基于板梁理论的轴心受压T形截面柱弯扭屈曲无穷级数解

张文福,闫学森,杭昭明

(1. 安徽建筑大学土木工程学院, 安徽 合肥 230601;2. 南京工程学院建筑工程学院, 江苏 南京 211167;3. 东北石油大学土木建筑工程学院, 黑龙江 大庆 163318)

钢结构因其轻质高强、跨度大、建造方便,被广泛应用于各类建筑结构,如体育场中使用的超大跨度钢屋面、框架-核心筒结构中的外框架以及工业厂房的框架柱等.当外力过大时,许多轴心受压构件会产生较大变形而丧失承载力,即出现失稳,也称屈曲失稳.对于双轴对称的杆件[1-2],如工字梁,由于板件通常较厚、抗扭刚度较大,在承受轴心压力时,整体失稳主要是绕截面对称轴的弯曲屈曲;对于单轴对称杆件,如T形等截面柱,当绕对称轴失稳时会出现弯扭失稳,这是由T形截面的形心和剪心位置不同导致的.

国内相关研究：文献[3]设计了63件铝合金构件进行轴压试验,通过同类型试验数据拟合数据曲线,按材料类型提出两个用于计算轴心受压构件整体稳定系数的计算公式;文献[4]对承受轴力和端部弯矩的工字形杆件(楔形变截面,且两端受不等弯矩)的弯扭屈曲进行研究,得到更符合实际的梁弯扭失稳稳定系数,并构建了新的压弯构件平面外稳定验算公式;文献[5]推导了适用于单轴对称截面且考虑剪切变形的应变与位移关系式,求得拱屈曲前的精确内力,利用势能驻值原理推导出T型截面拱弯扭屈曲荷载解析解;文献[6]对不等边角铝构件进行轴压试验,试验结果表明,当构件的长细比较小时,以扭转屈曲为主,随长细比增加,弯曲屈曲占比增大,两种屈曲模态共同影响构件的极限承载力.

国外相关研究：文献[7]通过试验以及数值模拟发现,现有的欧洲、北美以及澳大利亚的设计规范低估了不锈钢等边角钢截面柱的承载力,而Dinis等人提出的Direct Strength Method(DSM)设计方法虽然精确,但结果偏高;文献[8]研究表明,蜂窝柱的开孔率、间距比和长细比对柱中的剪力有较大影响,与不开孔的柱相比,剪切效应降低了屈曲荷载的10%～20%;文献[9]发现,因为不等肢角钢无对称轴,在发生弹性屈曲时,弯曲屈曲与扭转屈曲相互影响,杆件较短时以扭转屈曲为主,反之以弯曲屈曲为主,而规范对这两种屈曲的相互影响考虑不足;文献[10]研究不同的残余应力分布模式对工字梁在承受均匀分布压力时发生弯扭屈曲的影响,分析了这几种残余应力分布模式的适用情况.

对于轴心受压构件,以上研究在试验、规范对比以及理论推导方面均有涉及,但对于单轴对称截面的研究较少.单轴对称截面剪心与形心分离,其轴心压力临界荷载的计算现有文献没有精确的理论解,按照传统开口薄壁构件理论计算临界压力较为复杂,而GB 50017—2017《钢结构设计标准》[11]采用的是简化计算方法,准确度不高.目前在工程上T形截面柱的应用较为广泛,精确求解T形截面柱的轴心压力临界荷载十分必要.

本文基于文献[12-15]提出的板-梁理论,舍弃传统理论中牵涉到复杂计算的扇性坐标,假设T形截面变形时位移函数为无穷三角级数,得到总势能方程的无穷级数表达式;利用能量变分法,得到T形截面柱轴心压力临界荷载理论值,可以精确预测T形截面柱的弯扭屈曲;通过有限元软件对理论解进行验证.本文的方法可以应用到工程设计中,为设计人员评估T形截面柱的抗压性能提供参考.

1 弯扭屈曲理论研究

1.1 板-梁理论简介

T形截面尺寸与变形如图1所示.为了方便描述变形,引入两套坐标系：整体坐标系xyz和局部坐标系nsz.这两套坐标系与Vlasov坐标系ns均符合右手螺旋法则,整体坐标系的原点选在截面形心,各板件的局部坐标系原点选在板件形心.

图1 T形截面尺寸与变形图

图1中：bf为翼缘宽度;tf为翼缘厚度;hw为腹板高度;tw为腹板厚度;C、S分别为截面的形心、剪心,S在整体坐标系中的坐标为(0,y0);hs1为上翼缘到剪心的距离;hs2为腹板底部到剪心的距离;ef为上翼缘形心到到截面形心的距离;ew为腹板形心到截面形心的距离;u(z)、θ(z)为发生弯扭屈曲时截面的侧向位移、转角.

板-梁理论的基本假设为：

1) 刚周边假设,即弯扭屈曲时截面形状不变,据此可以确定板件形心的横向位移;

2) 变形分解假设,即每块板件的变形可以分解为平面内变形和平面外变形,与此对应的纵向位移、应变能和初应力势能等可分别按Euler梁力学模型和Kirchhoff板力学模型确定.

1.2 能量变分法

轴心压力作用下T形截面简支柱计算简图如图2所示.图2中：L为柱的高度;P为轴心压力.

图2 T形截面简支柱计算简图

1.2.1 模态试函数

T形截面简支柱发生弯扭变形时,根据简支的边界条件,可以将侧向位移u(z)和截面转角θ(z)设为无穷级数形式:

(1)

(2)

式中,An、Bn分别为截面侧移和转角的待定系数.表达式满足简支支承的几何边界条件：

u(0)=u″(0)=0u(l)=u″(l)=0

θ(0)=θ″(0)=0θ(l)=θ″(l)=0

(3)

1.2.2 总势能方程

根据板-梁理论假设,T形截面简支柱总应变能为：

(4)

腹板的初应力势能可表示为：

(5)

式中,Δ1=ew-y0.

翼缘的初应力势能可表示为：

(6)

式中,Δ2=ef+y0.

总的初应力势能为：

(7)

上翼缘到剪心的距离为：

(8)

y0=hs1-ef

(9)

对于使用同一种材料的情况,有：

(10)

(11)

因此,单轴对称的T形截面柱在恒定轴力下发生弯扭屈曲的总势能可表示为：

(12)

由此可得：

(13)

(14)

(15)

(16)

则受轴力P作用的单轴对称T形截面简支柱弯扭屈曲的总势能可表示为：

(17)

1.2.3 屈曲方程

由势能驻值原理,为求极限屈曲荷载,计算：

(18)

(19)

上述方程的解即为所求单轴对称T形截面简支柱受恒定轴向压力发生弯扭屈曲时的临界屈曲荷载的精确解.

2 有限元验证

2.1 有限元模型的建立

运用ANSYS有限元软件对轴心压力作用下的T形截面简支柱的线性屈曲进行数值模拟研究,选用SHELL181单元模拟.SHELL181单元为4节点有限应变壳单元,适用于模拟薄壳至中等厚度壳结构,该单元每个节点有6个自由度,即沿节点坐标系x、y、z轴方向的平动位移和绕各轴的转动位移.SHELL181单元适用于线性分析及大转动、大应变的非线性分析.模型建立和模拟过程:

1) 建立几何模型,设柱高为L,T形截面腹板高hw=300 mm,厚度tw=10 mm,翼缘宽度bf=200 mm,厚度tf=10 mm,取Q235型号钢材,弹性模量Es=2.06×105MPa,泊松比μs=0.3.

2) 划分单元,一般单元数量越多计算越精确,但花费时间也越多,本文中模型受力简单,单元边长划分为5 mm,有限元模型如3所示.

(a) 模型整体图

(b) 柱细部图

3) 施加约束和荷载,模拟简支约束的边界条件,即约束一端三个方向的平动,另一端约束两个方向的平动,还要约束两端沿柱长的转动,轴力施加在一端的腹板处,约束和荷载如图4所示.

图4 约束和荷载图

4) 求解,在进行线性屈曲分析前先进行静力分析,打开预应力开关,以得到结构的弹性刚度矩阵和应力刚度矩阵,然后进行线性屈曲分析.

5) 后处理,求解之后,在通用后处理器可查看屈曲荷载系数和屈曲模态,最终的屈曲荷载为屈曲荷载系数乘以所施加的荷载,一阶屈曲形态如图5所示.

2.2 有限元验证

对比有限元模型计算结果与理论推导结果,如表1所示.表1中：diff=(Pcr-Pcr)/Pcr;理论解为位移和转角模态试函数取前50项.由表1可见,本文公式推导所得到的结果与有限元结果的误差除第一项外,均在2%以内,完全达到工程计算对精确度的要求,且两者的误差随着长细比的增大而减小,符合对构件假设为细长柱的条件.在工程计算中,越是符合细长柱条件的,使用本文公式越精确.

(a) 整体屈曲图

(b) 断面图

(c) 左端屈曲图

(d) 右端屈曲图

表1 有限元结果与理论结果对比

3 结论

1) 本文根据张文福提出的板-梁理论,利用能量变分法,推导出T形截面简支柱在轴心压力作用下的弯扭屈曲方程的无穷级数解.

2) 通过有限元软件ANSYS建立相应模型进行求解,与无穷项级数的理论解进行对比,误差均在4%以内,验证了本文理论解的正确性.