关于实变函数课程的教学探讨

时间：2024-08-31

刘佳瑞

一、实变函数课程现状

工科院校数学系一般在大三上半学期开始实变函数课程教学。该课程是数学系的一门必修课，它以抽象的语言奠定了近代数学的严格化基础，主要研究集合论、函数的连续性、可测性、可微性和积分理论，研究对象是更为广泛的函数，它是现代分析数学的基础，对以后学习泛函分析、概率论、复变函数、动力系统等数学专业课非常有帮助。实变函数是研究生阶段学习索伯列夫空间理论、动力系统的遍历理论以及调和分析、现代几何分析等课程和专业的基础，也是信息和图像处理、编码学等其他专业的基础。

一般工科院校采用的教材是张晓岚编著的《实变函数与泛函分析简明教程》，该教材内容简练，附录中介绍了相关内容的发展简史，有助于学生理解书的内容。我们一般用6 4学时讲授实变函数的内容，在如此短的学时中，要想完全掌握是有相当难度的。在教学过程中，讲授大多采用定义、定理的公式化形式，节奏比较快。其次，由于课程改革的原因，数学分析等基础课程内容缩水，再加上许多工科院校偏应用数学，对基础学科的很多课程重视程度不够，过分依赖现代计算技术，忽略一些重要的基础课程和基本定理，很多学生没有对微积分的实质进行充分的理解，对积分和可测等概念理解起来有困难，面对众多构造性的习题感觉难度很大。因此，大部分学生觉得该门课程极其抽象、晦涩难懂，部分学生在学习的过程中知难而退，缺乏积极专研的精神，导致成绩出现了两极分化的现象。

二、实变函数教学中应注意的问题

（一）从宏观上把握实变函数的内容

“实变函数”，顾名思义就是以实数为变量的函数，主要研究恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。例如，形式极为简单的D（x）函数，利用Riemann 积分的定义它是不可积的，而本课程创立了一种新的积分理论———Lebesgue积分，按照Lebesgue积分的理论D（x）是可积的，从而使得积分的操作性更加灵活。那么，Lebesgue 积分的思想到底是什么？此时，引导学生回忆《数学分析》中的Riemann 积分，积分区间、被积函数具有什么特征，哪些函数是R 可积的，为什么这些函数是R 可积的，进而总结出Riemann 的积分思想，即必须使得在划分定义域区间[a,b]后，函数f （x）在多数小区间Δxi 上的振幅能足够的小，这就迫使激烈震荡的函数被排除在可积函数类外。例如，函数D（x）在任意小的区间上的振幅都不可能足够的小。那么，怎样才能使震荡激烈的这些函数也可积呢？我们启发学生转变一种划分的方法，即由划分函数的定义域转变为划分函数的值域，从而限制函数值变动的振幅，也就是按照函数值的大小归类，将振幅小的函数值放在一起。Lebesgue 对他的这一设计有生动的比喻：假如我欠了人家许多钱，现在要归还，此时，应先按照钞票的票面值的大小分类，再计算每一类的面额总值，然后再相加，这就是我的积分思想。如果不管面值的大小如何，而是按某种先后次序来计算总数，那就是Riemann 积分的思想。

通过宏观介绍Lebesgue积分思想，使学生体会为什么要学习这门课程，进而激发学生的学习兴趣。学生带着问题去学习，迫切的想知道“如何计算Lebesgue积分”。我们用启发、引导的教学方法，以函数D（x）为例作进一步的阐述。把函数值为1的有理点分在一起，将函数值为0的无理点分在一起，就保证了振幅足够小，但是分割值域后所对应的定义域中的集合分别为[0,1]的有理数、无理数。此时，同学们会发现这两个集合很不规则，那么这些集合是否可测量？如果可测量的话，如何度量这些不规则集合的“长度”呢？这是我们第二章所学的内容。上述问题能否解决，与所给的函数y=f（x）的性质有关，从而定义了可测函数，这是第三章所学的内容。这样就形成了测度—可测函数—Lebesgue积分这样一个系统。通过这样宏观的介绍，学生清楚了本课程的整体脉络，为进一步学习打下了良好的基础。

（二）掌握好基本概念，深刻理解基本定理的证明思想

实变函数课程当中概念非常多，且大多比较抽象，但是最基本的概念和最重要的定理的证明思想一旦把握，该课程学习起来就变得相对容易和有章可循。比如，在讲集合的势的概念的时候，通过简单的奇数偶数个数的多少来引入和理解概念，把自然数、有理数、无理数、实数的势分别作为最基本的单元，其它的集合的势类比上述集合理解，则集合的势的概念变的立体鲜明起来。集合的势的核心思想就是一一对应，掌握了这一基本思想，在证明各类集合的势的关系的时候就有章可循了。

（三）根据本课程的特点，指导学生采取恰当的学习方法

《实变函数》课程内容高度抽象，理论性强，定义、定理、证明非常多，只在第四章有少量计算Lebesgue积分的题目。在学习其他数学课程的时候，学生最头疼的就是证明题，常常感到无从下手，老师也弱化了对学生证明能力的培养。然而，这种能力在本课程中将得到很好的锻炼。在学习的过程中，我们以提问的方式让学生从思想上感知该课程的特点。例如，自然数与正偶数哪个多？按照之前直观的想法大家会认为自然数多，其实这两个集合中的元素一样多，因为在两个集合之间可以建立一一映射，用类似的方法我们还可以得出两个同心圆上的点一样多等等。因此，在学习本课程的时候，学生首先要转变思维方式。其次，本课程的语言相当的简练、严谨，可以说课本内容中没有一句废话，若对定理内容稍作修改得到的结论有可能大相径庭。因此，对于每一个未证明的结论都应该持谨慎的态度，不能简单类比后就盲目得出结论。同时对每一个已知结论不应仅是记住，更重要的是理解其证明，并且借鉴其证明方法。例如证明一个集合是可数集等等。因此，学生在学习实变函数的时候，应该多问几个为什么？对于每一个证明过程都应该清楚支撑它成立的理论依据，切忌想当然。

（四）与数学分析进行类比的学习

《实变函数》是《数学分析》的深化和扩展，是在更广阔的背景下来讨论微积分的课题。因此，在学习类似概念的时候要注意它们之间的联系与区别。例如，几乎处处成立、基本成立，可测函数列的几种收敛，以及积分的极限定理等，特别是一致收敛、依测度收敛的概念等数学分析当中已有部分例子，理解好上述例子后，在实变函数课程当中的定义证明就变得相当明了和直观。同时建议学生通过比较的方法来学习Lebesgue积分的定义、性质，最后归纳出与Riemann积分的异同，以及二者之间的关系。同学们会发现实变函数里也有重积分、累次积分、变上限积分求导以及微积分基本公式等内容，理解他们就变得相对容易起来。

（五）加强反例教学，深刻理解主要定理

实变函数里许多命题和结论的条件性都非常强，稍微变换条件对结论就有非常大的影响，尝试举反例对提高数学思维和揣摩定理内涵有非常大的益处，可以发现哪些条件是必须的，起着什么样的作用，为改进前人的结果和发现新的定理和证明提供好的思路和方法。比如，找出一个函数不连续但其平方连续的例子，构造直线上的不可测集合非正则的波尔测度等等。

（六）多动手，多做习题

学习数学特别是学习实变函数课程，习题环节是个必不可少的。通过做题能够加深对知识点的掌握，通过大量的习题加快做题的熟练程度和培养数学思维、提高数学学习兴趣。许多著名数学家年轻的时候都做了大量的习题，比如著名数学家田刚在读本科时，就已经把吉米多维奇数学分析习题集演算了一遍，打下了坚实的分析基础。

三、相关建议

（一）合理安排课程设置，加强基础课程教学

进一步加强基础课程，尤其是《数学分析》的教学，许多工科院校大幅压缩数学分析的授课内容和要求，导致理解实变函数有很大的困难。在讲授函数的连续性和可导性、积分理论方面多下功夫，引导学生深刻理解集合、极限等概念，熟练掌握有关积分的本质描述和刻画，为进一步学习《实变函数》打下良好的基础。在课程设置时适当增加学时，便于同学们理解如此抽象的内容和知识。

（二）适当加强数学史方面的介绍，提高学生学习热情

实变函数本身内容有些枯燥，但是若能在课堂教学中穿插一些数学典故、名人故事和一些定理证明的来龙去脉的讲授，能大大提升学生的学习兴趣。比如我们在讲授实变函数的产生的时候，就从如下的数学问题开始讨论：连续函数除个别点以外是可微的是否正确？维尔斯特拉斯就构造了一个函数并且证明了这个函数在任何一点都不可导，这个结论促使人们研究函数的更多性质，哪些函数是连续的，哪些函数是可导的，哪些函数是可以积分的，是否要修改积分的定义等等，这就促使了实变函数的诞生。也可以在讲授积分内容的时候引入勒贝格和黎曼的一些经典典故来提高学生的学习兴趣。

（三）酌情加强数学前沿学科内容讲授，让学生明白学有所用

实变函数与现代数学前沿密切相关，酌情增加部分内容让学生明白学习目的所在。比如在讲授康托集的时候，可以提问我国的海岸线有多长，雪花的周长等于多少等系列问题，进一步引出维数是否都是整数，如何描述测量时的尺度等引出法国数学家芒德勃罗所开创的现代非常流行的现代分形几何学。在描述测度和积分的时候，可以引入随机测度和伊藤积分等内容，而随机微分方程是现代金融数学的一个十分重要的工具，利用它可以建立期货、股票、债卷等金融衍生工具的研发模型，预测一些重要的经济形势和走向。在讨论空间理论时，可以引出索伯列夫空间理论，通过构造合适的空间并建立相应的完备化理论，简单介绍山路引理等现代变分理论在研究哈密顿系统周期解方面取得的进展。