分数阶次扩散方程的时间变步长紧致差分格式

孙 红

(南京工程学院数理学院, 江苏 南京 211167)

分数阶导数具有非局部性,非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程.和整数阶导数相比,分数阶导数能够更加准确地描述许多自然界中的现象.随着科学技术的发展,由分数阶微积分发展起来的分数阶微分方程已广泛应用于光学与热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域[1-3].因此,分数阶偏微分方程引起了人们的广泛关注,成为一个新的研究领域.

然而仅有少部分分数阶偏微分方程的解析解在特定情况下才能得到,而且这些解析解的形式通常比较复杂,是由一些特殊的函数给出的,如Wright函数、Mittag-Leffler函数等,这些函数对应的级数收敛较慢,在实际应用中非常不方便.因此,求解分数阶偏微分方程的数值解引起了许多学者的关注.

分数阶导数有很多不同的定义,有Caputo导数、Riemann-Liouville导数、Rietz导数等.时间分数阶导数常用的有Caputo导数和Riemann-Liouville导数.在时间均匀网格上,Caputo导数离散公式常用的有2-α阶L1公式、3-α阶L1-2公式、3-α阶L2-1σ公式、3阶离散公式等[4-7];Riemann-Liouville导数常用的离散公式有2阶GL公式和4阶GL公式[8-9]等.本文考虑的是时间分数阶Riemann-Liouville导数.

对于时间分数阶扩散方程,由于问题的解在初值处存在弱奇异性,在时间均匀网格上解的低正则性会降低数值解的精度,产生巨大的计算量.为了解决这类现象,文献[10-14]提出时间非均匀网格上的数值方法.本文基于文献[12-13]中的方法,对时间分数阶次扩散方程建立时间方向非均匀的紧差分格式.

本文考虑时间分数阶扩散方程:

(1)

1 差分格式的建立

(2)

非均匀时间网格上的L1R离散公式的截断误差如下.

若时间方向选用分层网格tn=T(n/N)γ,其中γ≥1, 则截断误差与正则参数σ及γ有关,且为O(τmin{1+α,γσ}).

设u,v∈μh,引入记号:

设u,v∈μh,定义内积和范数:

〈u,v〉A1=〈A1u,v〉,〈u,v〉A2=〈A2u,v〉,

在点(xi,yj,tn-1/2)处考虑方程(1),应用L1R离散格式方程(2)有:

(3)

用算子A作用式(3),并由引理3,得:

(i,j)∈ω,1≤n≤N

(4)

略去式(4)中的小量项,由初边值条件得到差分格式:

(5)

2 差分格式的收敛性

(6)

差分格式(5)的数值解满足如下的收敛性结果.

证明:式(6)两边同时与en-1/2作内积,得:

〈τnRn-1/2,en-1/2〉, 1≤n≤N

(7)

对式(7)每一项分别进行估计.式(7)左端项有

(8)

式(7)右端第一项,有:

(9)

应用引理2,式(9)最后一个等号中的两项分别得到估计:

将上面两项带入式(9),得到:

(10)

利用Cauchy-Schwarz不等式以及Young不等式,∀ε>0,对于式(7)的右端第二项,有:

〈τnRn-1/2,en-1/2〉≤τn‖Rn-1/2‖·‖en-1/2‖≤

(11)

将式(8)、式(10)和式(11)代入式(7),得:

(12)

引入记号:

(13)

对式(13)关于n求和,当τ<1时,得:

3 数值实验

orderτ=log2(E(M,N)/E(M,2N))

空间方向的阶定义为:

orderh=log2(E(M,N)/E(2M,N))

首先测试数值格式时间方向的精度,固定空间网格数M=216,时间网格数N为20、40、80、160,表1给出对不同的α、σ、γ数值格式解的L2模误差以及时间方向收敛阶.由表1可见,差分格式(5)在时间方向的收敛阶为min{1+α,γσ},与定理的理论结果一致.

表1 时间方向的L2模误差及收敛阶

然后测试数值格式空间方向的精度,固定空间网格数N=3 000,空间网格数M取4、8、16、32.表2给出了当α=0.6时数值格式解的L2模误差以及空间方向收敛阶.由表2可见,差分格式(5)在空间方向的收敛阶为4,与理论结果相吻合.

表2 空间方向的L2模误差及收敛阶

4 结语

本文对时间分数阶次扩散方程构造时间方向非均匀的差分格式.时间Riemann-Liouville导数采用在非均匀网格上基于L1R公式离散,空间方向采用四阶紧致差分格式.对所构造的差分格式的收敛性进行了理论证明.数值算例验证了所建立的差分格式的精度和有效性.