的取值为 5 时，Penetration 值达到10-7级，达到标准计算要求。

图1 Penetration随Normal Stiffness变化曲线

图2 Pressure随Normal Stiffness变化曲线

图3 Equivalent Stress随Normal Stiffness变化曲线

2.2 静力学结果分析

在结构计算中，将一对渐开线斜齿轮定义为转动副，被动齿轮轴向固定，主动齿轮施加极限工况条件下的驱动力矩，使用Contact Tool 命令检查齿轮接触的穿透量和间隙，通过静力学分析求解，得到 Total Deformation和Equivalent Stress，如图4 和图5所示。

图4 总变形

图5 等效应力及最大应力位置

由图4 可知，齿轮啮合在仿真条件下Total Deformation 的数量级为10-5，齿顶在交变应力作用下的变形比较严重，容易磨损或折断。

由图5 可知，Maximum Stress 发生在齿轮的尖端位置达到了785 MPa，但由于齿轮制造过程没有尖端点，都是圆角过渡，整个齿轮模型的静力学分析结果可能是由额外应力造成的。

3 渐开线圆柱斜齿轮的动力学接触分析及结果

在齿轮动力学仿真中，大多数学者采用Adams Impact接触模块对齿轮进行接触调整和计算，因为Impact 适应范围较广，且计算处理速度快。但是，Impact 存在很大的缺陷，它基于计算机图形理论，判断计算图形的接触面积进一步生成接触力的数值，这就对接触区域具有精确轮廓要求。然而，大多数仿真软件在导入曲线方程时生成离散点，通过折线连接拟合生产轮廓曲面，这就导致与真实接触存在误差，因此可能造成极端的结果，如图6所示。

图6 线性拟合轮廓与真实轮廓存在的误差

由图6可知：

1）通过折线连接，存在尖端点导致计算接触力会出现一个很大的峰值，然后真实轮廓为曲线过渡连接，造成计算结果比理论数值偏大；

2）折线拟合的轮廓计算结果未接触，然而真实轮廓已经接触，拟合轮廓小于真实轮廓，造成计算接触力数值偏小，如图6中的a图所示；

3）通过折线连接离散点，进一步线性拟合，拟合结果判断接触，然而真实轮廓并没有接触，拟合轮廓大于真实轮廓，造成计算接触力数值偏大，如图6中的b图所示。

图7 为斜齿轮一个啮合周期过程中单齿啮合、双齿啮入、双齿啮合、双齿啮出、单齿啮合位置的等效应力云图。分析各啮合位置的最大接触应力，应力计算结果如表3所示。

图7 不同时刻各啮合位置的最大接触应力

表3 各啮合位置的最大接触应力

图7 中，a 图为斜齿轮副单齿啮合时的等效应力云图，最大接触应力为261.13 MPa；b 图和d 图为齿轮啮入、啮出位置的等效应力云图，由于齿轮存在弹性变形和轴向窜动导致接触区发生干涉，被动齿轮啮入、啮出时齿顶与主动齿轮齿面发生穿透，最大接触应力为317.69 MPa和266.53 MPa，是整个啮合周期接触应力的最大值，由此可见，齿轮啮入时产生最大接触应力；c 图为齿轮双齿啮合时的等效应力云图，由于双齿共同承担接触压力，此时为整个啮合周期的接触应力最小值，最小接触应力为232.75 MPa；e 图为齿轮单齿啮合时的等效应力云图，最大接触应力为259.16 MPa，与图a 图的最大接触应力值近似相等。

对于一对渐开线圆柱斜齿轮来说，齿轮的受力变形导致齿轮面接触区同时沿轴向和法向产生偏移，啮合点偏离啮合线上理论啮合点，造成齿轮在啮入、啮出过程中齿顶干涉，使接触应力急剧上升，严重的啮合冲击会造成轮齿折断，降低齿轮的使用寿命。在实际生产中，通过调整齿轮顶隙系数和齿顶修形的方法来避免齿顶干涉现象的发生。

4 结 论

1）本文采用有限元方法对渐开线圆柱斜齿轮进行静力学接触分析，由图1、图2和图3分析可知，随着 Normal Stiffness 值变大，Penetration 值变小，而Pressure、Equivalent Stress值增大，但是不能无限制增大Normal Stiffness 值。如果Normal Stiffness值过大，会增加计算量，导致无法收敛。

2）建立动力学模型，对其进行动力学接触分析，得到斜齿轮一个啮合周期的接触应力云图。由应力云图分析可知，整个啮合周期接触应力最大值为317.69 MPa，发生在齿轮啮入时。齿轮的受力变形导致齿轮面接触区同时沿轴向和法向产生偏移，啮合点偏离啮合线上的理论啮合点，造成齿轮在啮入、啮出过程中齿顶干涉，使接触应力急剧上升，严重的啮合冲击会造成轮齿折断。