货车搭载多架无人机车辆路径问题模型及算法

刘艳秋，韩 晶

（沈阳工业大学，管理学院，沈阳 110870）

0 引 言

2019年12月，新冠疫情暴发以来，物流业面临着前所未有的挑战。首先，在整体行业运营上，复工复产进程受阻，原材料价格上涨，企业人工成本增加等导致物流整体成本的直线上升。其次，在货物运输方面，物流企业的货量常常无法装满运输车辆使得利用率大大降低。再次，在终端配送过程中，需注意避免人物接触导致交叉感染，保障供需双方生命安全。因此，物流行业亟须向灵活性强、成本可控、无人化物流的智能模式转型。随着无人机技术的成熟与规范，将其运用于物流行业成为了可能[1-2]。但受限于负载小、航程短等问题，无人机一直未能独立执行常规性物流运输活动。此时，无人机与货车联合配送的运作模式成为了必然选择[3]。一方面，货车可对客户进行货物配送；另一方面，货车也可作为无人机的移动仓库和移动充电站。在这种模式下，将货车的远距离、大容量与无人机的高效率、低成本有效结合，既保证了复杂配送情景下的各类型配送需求，提高总体配送效率，又满足了安全配送的要求。

最早关于货车和无人机联合配送的研究是在2015 年，Murry 等[4]提出了一辆货车搭载一架无人机的飞行助手旅行商问题（Flying Sidekick Traveling Salesman Problem，FSTSP）和并行调度旅行商问题（Parallel Drone Scheduling Traveling Salesman Problem，PDSTSP），他们以最晚返回仓库的时间为目标函数构建了混合整数规划模型，设计了一种启发式算法求解。其中两者的区别是：前者货车搭载无人机共同为客户服务，后者货车和无人机独立为客户服务。此后，这一问题被国内外学者广泛研究。

在FSTSP 扩展问题中，Agatz 等[5]在Murry 的基础上首次以最小旅行成本为目标建立了整数规划模型，并设计了路径第一聚类第二的启发式算法，与FSTSP 不同的是，Agatz 允许车辆在同一客户点多次发射无人机，并将此问题扩展成为带无人机的旅行商问题（Traveling Salesman Problem with Drone，TSPD）。Ha 等[6]进一步以最小化运营成本为目标构建TSP-D 模型，并设计了一种混合遗传算法求解该问题。Bouman、Poikonen 和Schermer 等[7-9]分别利用动态规划、采用分支定界和分支切割算法求解带无人机的旅行商问题模型。朱晓宁等[10]考虑了卡车限行和无人机禁飞等区域限制条件下的货车和无人机联合配送路径优化问题。随后，Phan 等[11]将模型扩展到一辆货车搭载多架无人机的情形，并指出这种配送模式更具有经济优势。Peng 等[12]提出了一种由种群管理、启发式种群初始化和种群培养三个部分组成的混合遗传算法求解一辆货车搭载多架无人机的配送路径优化问题。然后，Wang 等[13]进一步将车辆与无人机协同配送问题从单一车辆扩展到多车辆，计算得出了即使在最坏情况下货车与无人机联合并行配送的时间都少于卡车单独配送时间的结论。Sacramento 等[14]采用自适应大规模邻域搜索算法求解带无人机的车辆路径问题模型。

在PDSTSP 扩展问题中，研究数量相对较少。Amico 和Saleu 等[15-16]就PDSTSP 问 题 设 计 了 不 同的启发式算法求解。Ham 等[17]在Murry 的基础上考虑了多车辆、多无人机、多配送中心的情况进行研究。Wang 和Lan[18]提出了货车和无人机混合配送模式，即一部分客户由多辆货车各搭载一架无人机协同配送，剩余客户由多架无人机往返配送中心独立配送服务。此外，还有少部分文献对货车支持无人机配送和无人机支持货车配送进行了研究[19-22]。在应用场景方面，彭勇和杨双鹏等[23-24]以旅行商问题为背景探究了货车和无人机联合配送在疫情影响下的价值。肖建华等[25]将货车和无人机联合配送模式应用到农村电商物流“最后一公里”问题。货车和无人机联合配送路径优化问题可以看作是旅行商问题或车辆路径问题中引入了无人机配送，故在这方面也有一些值得借鉴的研究成果[26-28]。

从以上文献可以看出，现有关于货车搭载无人机配送路径优化问题的研究已经扩展到了多辆货车和多架无人机，其中大部分文献规定车辆必须在下一节点回收无人机，且无人机单次服务一个客户，而Othman 等[29]专门研究了不同对接点设置下的最小成本路径选择问题，但未从决策角度给出数学模型和相应的计算实验分析。其次，大部分研究集中于货车和无人机协同配送服务，鲜少考虑混合配送模式，这样的缺陷忽略了配送中心周围的小需求客户点，从而造成实际配送中这类小批量多批次的客户配送成本较高，间接增加了配送距离。再次，对于货车搭载无人机配送路径优化问题中元启发式算法和计算实验的研究相对较少，其中多采用精确算法求解小规模算例以得到精确解，采用启发式算法得到满意解，遗憾的是启发式算法一般根据具体问题设计，故容易陷入局部最优。因此，本文在VRPD(Vehicle Routing Problem with Drone)的基础上增加了单辆货车搭载多架无人机，单架无人机可为多个客户服务的场景，建立“协同+并行”混合配送模式下的整数规划模型，设计了以蚁群算法为核心的基于变维数编码的两阶段规划算法求解，其中变维数矩阵编码适用于两种运输工具且带有分支结构的车辆调度优化问题。最后，通过计算实验结果分析模型的准确性和算法的有效性。

1 问题描述与数学模型

1.1 问题描述

现有一个配送中心和若干个有需求的客户分布在各个位置，每个客户的需求量已知，配送中心和客户之间及任意两个客户之间的距离已知。规定一个配送中心有多辆货车和多架无人机，且单辆货车可搭载多架无人机，单架无人机可给多个客户送货，在满足一个客户只能由一辆车配送货物的前提下，配送中心派遣若干辆货车和无人机为客户配送货物。每辆车都从配送中心出发，无人机可从配送中心或搭载它的货车上出发，对若干个顾客配送货物结束后再返回配送中心，规划出所有车辆运营成本最小的配送方案。

图1 给出了一个货车和无人机混合配送路径方案示例，其中包括1 个配送中心、3 辆货车、3 架无人机和31 个客户。在可能的路径方案中，30 个顾客被分成R1、R2、R3 和R4 四条线路：R1 的货车路径为（0—1—2—6—7—0），无人机路径为（6—5—3—4—6；7—8—9—7）；R2 的货车路径为（0—13—15—31—21—0），无人机路径为（13—14—13；31—18—16—31；31—20—31；31—17—19—31）；R3 的货车路径为（0—29—24—10—0），无人机 路 径 为（29—30—29；29—28—29；24—25—26—27—24；24—23—24；10—22—10）；R4 是纯无人机配送路径（0—11—12—0）。

图1“货车+无人机”联合配送示例图Fig.1 Schematic of the“truck+drone”joint distribution

搭载多架无人机的车辆路径问题（Vehicle Routing Problem with Multiple Drones，VPR-mD）可以描述为图论问题。令G=(V,A)为一个有向图，其中V={0,1,2,…,n,n+1}表示节点集，节点0,n+1 表示配送中心，其余节点均表示客户，A表示弧集。规定在有向图G上，一条合理的配送路线必须始于节点0 终于节点n+1。Δ+(i)表示从节点i出发的弧的集合，Δ-(j)表示回到节点j的弧的集合。N=V{0,n+1}表示顾客集；Nk表示所有被货车服务的客户集；R表示货车和无人机的对接点集合；NQ表示所有顾客需求点中超过无人机最大载重限制的节点集合；ND表示各对接点与其对应的无人机客户距离超过无人机最大续航里程的节点集合；Nu表示所有被无人机服务的客户集；K表示配送货车集；U表示无人机集。设d 'ij和dij分别为货车和无人机从节点i到节点j的距离。Dmax为无人机最远航程，由于无人机每次飞行至少为一个客户服务，故无人机可访问的客户点最远航距是Dmax2。又设qi为客户的需求量，Qt和Qu分别为货车和无人机的最大负载量。设a和b分别为货车和无人机的单辆固定成本；λ和μ分别为在配送中心出发的货车和无人机数量；Ct和Cu分别为货车和无人机的单位运输成本。为了更清晰地表明货车和无人机联合配送服务可以实现物流企业降本增效的目标，故选用总运营成本为目标函数。由于车辆使用数目、运输距离和装载量直接影响着企业总运营成本，故总运营成本主要包括三个部分：货车和无人机的固定成本、运输成本和超出车辆最大续航里程和装载量的惩罚成本。

在建立数学模型之前，还需要给出一些假设：

（1）无人机只能在同一节点起飞和降落，若货车和无人机有一方早到，则需等待另一方到达后才能再次出发；

（2）货车和无人机均始终保持匀速行驶，无人机的速度快于货车，且无人机遵循欧氏距离，根据道路曲折度，货车距离可定义为d 'ij=δ·dij,δ是一个常数；

（3）不考虑速度和载重量对无人机续航时间的影响；

（4）不考虑无人机充电时间和天气等外界因素的影响。

1.2 数学模型

根据所述问题的特点，本文定义模型变量如下：

其中目标函数（1）由三部分组成：第一部分表示车辆的固定成本；第二部分表示车辆的运输成本；第三部分表示超过车辆最大续航里程和装载量时的惩罚成本。ζ1和ζ2分别是违反装载量约束和航程约束的惩罚因子，取无限大的正数。约束（2）表示计算路径中超出无人机最大续航里程的距离。约束（3）表示计算路径中超出无人机最大装载量的重量。约束（4）表示计算路径中超出货车最大装载量的重量。约束（5）限制每个客户只能被分配到一条路径。约束（6）表示货车从配送中心出发最后要返回配送中心。约束（7）表示货车从某一货车客户进入也必须从该客户点离开，且最多只能访问一个客户一次。同理，约束（8）表示允许无人机从配送中心出发服务一个或多个客户后返回配送中心。约束（9）表示无人机进出无人机客户的流量守恒，且最多只能访问一个客户一次。约束（10）表示无人机必须在同一对接点起降。约束（11）表示货车服务的客户中包含超重点、超远点和对接点。约束（12）表示配送无人机u初始在配送中心的装载量必须不大于配送无人机的最大装载量。约束（13）表示配送货车k初始在配送中心的装载量必须不大于配送货车的最大装载量，这里的货车初始装载量包含其搭载无人机的装载重量。约束（14）限制每架配送无人机u的飞行距离。约束（15）表示变量取值范围。

2 算法设计

本文所提出的VRP-mD 属于NP-hard 问题，优化求解器计算效率低，精确算法求解难度大，因此多采用启发式算法对其进行求解。启发式算法求解VRP-mD有以下6个难点：各个客户采用何种运输方式？如何选择货车和无人机的对接点？如何确定下一个访问点？如何构造完整路径，即解的编码方式是什么？如何将完整路径转换为配送方案？如何评价解的质量并更新？

蚁群算法通过蚂蚁们寻找食物的过程中留下的“信息素”从而确定下一个访问的点，循环往复，直至得到问题的最终解。现今蚁群算法已经广泛应用于组合优化问题的求解中，且同其他优化算法相比，在求解性能上具有很强的鲁棒性，易于搜索到较好解，具有正反馈机制和分布式计算等优点，也易与多种优化算法结合，从而改善算法性能。故本文针对以上6个难点，选择蚁群算法进行求解，但传统蚁群算法不能同时优化无人机配送路径和货车配送路径，为此，本文设计了一种蚁群算法与局部搜索算法结合的基于变维数矩阵编码的两阶段规划算法，基本思路是先用蚁群算法构造初始解，再将其用变维数矩阵形式编码，最后利用局部搜索算子进一步提高解的质量。

2.1 构造初始解

构造初始解分为三阶段进行，基本思路是：第一阶段采用贪婪算法确定各个客户的配送方式和对接点，并以每一对接点为中心将无人机客户聚类；第二阶段采用蚁群算法规划无人机配送路径；第三阶段更新货车客户需求，再用蚁群算法规划货车配送路径。具体步骤如下：

第一阶段：确定各个客户的配送方式和对接点。

Step 1 输入所有客户点位置（坐标点）和需求qi。

Step 2 初始化货车客户集和无人机客户集，Nk=[],Nu=[]。

Step 3 ∀i∈N,∃qi≤Qu则Nu=[Nu,i]；否则Nk=[Nk,i]。

Step 4 初始化对接点集合，R=[0,Nk]。

Step 5 用贪婪算法将距离R(i)最近的无人机客户聚集生成Ru(i,:)。

Step 6 比较Ru(i,:)中每一客户与R(i)的距离，如果有距离超过Dmax2 的无人机客户i，则从当前集合中移除，将其放入Nk中，转至Step4，否则转至Step 7。

Step 7 输出货车客户集Nk、无人机客户集Nu、对接点集R、各对接点对应的无人机客户集Ru。

第二阶段：利用蚁群算法规划无人机配送路径。

Step 1 输入对接点R与对接点对应的无人机客户集Ru。

Step 2 初始化蚂蚁数目m、迭代次数MAXGEN、信息素重要程度因子α、启发函数重要程度因子β、信息素挥发因子ρ、更新信息素浓度的常数Q、信息素矩阵τ、蚂蚁路径记录表Table、计数器gen=1。

Step 3 如果gen≤MAXGEN，转至Step4，否则转至Step 12。

Step 4 初始化i= 1。

Step 5 如果i≤m，转至Step 6，否则转至Step 8。

Step 6 确定允许访问的客户集allowj，该集合不包括已经访问的客户和违反装载量与航程约束的客户。

Step 7 根据转移概率计算公式Pn ij和轮盘赌法求出第i只蚂蚁下一个访问的客户j。蚂蚁n从i点转移到j点的概率计算公式如下：

式中：τij为i点到j点这条线段上的“信息素”浓度；ηij= 1dij为i点到j点这条线段距离的倒数，又被称为能见度函数；allowj为蚂蚁从i点出发允许访问的无人机客户集合；α为τij的重要程度；β为ηij的重要程度。

Step 8 更新路径记录表Table(k,i)=j，i=i+1，转至Step 5。

Step 9 比较m只蚂蚁所规划的行走方案，找到无人机配送成本最小的一个行走方案，配送成本计算公式如下：

式（17）为无人机的飞行距离与违反装载量和航程约束成本之和，加入违反约束成本是为了避免出现不可行解，若存在不可行解，则配送成本会变得非常大，否则配送成本等于飞行距离。

Step 10 更新“信息素”矩阵，这里本文选择更新最佳行走方案所包含线段上的“信息素”，更新公式如下：式中：τnewij为更新后的i点与j点之间的“信息素”浓度；τoldij为更新前的i点与j点之间的“信息素”浓度；ρ为“信息素”浓度挥发因子，取0～1 的一个数字；Δτij为这只蚂蚁在i点与j点之间释放的“信息素”浓度；Q为常数，表示蚂蚁构建一次完整路径所释放的“信息素”总量；TD为这只蚂蚁构建的完整路径所对应的配送方案的车辆行驶总距离。

Step 11 清空路径记录表，转至Step 3。

Step 12 输出对接点R(i)的无人机配送路径。

Step 13 依次循环Ru的每一行，得到全部无人机配送路径，记录每一对接点对应无人机客户总需求。

第三阶段：规划货车配送路径。

Step 1 输入配送中心0与货车客户Nk。

Step3 同理利用ACO 算法规划出货车配送路径，稍有不同的是货车配送成本计算公式变为：

2.2 局部搜索操作

本文局部搜索操作选择交换算子，但用交换算子必须存在可以将完整路径表现出来的编码方式。现有车辆路径优化问题通常采用自然数编码，但在VRP-mD 问题中存在同一个对接点被多次选择的情形，例如图2 中的客户7 被两架无人机同时选择，因此路径结构中出现了带有分支结构的哈密顿路行驶。由于计算机编码输入条件的限制和局部搜索操作对编码结构生成和处理方式的特点，这种分支路径结构无法直接编译表达，因此需要将这种分支路径结构写成多维数组形式。为此，本文介绍变维数矩阵的路径编码方式。

该编码由一个p×q维矩阵结构进行编码，其中p=l+k+1，l表示货车客户节点总数，k表示使用货车数量；q=max(r(i))+d+1，其中r(i)表示第i个对接点对应的无人机客户的数量，d表示第i个无人机路径内使用无人机数量。针对图2（a）中的路径结构，变维数矩阵编码如图2（b）所示。

图2 变维数矩阵编码示例图Fig.2 Schematic of the variable dimension matrix coding

图2（b）中编码由多层结构体表示。第一层为货车层，表示所有货车的访问节点顺序。除第一层外的其他层为无人机层，表示所有无人机选择的对接点及访问节点顺序。在无人机层内多架无人机可选择同一个节点进行对接，通过这种编码方式解决了现有算法中编码不能够有效表达分支路径结构的问题。图2（b）中编码表示客户1、3由货车1 提供配送服务，客户7 由货车2 提供配送服务；客户2 选择客户1 作为对接位置，并由无人机1 提供配送服务，客户4、5、6 共同选择客户7 作为对接位置，并由无人机2 和无人机3 提供配送服务。由此可见，变维数矩阵编码方式可以清晰地展示多辆货车和多架无人机的配送路径，且进行交换等局部搜索操作时可有效减少不可行解的数量，从而提高运算效率。这种编码方式还可以拓展到其他具有分支结构的组合优化问题研究中。

在初始解构造完成后，此时为使解的目标函数值向着更小的方向进化，需要改变个体的“基因”。针对无人机路径优化设计有两种改变个体“基因”的操作：类内交换操作与类间交换操作，交换算子示意图见图3。

图3 交换算子示意图Fig.3 Schematic of the exchange operator

（1）类内交换：在同一对接点集合内随机选择两个位置交换。如图3（a）中的3 与4 交换。也就是说，当一条无人机路径中存在交叉结构时，便采用类内交换操作。

（2）类间交换：在相邻对接点集合中随机选择两个位置交换。如图3（b）中的（1231）（45）变为（1234）（5）。也就是说，当选择对接点R1 的无人机客户距离另一对接点R2 更近时，便采用类间操作。

综合以上策略，本文整体算法流程见图4。

图4 算法流程图Fig.4 Algorithm flow chart

3 算例分析

算法将通过Matlab 2018b 进行编程，所有测试均在同一台电脑上进行，运行环境为Windows 10 操作系统，处理器为Intel(R) Core(TM)i5-10200H CPU @ 2.40GHz 2.40GHz。经过多次测试，设置算法参数为：蚂蚁数目为50，最大迭代次数为200，信息素重要程度因子α= 1、启发函数重要程度因子β= 5、信息素挥发因子ρ= 0.85、更新信息素浓度的常数Q= 5、初始信息素矩阵为单位阵。

本文选择三种算例进行测试：随机生成客户点、文献[19]中B-n32-k5 算例和文献[4]中的FSTSP-10、PDSTSP-10 算例。文献[19]中假设单辆车的固定费用（折旧费等）为80 元，单架无人机的固定费用为20元，车辆单位距离成本为1.5元/km，无人机的单位距离飞行成本为0.3 元/km，但其客户需求设置全部不超过无人机载重量。根据亚马逊公司公布的调查数据和顺丰科技有限公司提供的Ark 方舟无人机参数[30]，本文设定无人机最大载重量为12 kg，无人机最大续航里程为20 km，货车最大载重量为100 kg，且86%的客户需求重量为3 kg及以下，其余客户为3 kg以上。

3.1 基于不同配送方式的总配送成本比较

如果仅使用货车配送，该问题就被称为传统货运；如果货车和无人机独立服务客户，该问题就被称为货车和无人机并行配送模式；如果无人机必须从货车处出发并返回货车，该问题就被称为货车和无人机协同配送问题。本文提出的货车和无人机联合配送是指结合协同和并行两种模式的混合配送模式，简单来说，无人机可以从配送中心或货车处出发，既可以单独服务客户又可以乘坐货车服务客户。为了进一步说明联合配送的优越性，以算例B-n32-k5 为例，分别采用传统货车配送、并行配送方式和联合配送方式进行运输，比较结果见表1。

表1 不同配送模式下的成本分析Tab.1 Cost analysis under different distribution modes

通过表1 的比较分析可知，在使用货车和无人机两种运输工具的路径优化问题中，同时考虑协同和并行的联合配送模式下建立的数学模型更加符合最后一公里配送所面临的实际背景。同时灵活的配送模式有效地减少了无人机的使用和总配送距离，达到了降低物流系统运营总成本的目标。

为了进一步分析该算法相对于其他优化算法在处理此类研究问题中的优势，本文在相同规模问题中将其与文献[19]的算法性能进行比较分析，最优配送方案路线如图5 所示，仿真运算结果如表2 所示。可以看到本文设计的基于变维数矩阵的两阶段规划算法能够在可接受的时间内在解空间搜索到问题的满意解甚至是最优解，求解效率高。

图5 B-n32-k5最优配送方案路线图Fig.5 Roadmap for the B-n32-k5 optimal distribution scheme

表2 不同算法求解的联合配送成本比较Tab.2 Comparison of the joint distribution cost using different algorithms

3.2 算法的验证分析

为了评估模型的准确性与算法的有效性，本文比较了商业软件CPLEX 与基于变维数编码的两阶段规划算法的计算结果。为了保证实验的一般性，随机选取文献[4]中10 个FSTSP-10 算例、5个PDSTSP-10 算例，由于文献[4]中未设置成本参数，故本文对配送距离和运行时间进行对比，测试结果见表3。

表3 算例计算结果对比Tab.3 Comparison of the calculation results for the solved examples

续表3

从表3 可以看出，在15 个算例中，基于变维数矩阵编码的两阶段算法找到了4个算例的最优解，11 个算例的满意解，说明该算法的计算精度较为一般。从计算时间上看，CPLEX 平均求解时间需要21.2991 s，而基于变维数矩阵编码的两阶段算法需要7.5862 s，说明该算法具有较快的计算速度。从计算结果上看，客户点的分布与配送距离有直接关系，当全部无人机客户距离配送中心不超过Dmax2 时，选择货车和无人机并行配送模式更节省配送距离，除此之外，选择货车和无人机联合配送模式更节省配送距离。

3.3 灵敏度分析

随机生成14、31、43、52、100 个客户算例，实验中采用控制变量法分别对无人机续航里程、无人机载重量两个参数进行灵敏度分析，探讨无人机性能对结果的影响。设置无人机最大续航里程是20 km，最大装载量是12 kg，随着无人机技术的发展，其性能也将会慢慢提高，将无人机最大续航里程分别设定为20 km、30 km 和M（足够大的正整数，即允许无人机给任意一个客户送货），测试结果见表4。将无人机最大装载量设定为12 kg、20 kg和30 kg，测试结果见表5。

表4 无人机续航里程灵敏度分析Tab.4 UAV range sensitivity analysis

表5 无人机装载量灵敏度分析Tab.5 UAV loading capacity sensitivity analysis

从表4和表5可以看出，在100个客户规模内，随着数据规模的增加，基于变维数矩阵编码的两阶段规划算法具有较高的稳定性，优化效果更加明显。无人机续航里程的增加使得无人机使用数量减少，单架无人机配送距离不断上涨，这说明无人机性能的提高增加了无人机的利用率，从而使配送成本和运营成本下降，提升了运输效率，但可以观察到配送距离变化率较小，这说明无人机加入配送过程在配送距离上表现不明显，其在总运营成本和配送完成时间上体现更明显。结合表1和表5 可知，当无人机载重量较小时，获得的距离和成本节省很低。原因在于，当无人机载重量较小时，无人机一次飞行访问需求点较少，所以同样行程使用的无人机数量较多，从而成本节约较小。随着无人机载重量的增加使得无人机服务的客户增多，但单架无人机实载率较低，即无人机续航里程严重制约了无人机服务范围，所以单纯增加无人机装载量并没有使得配送成本和运营成本下降。由此可见，企业在研发物流配送无人机时不能一味追求续航里程或装载量单方面的优化，而需将续航里程和载重量同时进行考虑，且需要重点考虑无人机续航里程的影响。

4 结论

本文研究了货车搭载多架无人机的车辆路径问题，进一步考虑了无人机容量和不同配送模式的影响，构建了以总运营成本最小为目标的混合整数规划模型，并设计了基于变维数矩阵编码的两阶段启发式算法。第一阶段：首先根据需求量对客户进行分类，然后基于蚁群算法分别规划无人机路径和货车路径，其中货车路径要根据无人机路径进行更新需求后再规划路径；第二阶段：将完整路径采用变维数矩阵编码，再利用交换算子进行局部搜索优化。仿真结果表明，本文提出的算法可有效解决两种运输工具的路径规划问题，具有计算时间短、求解效率高的优势。货车和无人机联合配送策略可以真正实现降本增效的目标。同时本文的工作保证了在最后一公里问题中实现无接触安全配送，解决了因新冠疫情导致的空载率高、配送成本高的现实难题，也为未来实现“货车+无人机”联合配送常态化发展提供了理论支持。

未来的研究中，考虑根据不同的物流问题，在问题模型方面加入其他约束或目标函数，例如不同停靠地点、时间窗、同时取送货约束以及货车和无人机的同步成本等。在算法方面将继续研究计算精度更高的算法框架和算法策略，并结合更符合实际路网情况的算例开展计算实验。