两部件冷备系统可靠度的Bayes估计

李 玲 鲍志晖

（黄山学院 数学与统计学院，安徽 黄山 245041）

贮备系统有热贮备 （贮备部件处于工作状态）、温贮备（贮备部件在贮备期间可能失效）和冷贮备（贮备部件在贮备期间不失效）之分，由于热贮备系统中的部件均处于工作状态，部件发生故障的可能性较温贮备和冷贮备要高，故温贮备和冷贮备能更有效地提高复杂系统的可靠性[1]。

文献[2]针对冷贮备系统（以下简称冷备系统）的元件寿命均服从指数分布的情形进行了讨论，给出了冷备系统的可靠度计算公式，但其假设指数分布中的失效率λ是已知的，而实际应用中λ通常是未知的，故需对λ进行估计，从而得到冷备系统可靠度的估计。

对于指数分布中失效率λ的估计方法较多，其中比较常用的是Bayes估计，通常需给出λ的先验分布，然后通过截尾试验数据修正后得出其后验分布，此即Bayes方法[3]。由冷备系统的可靠度公式及λ的后验分布，可得冷备系统可靠度的Bayes估计。

但是，在失效率λ的先验分布中又往往存在着超参数，当超参数的值未知时，则需对该超参数进行估计。针对该问题，文献[4]利用定时截尾试验的失效数得出了超参数的矩估计，从而进一步得到冷备系统可靠度的经验Bayes估计。但是对于超参数的矩估计有一个基本要求，即相合性，而相合性要求试验的次数较多，故对于小样本而言，该方法的精度相对较低。作为改进，文献[5]针对超参数提出了极大似然估计的方法，由此得到的冷备系统可靠度的经验Bayes估计在精度上较文献[4]的估计量有所提高。

在参数估计理论中，当样本量趋于无穷时，极大似然估计和Bayes估计的结果是趋于一致的，但是当样本量有限时，Bayes估计的误差比极大似然估计要小。有鉴于此，对于文献[5]中超参数的极大似然估计，考虑将其改为再次利用Bayes估计。此时对于失效率λ以及λ的先验分布中的超参数均考虑了采用Bayes估计，此即多层Bayes估计方法[6]。以下应用该方法来解决冷备系统可靠度的估计问题。

文中所研究的两部件冷备系统可靠度的Bayes估计及多层Bayes估计是在如下三个假定下进行的：

A1工作元件的寿命T1和贮备元件的寿命T2相互独立，且均服从指数分布Exp（λ），此时可靠度均为 R0（t）=e-λt。

A2由于是冷备系统，故贮备元件在贮备期的失效率为零，即在贮备期内不发生失效。

A3工作元件和贮备元件间有一个转换开关，转换开关是完全可靠的，并且转换是瞬间完成的，此时冷备系统的系统寿命T=T1+T2。

1 系统可靠度的Bayes估计

在上述假定下，该两部件冷备系统的可靠度为：

设 λ 的先验分布为 Exp（μ），即 π（λ）=μe-μλ，λ＞0。

设从分布为Exp（λ）的总体中抽取n个样品进行定时截尾寿命试验，截尾时间为t，试验数据为 x1≤x2≤…xr≤t，记，x=（x1，x2，…，xr），则

即 λ 的后验分布为：λ|x～Γ（r+1,μ+Δ）。

以下求系统可靠度R（t）的Bayes估计。

由 R（t）=（1+λt）e-λt及 λ 的后验分布可得：

2 系统可靠度的多层Bayes估计

在前面的Bayes分析中，λ的先验分布π（λ）=μe-μλ，λ＞0 中含有一个超参数 μ，有时无法根据经验给出一个较为精确的μ，若给出的μ值与其真值出入较大，会使估计发生比较大的系统偏差。针对此种情况，采用多层Bayes估计方法，即先对超参数μ再设一个先验分布。

对于超参数μ的无信息先验分布，以下采用Bayes假设和Jeffreys先验两种方法分别予以讨论。

2.1 Bayes假设

若可给出μ的一个范围α＜μ＜β，除此之外无其他信息，则可假定μ服从区间（α，β）上的均匀分布 U（α，β），即，则 μ 的后验分布为：

据全概率公式，有

则

2.2 Jeffreys先验

利用Fisher信息阵可给出超参数μ的Jeffreys先验分布[7]。

μ的似然函数为：

其对数似然函数为：

所对应的Fisher信息阵为：

从而可得μ的后验分布为：

在平方损失函数下，μ的Bayes估计为：

3 数例分析

以下用模拟数据对上述讨论的Bayes估计、多层Bayes估计进行演算，并对它们的精度进行比较。

设工作元件和贮备元件的寿命均服从指数分布 Exp（2×10-5），产生 100 个服从该分布的随机数，模拟数据如下：

表1 指数分布模拟数据

根据公式（5）（11）（16）（1）分别计算冷备系统在不同时刻t的可靠度的Bayes估计、两种不同先验分布下的多层Bayes估计及相应的可靠度精确值，结果如表2所示，其中Bayes估计中取μ=3×104，取μ=3×105。

表2 系统可靠度估计值比较

表中选取了7个不同的截尾时间，据数值计算的结果，将冷备系统可靠度的Bayes估计、多层Bayes估计与相应的可靠度精确值作比较，可以得出如下结论。

结论1：对冷备系统的可靠度作Bayes估计，需给出超参数μ的值，此时估计的精度受超参数μ的取值影响较大。例如在本数例中，当分别取μ=3×104和μ=3×105时，从表2 的数值计算结果可以看出，所得冷备系统可靠度的Bayes估计值绝对误差的差异较大，因此μ值的确定至关重要。而实际应用中很难根据经验或主观概率给出μ值，故需要对超参数μ作出估计。

结论2：对超参数μ也考虑采用Bayes估计，即得到冷备系统可靠度的多层Bayes估计。从数例的计算结果中可以看出，不论μ的先验分布是Bayes假设还是Jeffreys先验，多层Bayes估计的绝对误差都比较稳定，其系统偏差相对也较小，整体来说多层Bayes估计在精度和稳定性上要优于Bayes估计。

结论3：在多层Bayes估计中，对超参数μ的先验分布考虑了两种方法，即Bayes假设和Jeffreys先验，从表2中两者绝对误差的比较可以看出，当 r=6，14，26 时，的绝对误差大于的绝对误差，而当 r=35，50，61，65 时则相反，说明当产品的失效数较少时，采用Jeffreys先验的多层Bayes估计在精度上要略高于采用Bayes假设（即以均匀分布作为超参数先验分布）的多层Bayes估计；而当产品的失效数较多时，后者的精度反而要略高于前者。

4 结语

通过上述的理论推导和数例分析，说明建立在冷备系统可靠度的Bayes估计基础上的多层Bayes估计具有一定的合理性和可操作性。究其原因：一方面，如果仅仅采用一层先验，把握性往往不大，其导致的估计量的偏差有可能较大，而采用两层先验，可以降低估计的风险，因此采用多层Bayes估计是合理的。需要说明的是,理论上多层Bayes估计可以到三层或更多层，而实际应用中多于两层先验是很少见的。另一方面,在冷备系统可靠度的多层Bayes估计中，由于超参数往往没有什么信息，而且难以观察，因此欲用历史经验数据或者主观概率来确定超参数是很困难的，此时对超参数采用无信息先验作为第二层的先验是合理的，并且即使第二层的先验有一些偏差，其导致的最终估计量的偏差 （或者说错误结果的危害）也相对较小。

文中讨论的是冷备系统中两部件寿命均服从指数分布的情形，对于部件的寿命服从威布尔分布、对数正态分布等其他分布的情形，只需根据系统结构求出相应的系统可靠度表达式，然后对于其中的参数以及超参数给出先验分布，即可计算出相应冷备系统可靠度的Bayes估计以及多层Bayes估计。但若参数较多，可能在积分运算上会较为繁琐。目前来说，针对冷备系统可靠度的估计还有文献提出了WCF方法[8]和Fiducial方法[9]，文中所讨论的方法与这两种估计方法的优劣比较以及适用场合还有待作进一步的探讨。