分数阶Newton-Leipnik混沌系统的同步

于红霞，杨　利，黄　硕，迟新利

(沈阳工程学院 a.国际教育学院; b.自动化学院 ，辽宁 沈阳 110136 )



分数阶Newton-Leipnik混沌系统的同步

于红霞a，杨利a，黄硕a，迟新利b

(沈阳工程学院 a.国际教育学院; b.自动化学院 ，辽宁 沈阳 110136 )

摘要：对分数阶Newton-Leipnik混沌同步问题进行研究，为响应系统设计了适当的控制器以达到驱动系统和响应系统同步的目的。研究了一种新型的分数阶稳定性判定方法，并基于此完成了对直接控制器的设计方法的证明。分别对单吸引子和双吸引子的分数阶Newton-Leionik混沌系统问题进行仿真，结果证明了所提出方法的有效性。

关键词：分数阶混沌 ；Newton-Leipnik同步；直接构造法

与传统的整数阶微分相比，分数阶微分对一些实际系统的描述更为准确[1]。因此，越来越多研究者对分数阶系统的动力学特性和应用给予了更多的关注。研究已经发现一些分数阶微分系统具有混沌行为[4]，例如分数阶Lorenz系统[3]、分数阶Chen系统[2]、分数阶Liu系统[5]等。以上所提及的分数阶混沌系统都呈现单吸引子特性。目前，对于具有多重吸引子的混沌系统在分数阶条件下的研究也引起了研究者的兴趣。文献[14]基于分数阶线性系统的稳定性理论，对 Newton-Leipnik系统分数阶次不同时的动力学特性进行了研究，为双重吸引子的Newton-Leipnik系统的应用研究奠定了理论基础。文献[12]、[9]、[15]针对典型的具有双重混沌吸引子的Newton-Leipnik系统应用进行了研究，并基于Lyapunov稳定性理论进行了控制器设计。然而Lyapunov函数选择还没有统一的标准和方法，有时花费大量的时间和精力也不一定能找到合适的Lyapunov函数,因此找到一种比较简单和可行的方法实现分数阶混沌系统同步显得非常必要。

文献[10]中提出了基于Lyapunov函数的分数阶混沌系统的稳定性判定定理，并在文献[16]中对该判定定理进行了改进，提出了一种新型的分数阶系统的稳定性理论，经过严格的理论推导表明该种方法与Lyapunov方法是等价的。

受到文献[13]、[16]、[17]、[18]的启发，基于新型的分数阶稳定性判定定理和数学构造思想，采用了直接构造法为响应系统设计出控制器，进而实现两个具有双重吸引子的混沌系统同步。数值仿真结果说明针对于Newton-Leipnik系统的同步问题所提出的设计方法是有效的，整个设计过程表明该方法具有设计过程简单，易于实现的优点。

1问题描述

Newton-Leipnik混沌系统的状态方程[14]如下:

(1)

其中，x2,x2,x3为状态变量。Newton-Leipnik系统作为典型的双重吸引子混沌系统，系统阶次α∈[0.9367,0.989]时处于混沌状态，且具有双重混沌吸引子。随着分数阶系统阶数的下降，处于混沌状态的分数阶Newton-Leipnik系统的双重吸引子突变为单吸引子。当α∈[0.9367,0.989]时虽然处于混沌状态，但只具有单吸引子;当α=0.9367时处于周期状态[14]。

定义Newton-Leipnik混沌系统为驱动系统,则如下系统为受控响应系统：

(2)

其中,ui(t),i=1,2,3为基于直接构造法设计的控制器。

借助构造法的理念，将混沌系统的同步问题转化为误差系统的稳定性问题。令受控响应系统和系统的状态误差分别为ei(t)=yi(t)-xi(t),i=1,2,3，误差系统如下：

(3)

老砍头到了寝宫，太监、宫女早被打发走了，没进大门呢，老砍头就听见皇上在自言自语：“我也想通了，实在不行，我就投降，能封个安乐公，就心满意足了。”

2同步控制器的设计

为了使驱动系统与响应系统达到同步，必须设计稳定的控制器使同步误差系统稳定。为了简化稳定控制器的设计过程，实现驱动系统与响应系统的同步，需要借用如下引理。

根据混沌同步的定义，基于构造思想可以将受控响应系统与驱动系统同步问题转化为误差系统的稳定问题。根据引理选择适合的正定矩阵P，采用直接构造法设计适当的控制器u(t)=[u1(t),u2(t),u3(t)]T使判定函数h(x(t))≤0恒成立，则使同步误差系统在原点附近渐近稳定，进而实现分数阶Newton-Leipnik驱动系统和受控响应系统的同步。

定理当参数在0.94≤α<1时,受控 Newton-Leipnik响应系统在直接控制器作用下,能在任意初始状态实现与Newton-Leipnik驱动系统的同步。

(4)

根据引理，选择正定矩阵P=E构建判定函数(5),

h(t)=e1(t)Dαe1(t)+e2(t)Dαe2(t)+e3(t)Dαe3(t)

(5)

将控制器(4)带入式(5)可得

h(t)=e1(-ae1+e2+10(y2e3+x3e2)+u1(t))+…e2(-e1-0.4e2+5(y1e3+x3e1)+u2(t))+…e3(be3-5(y1e2+x2e1)+u3(t))

(6)

h(t)=e1(-ae1+e2+10(y2e3+x3e2)+a-1-5y2e2)+…e2(-e1-0.4e2+5(y1e3+x3e1)+-15x3e1)+…e3(be3-5(y1e2+x2e1)+-b-1-5e1e2)

整理得(7)式

(7)

化简得

根据引理的结论，可知系统的状态在原点渐近稳定，于是实现了分数阶Newton-Leipnik混沌系统同步。

3数值仿真

为了说明所提出方法在单吸引子和双吸引子混沌同步控制中的有效性和可行性，分别对单吸引子和双重吸引子混沌驱动系统进行仿真,得到各同步误差曲线。仿真过程采用改进的Oustloup算法逼近分数阶微分算子。

3.1单吸引子混沌同步仿真

分数阶Newton-Leipnik混沌系统的阶次α=0.95，系统为单吸引子混沌，选择a=0.4,b=0.175为系统参数，Newton-Leipnik驱动系统初始值(x1(0),x2(0),x3(0))=(0.2,0.21,0.22)，响应系统初始值(y1(0),y2(0)，y3(0))=(1,2,1.12)。仿真后，Newton-Leionik混沌吸引子如图1所示，同步误差如图2所示。

图1　单个吸引子Newton-Leionik混沌系统在各平面的投影

图2　单吸引子混沌系统同步误差仿真曲线

由图可知，分数阶系统的阶次，混沌系统呈现单吸引子特性，系统误差系统初值为(e1(0),e2(0),e3(0))=(0.8,1.79,1.1)，同步误差e1,e2,e3随时间渐近趋于零，结果表明响应系统与驱动系统实现了同步，说明依据引理和直接构造法设计的控制器针对于该种情况有效。

3.2双吸引子混沌同步仿真

分数阶Newton-Leipnik系统的阶次α=0.99，双重引子混沌系统选择a=0.4，b=0.175为系统参数，分数阶Newton-Leipnik驱动系统初始值(x1(0),x2(0),x3(0))=(0.2,0.21,0.22)，受控响应系统初始值(y1(0),y2(0),y3(0))=(1,2,1.12)，误差系统初值(e1(0),e2(0),e3(0))=(0.8,1.79,1.1)。双吸引子混沌系统的动态特性如图3所示。根据所提出方法设计的控制器得到同步控制仿真曲线如图4所示。

图3　双重吸引子Newton-Leionik混沌系统的在各平面的投影

图4　双重吸引子混沌系统同步误差仿真曲线

由上图可知α=0.99，Newton-Leionik混沌系统呈现双吸引子特性，受控误差系统初值为(e1(0),e2(0),e3(0))=(0.8,1.79,1.1)，同步误差e1,e2,e3随时间渐近趋于零，结果表明响应系统与驱动系统实现了同步，说明依据引理和直接构造法设计的控制器针对于该种情况有效，响应系统与驱动系统实现了同步。

4结语

基于引理给出的分数阶系统稳定性判定定理，采用直接构造法设计出的控制器，可以保证判定函h(t)≤0恒成立，即同步误差系统在原点渐近稳定，进而实现了分数阶Newton-Leipnik混沌系统的同步。该方法不需要确定Lyapunov函数，只需构造跟Lyapunov函数等价的新型判定函数,该设计方法资源占用量小,简单且易于实现。数值仿真结果表明所提出的设计方法对于单吸引子和双吸引子的分数阶Newton-Leionik混沌系统同步问题均有效。

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(责任编辑佟金锴校对张凯)

Synchronization Of Fractional Order Newton-Leionik Chaotic System

YU Hong-xia1,YANG Li1,HUANG Shuo1，CHI Xin-li2

(1.College of International Education,Shenyang institute of Engineering,Shenyang 110136,china;2.Automation Department,Shenyang institute of Engineering,Shenyang 110136,china)

Abstract：The problems in the field of fractional order chaotic synchronization is studied,construction method is adopted and proper controller is designed for the aim of synchronization of driven system and response system.One novel stability analysis methods is used for fractional order systems,and the direct control method is proved.The control simulation is completed for single abstractor and double abstractor of fractional order Newton-Leionik chaotic system and the results shows the given control method is effective.

Key words：fractional order chaos;Newton-Leipnik synchronization;direct construction method

中图分类号：O415

文献标识码：A

文章编号：1673-1603(2016)01-0069-05

DOI：10.13888/j.cnki.jsie(ns).2016.01.014

作者简介：于红霞(1978-),女,辽宁庄河人,讲师,硕士。

基金项目：辽宁省教育厅科学技术研项目(L2015366)

收稿日期：2015-07-21